Transcript 高速フーリエ変換 (fast Fourier transform)

高速フーリエ変換
(fast Fourier transform)
12月8日
第3回目発表
1
今回のテーマ


離散フーリエ変換
(discrete Fourier transform，略してDFT)
逆離散フーリエ変換
(inverse discrete Fourier transform，略して
IDFT)
フーリエ変換の基本的な考え方とは？
“すべての信号は，三角関数（正弦波）の和とし
て表現できる ”
2
フーリエ変換と離散フーリエ変換
 フーリエ変換と離散フーリエ変換の違いとは？
 フーリエ変換
 非周期信号を扱うために，積分範囲を無限大にする



数学的には連続信号を無限大の範囲で扱うことは可
能．しかし，コンピュータでは不可能
離散フーリエ変換
コンピュータで利用するために離散化されたデジタル
信号を対象にフーリエ変換をする．
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離散フーリエ変換
DFTの公式は
n 1
yk   x jWkj (k  0,1,, n 1) ()
j0
 x
k
2k
( n 1) k

x
W

x
W



x
W
0
1
2
n 1
である．
ここで，
Wは

W  e2i n , i  1 ()
で定義する．
()で，各
x jは一般に複素数である
．
したがって各
ykも複素数である．
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Wは以下の2つの条件を満たす．
① Wn  1
(Wn  e2i  cos 2  sin 2  1)
n 1
②  Wkj  0 (k  0,1,, n 1)
j0
 n 1 kj
k
2k
( n 1) k 
  W  1  W  W   W

 j0



kn
k
W 1 1 1


 k
 k
0
W 1 W 1


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整数環Zm上でのDFT
DFTはある種の整数値
m( n)を法とする整数環
Ζm
上でも以下のように定
義できる．ただし
gcd(n, m)  1．
W  Zmは，
gcd(W, m)  1を満たし，かつ条件
(Ⅰ) W  1
(Ⅱ) Wn  1
(Ⅲ)
n 1
jk
W
  0 (k  0,1,, n 1)
j0
を満たすとする．演算
はZmの上で考える．
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このとき
x 0 ,, x n 1  Zmである列
(x 0 ,, x n 1 )
に対するDFTを()と同じ式で定義する．
 ()は，



n 1
 y  x Wkj (k  0,1,, n 1) 
j
 k 

j0


そうすると
yk  Zm (k  0,1,, n 1)
となる．また
n 1 mod m  Zm , W1 mod m  Zm
であることに注意する
．
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()で定義される
Wは1の原始n乗根であり，
上記の(Ⅰ)～(Ⅲ)を満たすWは
環Zmにおける
1の原始n乗根という．
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逆離散フーリエ変換
()式で定義される列
(y0 , y1,, yn 1 )
に対する逆変換を
1 n 1
kh
zk   yh W (k  0,1,, n 1)
n h 0
で定義する．
(  )
これを逆離散フーリエ
変換(IDFT)という．
Zm上のIDFTについても，同様に定
義される．
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標本点x k (k  0,1,, n 1)を，縦ベクトル
 x0 


x  
x 
 n 1 
で表わす．
ベクトル
y, zについても同様に定義
する．
また行列Aを，その
(i, j)要素a ijについて，
a ij  Wijで定義する．
また同様に行列
Bを，その
(i, j)要素bijについて，
1 ij
bij  W で定義する．
n
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つまり
 a 00

A 
a
 01
 W0 W0
W0
 0
1
2
 a 0( n 1)   W
W
W
  0
2
4

  W
W
W


 a ( n 1)(n 1)   


 0
n 1
2( n 1)
W
W
W

 W0 

n 1
 W 
 W2( n 1) 

 
( n 1) 2 
 W

 b00

B 
b
 01
 W0
W0
W0
 0
1
2
 b0( n 1) 
W
W
W

 1 0
2
4

  W
W
W
n

 
 b( n 1)(n 1) 


 0
( n 1)
2( n 1)
W
W
W


W0 

( n 1)
 W

 W2( n 1) 

 
( n 1) 2 
 W

すると，
(*)式はy  Ax，
(***)はz  Byと表わされる．
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定理
上記のx, y, zについて，
x  zが成り立つ．すなわち
，
1 n 1
x k   yh Wkh (k  0,1,, n 1)
n h 0
と書ける．
証明
y  Ax, z  By だからz  By  BAx．よって，
B  A1，すなわち
BはAの逆行列であることを
言えばよい．
C  BAの(i, j)要素をcijとすると，
1 n 1 ( ji) k
cij   W
n k 0
が成り立つ．
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i  jのとき
W( ji) k  1 だからcij  1．
i  jのとき
n 1
n 1
k 0
k 0
lk
l
k
j  i  l とすると，
W

W
W

 0
したがって
cij  0となる．
これより
Cは単位行列である．
よって，
BはAの逆行列となり証明終
了．
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まとめ



逆離散フーリエ変換は，その名の通り離散
フーリエ変換の逆変換となっている．
離散フーリエ変換の計算量はO(n2)となる．
以前やったように，高速フーリエ変換を用い
ることでO(n logn)時間で計算できる．
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