Transcript K - 地理空間的思考の教育研究プロジェクト

2010年10月13日
第4章 空間解析
4. 点データの分析
貞広幸雄
[email protected]
地理情報科学教育用スライド ©貞広幸雄
ここで学ぶこと
• 点分布パターンの分類と記述
• 単一点分布の視覚的分析
• 単一点分布の統計的分析
• 標準距離偏差
• 標準偏差楕円
地理情報科学教育用スライド ©貞広幸雄
殺人は同じ場所で起きる？（http://gisturk.wordpress.com/crime-trends-in-orlando/）
この病気の原因は？（1854年，ジョン・スノーによる地図）
点分布パターンの分類と記述
• 単一点分布の数理分析では，主として点分布が
• 集中している
• 分散している
• そのいずれでもない
• の3つの状態を想定し，その程度を数量化する．
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集中
分散
単一点分布の分布パターン
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単一点分布の視覚的分析
1.地図化
2.空間集計
3.平滑化
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地図化
• 点データが表などの形式で表されている場合
には，地図として表現することでパターンを見
つけやすくなる．
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点分布の可視化
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空間集計
• メッシュや町丁目などの空間集計単位を用い
て，各領域ごとに点の個数を数える．
• 結果は色の濃淡などで表現する．
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格子網による空間集計
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空間集計による可視化の問題点
• 空間集計では，境界部分で値が大きく変化す
るため，あまり見栄えが良くない．
• 結果が空間集計単位に大きく依存するため，
結果の解釈に注意を有する．
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平滑化
• 各点の上に小さな「山」を置き，それらの積み
重ねとして，点分布全体を表現する．
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点分布の平滑化
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点分布の平滑化
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平滑化の場合，結果は「山」の形状に大きく依存する．平
らな山ほど滑らかな分布となる．
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様々な平滑化
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単一点分布の統計的分析
•
•
•
•
•
最近隣距離法
K-関数法
格子法
標準距離偏差
標準偏差楕円
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最近隣距離法
• 各点から最寄りの点までの距離の平均値を
用いる方法
• di: 点iから最寄りの点までの距離
• n:
点の総数
• W: 平均最近隣距離
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W=23.45
W=35.71
平均最近隣距離
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W=72.85
最近隣距離は，領域の大きさに依存する値であり，領域
が異なる分布間では比較ができない．
領域の大きさに応じて基準化することが望ましい．
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どちらの点分布がより集中しているか？
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ランダムな点分布
• 基準となる点分布として，ランダムな分布（ポア
ソン分布）を用いる．
• 点が密度lのランダム分布に従う場合，平均最
近隣距離の期待値は，
• となる．
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• 従って，平均最近隣距離をこの期待値で除して，
• とすることで，点の分布領域の大きさに関して基
準化することができる．
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• w < 1: 集中分布
• w  1: ランダム分布
• w > 1: 分散分布
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w=0.5932
w=0.9034
基準化後の平均最近隣距離
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w=1.8429
統計的検定
• 点の集中や分散の程度を，より明確に記述
するために，統計的検定を行う．
• 帰無仮説：点はポアソン分布に従う．
• 対立仮説：点は集中（分散）分布している．
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統計的検定のためには，帰無仮説の下でのwの確率分
布が必要である．ポアソン分布に従う点分布の場合，wは
近似的に
に従うことが知られており，正規近似による検定が可能で
ある．
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なお，この近似は厳密には点の個数が十分に大きいとき
にのみ有効であり，点が少数（数10個程度）の場合には，以
下の近似を用いる方が望ましい．
（AとLはそれぞれ点の分布領域の面積と周長）
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最近隣距離法の問題点
• 最近隣距離法では区別できない点分布があ
る
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最近隣距離法は，点の分布領域の定義によって，その結
果が大きく異なる．
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K-関数法
• K-関数法は，最近隣距離法の問題点を解決する
ための方法である．この方法では，各点から距
離h以内にある点の個数を数え上げ，それを点
の個数nと密度lで除して基準化する．
• si(h)：点iから距離h以内にある点の個数
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K-関数の計算過程
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K(h)
h
K-関数の例
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K(h)
h
K-関数の例
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K-関数の値は，距離hによって変化する．従って，点分布
の集中や分散も，距離hを媒介として記述する．例えば，「パ
ラメータ値h1では，点は集中分布しているが，パラメータ値
h2では，点は分散分布している」という具合である．
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ポアソン分布に従う点分布の場合，K-関数の期待値の確
率分布は近似的に
となる．従って，K-関数の値をこの期待値と比較すること
で，点分布の集中分散を評価することができる．
