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因果推論のための統計モデルとその推測法 ＆KBS京都 合同研究会 日時：2003年3月4日（火）13：30-17：30 於：京都大学医学部 構造方程式モデルと因果推論 狩野 裕 大阪大学 大学院人間学研究科 行動データ科学研究分野 1 2 Agenda • • • • • 同値モデルと因果の方向 傾向スコア 因果と欠測：Rubinの枠組み まとめ (Lordのパラドックスへの応用) 3 同値モデルと因果の方向 相関係数から因果の方向は決まらない ---同値モデルの問題--相関構造 X Y X 1 r Y r 1 • データから区別できないモデルを同値モデルという • 「区別できない」とは適合度が同一であることをいう 4 5 同値モデル例 6 因果の方向を決める： 操作変数法（Instrumental variable method） 相関構造 X Y Z X 1 Y b12 1 相関構造 Z b13 0 1 X Y Z X 1 Y b21 1 Z b13 b21b13 1 因果の方向を決める：適合度との関係 適合度が低い 適合度が高い Ｘ→Ｙ の因果関係が示唆される 7 8 操作変数法とは • Ｘ，Ｙのいずれかに影響を及ぼし，他方へ の直接効果をもたない変数Ｚ（操作変数） を観測する • Ｘ，Ｙ，Ｚの相関構造から，Ｘ→Ｙ or Ｘ←Ｙ を判断する 双方向因果モデル（非逐次モデル） 9 10 例１：政治的社会化モデル 出典：Asher(1976). Causal Modeling. Sage 11 例２：Attractiveness implies perceived academic ability? 出展： AMOSマニュアル 12 双方向因果モデルの基礎仮定 X 0 b12 X b13Z1 e1 Y b 0 Y b24Z 2 e2 21 y y e B z y By z e y t 1 By t z et (t 0,1,2,, ) y By z e y ( I B)1 z e 双方向因果モデルの解釈 13 y t 1 By t z et (t 0,1,2,, ) y t 1 BBy t 1 z et 1 z et B2y t 1 Bz Bet 1 z et y (I B)1 z e B2y t 1 B I z Bet 1 et t t t 1 k k B y 0 B z B et k k 0 k 0 t t d t 1 k k B y 0 B z B e et～Normal k 0 k 0 y0 0 I B1 z e 双方向因果モデルの基礎仮定 yt 1 Byt z et (t 0,1,2,, ) lim yt I B z e 1 t y (I B)1 z e • Ｘ，Ｙは，ある初期値(0)からスタートして， 相互に無限回，影響し合った結果である • 影響の大きさは変化せずBである – XとYの相互の影響関係が安定しているべき 14 15 構造方程式モデリングによる 因果の決定 • 因果の方向に興味があるとき – 当該モデルが適合する – 対立モデルが適合しない • 対立モデルが同値モデルにならないような モデリングが必要 – そのための方法が操作変数(道具的変数)の 導入 16 有効性 • 因果を決定したのか – 三択である • Ｘ→Ｙ，Ｘ←Ｙ，Ｘ←→Ｙのいずれか – 本来は四択である • Ｘ→Ｙ，Ｘ←Ｙ，Ｘ←→Ｙ， 「因果関係にない」 – 観察データ，横断的データの分析の限界 • 交絡変数 • 縦断的データでは時間軸が利用できる • 因果の大きさ – R2が小さいことがある • R2=0.1でもモデルは適合する • ＸはＹの「主要な」原因でとは言えない 17 例１：交絡変数はこわい 盛山(1986，行動計量 学) 18 例２：因果方向決定にも影響 X Y Z X 1 * * Y Z 1 0 1 誤ってＹ→Ｘと結論 してしまう 19 縦断的データの利用 • ２時点でデータをとり，時間差を利用する – 民主主義⇒経済発展 or 経済発展⇒民主主義 Lord の パラドックス 20 まとめ • 横断的データに基づいて，因果の方向について 言及するモデリングがある – Ｘ→Ｙ or Ｙ→ Xのモデルの適合度を比較する • 同値モデルにならないようなモデリング • 操作変数法 – 欠点 • 交絡変数の影響を無視し得ない • 操作変数となるための条件が満足されているか • 