Transcript （2006/08/30）PPTファイル簡略版

速度依存変動エディントン因子を用い
た
相対論的鉛直＆球対称輻射流
Velocity-Dependent Eddington Factor
in Relativistic Photohydrodynamics
福江
純、秋月千鶴＠大阪教育大
学
目次
０
１
２
３
４
現象：宇宙ジェット
準備：相対論的輻射流体力学
動機：モーメント定式化の病的特異性
物理：速度依存変動エディントン因子
修正と結果
1.
2.
3.
4.
平行平板：重力なし
平行平板：重力あり
球対称：重力なし
球対称：重力あり
５ 影響
Tsukuba Colloquim 06/08/30
2
０ 宇宙ジェット現象
Astrophysical Jets
亜光速ジェット


中心の天体から双方向
に吹き出す、細く絞られ
たプラズマの流れが
｢宇宙ジェット｣
ジェットの噴出速度はし
ばしば光速の数割！
Tsukuba Colloquim 06/08/30
4
SS433


特異連星SS433
ジェットの速度は光速
の26％！
Tsukuba Colloquim 06/08/30
5
マイクロクェーサー

マイクロクェーサー
GRS1915+105

ジェット速度は光速の
92％！！
Tsukuba Colloquim 06/08/30
6
活動銀河

活動銀河のジェット：
電波銀河M87ジェット
Tsukuba Colloquim 06/08/30
7
クェーサー

クェーサー3C273の
ジェット

電波・光・X線
Tsukuba Colloquim 06/08/30
8
系内ジェット＆系外ジェット
系内ジェット（microquasar）
SS433
＞LE ep
cont/blob
1E1740
ee?
GRS1915 ～LE ee? bloby
GROJ1655
ee? bloby
 系外ジェット
3C 273
＞LE ？ ？
M87
＜＜LE ？ ？

Tsukuba Colloquim 06/08/30
0.26c
0.26c
0.92c
0.92c
0.99c？
？
9
放射圧加速ジェット
光度 L＞LE
 成分
ep通常プラズマ ｖｓ ee対プラズマ
 形態
continuous / periodic / intermittent
 速度
mildly relativistic β=0.26、γ=1.04
highly relativistic β=0.92、γ=2.55
ultra relativistic β=0.99、γ=10

GRB
extremely relativistic γ=100
Tsukuba Colloquim 06/08/30
10
１ 準備
相対論的輻射流体力学
Relativistic Radiation
Hydrodynamics
１．準備



平均自由行程１
“光（光線）は直進する”と習うが、これはウソである。
晴れた日には数km先まで見えるが靄が濃いときに
は1m先ぐらいまでしか見えないこともある。星間空
間では何万光年も彼方の星が見えるが、太陽内部
では0.5cm先ぐらいまでしか見えない。
粒子（物質）と光子からなる世の中では、
“光線は平均自由行程だけ直進する”
Tsukuba Colloquim 06/08/30
12
１．準備



平均自由行程２
光の平均自由行程λは、ガス密度ρと（他の全部の
要素を含む）不透明度κの積に反比例する：
λ＝1／（κρ）
（１）
平均自由行程λはもちろん[cm]の単位をもつ。
たとえば、太陽内部では、密度は平均的に1g/cm3程
度で、不透明度は1cm2/g程度なので、平均自由行
程は1cmのオーダーになる。
Tsukuba Colloquim 06/08/30
13
１．準備




光学的深さ１
光子の輸送という観点から、光が感じる“距離”とし
て、実距離の代わりに「光学的深さ」を使う。
光が通過した実距離dsと物質密度ρと不透明度κを
用いると、光学的深さdτは、
dτ＝κρds
（２）
で定義される。
光学的深さの単位は無次元である。
平均自由行程との関連で言えば、
光学的深さが１になる距離が平均自由行程
に他ならない。
Tsukuba Colloquim 06/08/30
14
１．準備


光学的深さ２
太陽半径70万kmは太陽内部の平均自由行程
0.5cmの約1011倍なので、太陽表面から中心までの
光学的深さも1011ほどになる。
N回のランダムウォークで進む距離は、平均自由行
程の√N倍程度なので、太陽半径進むには、N＝
(1011)2＝1022となり、道のりにして、1022cmぐらいに
なるので、光速で104年かかる。
Tsukuba Colloquim 06/08/30
15
１．準備