K(h) > ph2: 集中分布
K(h)  ph2: ランダム分布
K(h) < ph2: 分散分布
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K(h)
K(h)
E[K(h)]
h
K-関数とその期待値分布
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K(h)
h
K-関数とその期待値分布
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K(h)
h
K-関数とその期待値分布
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K(h)
h
K-関数とその期待値分布
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K(h)
h
K-関数とその期待値分布
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K-関数の基準化
• K-関数を前述の期待値で基準化することで，点の個数の
異なる分布間で比較を行うことができるようになる．
• こうして得られる関数をL-関数と呼ぶ．
• L(h) > 0:
• L(h)  0:
• L(h) < 0:
集中分布
ランダム分布
分散分布
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1.6
1.4
1.2
1.0
L(h) 0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
100
0
10
20
h
L-関数の例
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30
統計的検定
• K-関数についても，点の集中や分散に関する
統計的検定が可能である．
• 帰無仮説：点はポアソン分布に従う．
• 対立仮説：点は集中（分散）分布している．
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点の個数が十分大きい（100以上）の場合，ポアソン分布
に従う点分布のK-関数は近似的に
に従う．これを用いて，正規近似による統計的検定が可
能である．
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モンテカルロシミュレーション
• 点の個数が少ない場合には，ランダム分布を
実際に実現し，K-関数の確率分布を求める必
要がある．
• 帰無仮説の状態を実際に再現して観察する
ことを，モンテカルロシミュレーションと呼ぶ．
モンテカルロシミュレーションは通常，10000
回程度の観察を行うことで，良い近似の確率
分布を求める．
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格子法
• 視覚的分析で用いられる格子法は，数理分
析にも利用可能である．本来格子法は，統計
学の基本的技法の一つであり，統計的検定
によく用いられる．
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格子法
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統計的検定
• 格子法は本来，統計的検定のために考案さ
れた方法である．大きな特徴の一つは，最近
隣距離法やK-関数法とは帰無仮説・対立仮
説が大きく異なることである，
• 帰無仮説：点は一様分布（分散分布）に従う．
• 対立仮説：点は集中分布している．
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• c:
点の分布領域を覆うセルの個数
• xi: セルiに含まれる点の個数
• : セル1つに含まれる点の平均値
• 格子法では．c2統計量を用いる．
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• 帰無仮説の下では，c2統計量は小さな値をと
り，一様分布（分散分布）から乖離するほど大
きな値となる．
• 帰無仮説の下では， c2統計量は自由度cの
c2分布に従うことが知られていることから， c2
検定による統計的検定が可能である．
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格子法の長所と短所
• 長所
• c2検定は本来，観測値が任意の確率分布に従うか否
かを検定する方法である．帰無仮説は自由に設定で
きるため，任意の点分布パターンとの相異を評価し，
検定することができる，自由度の大変高い方法である．
• 短所
• 格子法では，点の個数のみに依拠した分析を行い，
点の空間中での位置が考慮されない．そのため，異
なる点分布であっても同じ結果をもたらすことがある．
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格子法の課題1：結果がセルの大きさに依存する．
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格子法の課題2：結果が点の分布領域の定義に依存する．
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格子法の課題3：格子法では区別できない点分布がある．
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• 一般的に言って，格子法は十分に多くの点が
分布している場合には有効であるが，点が少
ない場合にはあまり良い結果を生まないこと
が多い．
• 点が少ないときには，他の方法をとるか，観
測データを（可能であれば）さらに多くとること
が望ましい．
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標準距離偏差
• 標準距離偏差とは，点分布の全体的な広がり方を，
一つの円によって記述する方法である．
• vi: 点iから重心までの距離
• 点分布の重心を中心とし，半径が
• で与えられる円を描く．
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標準距離偏差
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標準距離偏差は，点分布の傾向を簡潔に表現する良い
指標の一つではある．しかしこの指標では，点の広がり具
合の概要は捉えられるものの，その方向に関する偏りまで
は表現できない．
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標準偏差楕円
• 標準偏差楕円とは，標準距離偏差では表現でき
ない，点分布の向きの偏りも合わせて記述する
指標である．標準距離偏差と同様に，点分布の
重心を中心とし，分布を最も適切に表現する楕
円を描く．
• 楕円はその向きと長径，短径の3つの変数で定
められる．
• q: 楕円のY軸からの傾き（時計回り）
• r1: 楕円の長径
• r2: 楕円の短径
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標準偏差楕円
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参考文献
• 張長平 (2007): 空間データ分析. 古今書院.
• Ripley, B. D. (1981): Spatial Statistics. Wiley.
• Cressie, N. A. C. (1993): Statistics for Spatial
Data. Wiley.
• de Smith, M., Goodchild, M. F., & Longley, P. A.
(2009): Geospatial Analysis: A Comprehensive
Guide to Principles, Techniques and Software
Tools. Metador.
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