縦断的データに基づくモデリングの方が説得性 が高いと考えられている 21 傾向スコア 22 傾向スコア • 調査（or 実験）研究において – X：二値の原因変数 – Y：結果変数（連続） – Z1,Z2,… ：交絡変数 • 傾向スコア(propensity score) – by Rosenbaum-Rubin (Biometrika, 1983) – e(z)=E[X=1|Z1,Z2,…] – X || Z | e(z) 23 傾向スコアの性質 重症度 治癒日数 重症度 年齢 年齢 … … 患者の 希望 投薬の 有無 患者の 希望 治癒日数 投薬の 有無 Given e(Z1,Z2,…) • 「Z→Y」の関係は線型に限らない • 「Ｘ→Ｙ」の関係は傾向スコアに依存してもよい 24 傾向スコアと因果 治 療 日 数 e(ｚ)=0.8 e(ｚ)=0.5 e(ｚ)=0.2 X=0 非服用 X=1 服用 25 傾向スコアの利用 • 交絡変数zが多い場合はe(z)の利用が有効 – サブグループ化 • e(z)の値の近い被験者をグループ化してX=0,1を比較 – マッチング • e(z)の値の近い被験者でX=0とX=1を割付けられたものを 組にし，対応のあるデータの分析を行う • e(z)の推定 – ロジスティック回帰分析の利用 • strongly ignorableの仮定 – zを与えた下で，バランスがとれた割付けがなされている • zがすべての交絡要因を含んでいる 26 構造方程式モデリングでは • 従属二値変数をプロビット法によってモデリング – Mx, EQS, LISREL – ｚのYへの影響もモデリング(線型)できている Z1 Y Z2 … Zm X=1,0 27 まとめ • 傾向スコア – 高次元の交絡変数ｚを１次元に落とす • マッチングやサブグループ化を容易にする – ｚからＹへのモデリングが不要 • 適切にモデリングできるなら，した方が良い • SEM – ｚを調整する基本モデルを提供 • 線型モデル • zとＸの交互作用は検出しない Z1 Y Z2 … Zm X=1,0 28 因果と欠測：Rubinの枠組み 29 Rubinの枠組み(1) • コントロール群と処理群を比較する • 例 – P[治癒(Y=1)|投薬なし] vs P[治癒(Y=1)|投薬あり] – 体重Y|一般的な食事 vs 体重Y|特別な食事 • 記号 – 母集団：P – 母集団の構成要素(unit)：u – Yx=0(u) vs Yx=1(u) • X=0: control, X=1: treatment • Unit-level Causal Effect 30 因果推論の基本的問題 • Unit-level Causal Effect – 同一患者に「投薬あり」と「投薬なし」の割付け は不可能 – 一方は必ず欠測 – 因果推論の基本的問題という(e.g., Holland 1986) （fundamental problem of causal inference） 31 Rubinの枠組み(2) • Average Causal Effect – EP[Yx=0] vs EP[Yx=1] – Pのunit全部に「X=0 と X=1」 を割付ける – 母因果効果とよんでもよいかも • 因果推論の基本的問題は依然として存在 – 上記のような割付けは不可能 • 必ず欠測がある 32 データの構造と欠測 被験者番号 1 X 0 y01 X 1 y11 X 0 z z1 ｚ：共変量 測 欠 m y0m y1m 0 zm m 1 n y0,m1欠 測 y0 n y1,m1 y1n 1 1 z m1 z n 33 Average Causal Effectの推定 • 推定可能性は欠測のあり方に依存 – 欠測のメカニズム or 割付けのメカニズムが重要 • 無作為に欠測する場合は推定可能 – MCAR – X=0,1を無作為に割付けることと同等 • MARの場合の推測は，どのようにすればよいか – zの効果のモデリング – すべての観測値に基づく最尤法 34 復習：欠測のパターン • Missing Completely At Random (MCAR) – どの値が欠測するかは完全にランダムである • Missing At Random (MAR) – どの値が欠測するかはデータに依存してもよいが， 欠測した値には依存しない – 最尤法(FIML)の適用が薦められる • Non‐ignorable Missing – どの値が欠測するかが欠測した値にも依存する – 欠測のメカニズムにモデリングが必要 35 欠測(割付け)のあり様 重症度 治癒日数 年齢 治癒日数 年齢 … 患者の 希望 重症度 … 投薬の 有無 患者の 希望 投薬の 有無 MAR MCAR X=0,1をＺに応じて割付ける X=0,1を無作為に割付ける 36 MARでは • 単なる治癒率の比較に疑問 – 重症患者が投薬を選択 – 軽症患者は非投薬を選択 重症度 治癒日数 年齢 … 患者の 希望 投薬の 有無 37 Average Causal Effectの推定 ---MARの場合--• strongly ignorable given z (RosenbaumRubin,1983) – zが与えられた下では • Missing Completely At Random • （無作為に）バランスよく X=0,1 が割付けられている – X=0,1が，zにのみ依存しYには直接関係しない • Missing At Random – 最尤法が有効 Y0 Y 0 Y1 | | X Z Y1 X Z Xは，Zからのみ直接的な 影響を受ける ⇒MAR ⇒最尤法 最尤法 1 m m 1 n X 0 y01 y0m y0,m欠 1 測 y0n X 1 y11欠測y1m y1,m1 y1n X 0 0 1 1 z z1 z m z m1 z n y0 h0 (Z) Y0 Y0 ～ N2 ; , Y1 X ,Z Y1 Z y1 h1 (Z) y0 h0 (Z) (Y0 , Y1 , X , Z) ～ N2 ; , y1 h1 (Z) P( X 1 | Z) x P( X 0 | Z)1 x g (Z) Observedlikelihood m N( y i 1 n 0i ; h0 (Z), 00)P( X 0 | Zi ) g (Zi ) N ( y1i ; h1 (Z), 11)P( X 1 | Zi ) g (Zi ) i m1 38 39 SEMとの関係 m N( y i 1 0i ; h0 (Z), 00)P( X 0 | Zi ) g (Zi ) n N ( y1i ; h1 (Z), 11)P( X 1 | Zi ) g (Zi ) i m1 以下の仮定のもとで解くのがSEM h0 (Z) 0 a' Z, h1 (Z) 1 a' Z, 00 11 P( X 1 | Z) (b' Z) g (Z) ～ Normal 多母集団の同時分析も可能 Z1 Y Z2 … Zm X=1,0 40 Rubinの因果推論の要点 • コントロール群と処理（実験）群の比較 – 「コントロール」という概念が必ず必要 – 各群への曝露可能性が必要 • 属性変数は考慮外 • 個人内の比較に基礎をおく – Unit-level Causal Effect – Average Causal Effect • 母集団の全ての構成要素に，全ての水準を 割付けるという仮想的な状況 41 欠測と因果のまとめ • 割付けと欠測は同値 – MCAR…無作為割付け – MAR…割付けが第三変数ｚに影響される • strongly ignorable given z – zが与えられた下で無作為割付け – すべての交絡変数zが観測されている • 推測方法 – MCAR：zの影響は無視可能 – MAR： 観測データに基づく最尤法 • SEMの役割 – MARの下で，基本的なモデルを提供 Z1 Y Z2 … Zm X=1,0 42 まとめ • 因果と予測はまったくの別物 – 研究目的に合わせてどちらが必要かを検討 • 因果：同一個体において，Xを強制的に変化させる． 交絡変数の値は留まっている • 予測：Xの値の違いは別の個体を意味．交絡変数の値は 異なる • 交絡変数の統制 – 因果効果の評価は，交絡変数によって致命的な ダメージを受ける – 回帰分析が重要な武器だが，パス解析がより有用 43 • 因果の評価は経時データが基本 – 実験は二時点の経時データ – 横断的データしかとれないことがある – 横断的データによる因果分析の手法もある • 交絡変数が全てモデル化されているという強い仮定 • SEMによるモデリングは，調査研究の弱点である 交絡変数の影響を受ける – モデル構築の段階で，因果仮説を十分に吟味し， 重要な影響を与える変数を分析から落とさない • データを採る前が大事 • 調査研究は積み重ねることが重要 44 • Rubinの因果 – コントロール群と処理群の比較 – 個人内の比較に基礎 – 各群への曝露可能性が必要 • 属性変数は対象外 • 連続原因変数は対象外 – 欠測データの分析理論(MAR)を援用 参考文献 • • • • • • Bollen, K. A. (1989). Structural Equations with Latent Variables. Wiley: New York Bullock, H. E., Harlow, L. L. & Mulaik, S. A. (1994). Causal issues in structural equation modeling research. Structural Equation Modeling, 1, 253-267 Holland, P. W. (1986). Statistics and causal inference (with discussion). Journal of the American Statistical Association, 81, 945-970 Holland, P. M. & Rubin, D. B. (1983). On Lord’s Paradox. In Principles of Modern Psychological Measurement (Wainer & Messick, Eds.), pp.3-35. Erbaum. Lord, F. M. (1967). A paradox in the interpretation of group comparison. Psych. Bull. 68, 304-305. Mulaik, S. A. & James, L. R. (1995). Objectivity and reasoning in science and structural equation modeling. In Structural Equation Modeling: Concepts, Issues, and Applications, (Hoyle, H., Ed.), pp.118-137. Sage Publications: CA 45 46 • • • • • • • • • Rosenbaum, P. R. & Rubin, D. B. (1983). The central role of the propensity score in observational studies for causal effects. Biometrika, 70, 41-55 Wainer, H.(1991). Adjusting for differential base rate: Lord's paradox again. Psych. Bull. 109, 147-151. 岩崎 学（2002）. 不完全データの統計解析．エコノミスト社 狩野裕 (2002). 「構造方程式モデリング，因果推論，そして非正規 性」 竹内啓 (編著) 多変量解析の展開 -- 隠れた構造と因果を推理 する – Part II．岩波書店 佐藤俊哉・松山裕 (2002). 「疫学・臨床研究における因果推論」 竹内 啓 (編著) 多変量解析の展開 -- 隠れた構造と因果を推理する – Part III．岩波書店 盛山和夫 (1986). 社会学における因果推論の問題 --- パスモデル におけるloopをめぐって．行動計量学，14, 71-78 竹内啓(1986). 因果関係と統計的方法．行動計量学，14, 85-90 豊田秀樹(1998). 共分散構造分析[入門編]．朝倉書店 宮川雅巳 (1997). グラフィカルモデリング．朝倉書店 47 ＭＡＲについての補遺 • Missing At Random (MAR) – どの値が欠測するかはデータに依存しても よいが，欠測した値には依存しない – 最尤法(FIML)の適用が薦められる R : missing indicator (R X ) f (R | Yobs, Ym is) f (R | Yobs) f (R | Yobs, Ym is, Z ) f (R | Z ) 48 おわり 49 Lord のパラドックスへの応用 Lord(1967) Psych. Bull. Holland & Rubin (1983) Wainer (1991) Psych. Bull. 50 状況 • 大学寮の食事が寮生の体重に及ぼす 影響の性差を検討する • データ – 入寮時の体重と１年後の体重 – 男女 51 分析 • Statistician 1: not significant 男0女1 体重(１年後)－体重(入寮) • Statistician 2: significant 男0女1 体重(入寮) 体重(１年後) 52 散布図 １ 年 後 の 体 重 男 ・ ・ 女 ０ Y am X Y a f X 入寮時の体重 E[ X ] 60kg E[ X ] 50kg 53 記述的（予測）解釈 • Statistician 1 – 大学寮において体重の変化の平均に 性差はない • Statistician 2 – 入寮時に体重が等しい男女において １年後は男性の方がより重い – 回帰効果 • 両者ともコントロール群が設定されていない Statistician 2の解釈 男 １ 年 後 の 体 重 ・ ・ 平均への回帰 女 ０ 入寮時の体重 54 55 記述的解釈の考察 • 回帰効果に強く依存するStat2の解釈は 受容できるか？ – 重い学生は重いまま，軽い学生も軽いまま • 大学寮の調査の目的は「寮の食事」の 効果・問題の洗い出し – 結論は寮固有のものか？ – 寮生以外でも同じ結論かも • コントロール群との比較を考慮する 「因果」の検証が必要 56 Rubinの枠組み • • • • • 母集団 処理 コントロール 割付け データ 当該大学の寮生 寮の食事を摂取(x=1) 一般の食事を摂取(x=0) 全て寮の食事を摂取(x=1) – 性別…. G=1,2(male or female) – Y ……... 1年後の体重 – Z ……... 入寮時の体重 57 Rubinの枠組みとStatistician1 • Average Causal Effect – 男性の因果効果： M=EP[Yx=１ |男] - EP[Yx=0 |男] – 女性の因果効果： F=EP[Yx=１ |女] - EP[Yx=0 |女] – これらの差 M-F が評価したいもの • Statistician 1 – EP[Yx=１ -Z|男] vs EP[Yx=１ -Z|女] – 暗に仮定されていたのは • Yx=0 ＝ Z 58 Rubinの枠組みとStatistician2 • Average Causal Effect – 男性の因果効果： M=EP[Yx=１ |男] - EP[Yx=0 |男] – 女性の因果効果： F=EP[Yx=１ |女] - EP[Yx=0 |女] – これらの差 M-F が評価したいもの • Statistician 2 – EP[Yx=１ -(a+bZ)|男] vs EP[Yx=１ -(a+bZ)|女] – 暗に仮定されていたのは • Yx=0 ＝ a+bZ 59 因果効果 • コントロール群の仮定 – 仮定1： Yx=0 ＝ Z – 仮定2： Yx=0 ＝ a+bZ • 因果効果が推定できる – 仮定1のもとで，大学寮の食事の体重への効果に ついて性差はない – 仮定2のもとで，大学寮の食事の体重への効果に ついての性差は，そうでない食事と比して異なる • 同一体重の男女が入寮すれば，男性の方がより重くなるが， その程度（性差）は一般の食事よりも大きい • 両仮定とも現データからは検証不可能 Statistician 2の解釈 60 男 １ 年 後 の 体 重 ・ コントロール群 y a bz ・ 女 ０ 平均への回帰 入寮時の体重 61 2つの仮定(1) • 両仮定とも現データからは検証不可能 – 他からの情報，または，納得・了解 実線：平均 破線：個体 青：男性 赤：女性 入寮時 1年後 Yx=0 ＝ Z 入寮時 1年後 Yx=0 ＝ a+bZ 62 2つの仮定(2) • Yx=0 ：＝ a+bZとすることの問題点 – 回帰効果の妥当性 – コントロールの推定が処理群Yx=1のデータを 使って行われている • aとbは，Yx=1をZの上へ回帰させて計算 入寮時 1年後 63 Lordのパラドックスのまとめ • 記述的解釈の問題は小さい – １：体重の変化量に性差はない – ２：入寮時にｚが同じ場合，男性の方がより高い • 回帰効果の妥当性 – 記述的解釈の結論で目的を達するのか？ • 寮外の食事との比較が必要なときは因果 効果の検討が必要 64 • 因果効果の評価 – 両分析では，コントロール群に関する仮定が 異なる • １： • ２： Yx=0 ＝ Z Yx=0 ＝ a+bZ – 両仮定ともに不適切 • 現データによる検証は不可能 • 仮定Yx=0 ＝ a+bZについては回帰効果の 妥当性にも依存