吸収と散乱
平均自由行程進むと、物質粒子によって吸収
や散乱を受ける。
ｊ
κ
σ
Tsukuba Colloquim 06/08/30
16
１．準備
拡散近似と自由流領域１
光子を吸収した原子がふたたび光子を放出
するときや、光子が散乱されて向きを変える
とき、光子の新しい進行方向は、吸収・散乱
前の光子の進行方向とはおおむね無関係な
ので、“局所的”には、光子は千鳥足で任意
の方向に散らばっていく。近似的には、
 光学的に厚い領域では
等方的に拡散する。

Tsukuba Colloquim 06/08/30
17
１．準備
拡散近似と自由流領域２
一方、“大局的”には、熱伝導や粒子拡散と
同様、光子の密度が高い領域から低い領域
へ向けて（たとえば太陽の中心部から表面
へ）、光子はじわじわと拡がっていく。すなわ
ち、より正確には、
 光子密度の勾配の
負方向へ拡散する。

Tsukuba Colloquim 06/08/30
18
１．準備
拡散近似と自由流領域３
光学的に薄い場合、たとえば、太陽表面付近
から惑星間空間のような平均自由行程が十
分に長い場合：
 この場合は、光子は吸収も散乱もほとんど受
けずに、光源から反対方向へ向けて、“自由
流”として直進する。

Tsukuba Colloquim 06/08/30
19
１．準備




輻射場の物理量１
光子の流れ（輻射）は、エネルギーと運動量を運び、
周辺のガスに圧力（応力）を及ぼす。
「輻射エネルギー密度E」：単位体積あたりの輻射の
エネルギー（ [erg/cm3]）
「輻射流束F」：単位時間単位面積あたりに輻射が
運ぶエネルギー（ [erg/cm2/s]＝c× [erg/cm3] ）
「輻射圧P」：単位面積あたりの輻射の力（ [dyn/cm2]
＝ [erg/cm3] ）
Tsukuba Colloquim 06/08/30
20
１．準備


輻射場の物理量２
光学的に厚い領域：等方的拡散：輻射圧（拡散圧）
も等方的（パスカルの原理と同じ）。xyzの3方向のそ
れぞれに対して、
Pxx＝E/3、Pyy＝E/3、Pzz＝E/3
（３）
が成り立つ（輻射圧はテンソル量）。
大局的には、光子密度の勾配の負方向へ拡散する
ので、輻射流束は、xyzの3方向のそれぞれに対して、
Fx=－(1/κρ)dPxx/dx＝－(1/3κρ)dE/dx
Fy=－(1/κρ)dPyy/dy＝－(1/3κρ)dE/dy
Fz=－(1/κρ)dPzz/dz＝－(1/3κρ)dE/dz （４）
のようになる（輻射流束はベクトル量）。
Tsukuba Colloquim 06/08/30
21
１．準備


輻射場の物理量３
光学的に薄い領域：自由流：輻射圧は流れの方向
へだけ働き、他の方向への輻射圧はない。したがっ
て自由流の方向をz方向とすると、
Pxx＝0、Pyy＝0、Pzz＝E
（５）
となる。
また同様に、輻射のエネルギーEが自由流の方向
に光速cで運ばれるので、輻射流束は、
Fx=0、Fy=0、Fz=cE
（６）
となる。
Tsukuba Colloquim 06/08/30
22
ボルツマン方程式と流体方程式
Tsukuba Colloquim 06/08/30
23
１．準備



輻射輸送方程式
原理的には、輻射輸送方程式を解けば、輻射輸送
の問題はまぎれなく解けることになる。
7つの独立変数（r、l、t）をもった微分積分方程式で
ある。こんなの解きたくない！→梅村研究室
相対論：（座標）静止系／実験室系と（流体）静止系
／共動系を区別しなければならない。
Tsukuba Colloquim 06/08/30
24
１．準備


モーメント定式化
輻射の“非等方性”はあまり強くないと仮定し、光線
の角度依存性は弱いとして、輻射輸送方程式を角
度方向に展開し、角度について積分して、0次の
モーメント、1次のモーメント、などと呼ばれる一群の
方程式セットを得ることができる。
方程式系を閉じるために別の関係式が必要。
Tsukuba Colloquim 06/08/30
25
１．準備
エディントン近似
光学的に厚い領域で成り立つ関係：
P＝E/3 （一般にはPij=δijE/3） （７）
を「エディントン近似」と呼んでいる。
 このエディントン近似でモーメント式を閉じる。
 この関係は常に成り立つとは限らない。実際、
光学的に薄い領域では、輻射の輸送は拡散
的ではなくなるし、エディントン近似も成り立た
ない。

Tsukuba Colloquim 06/08/30
26
１．準備


変動エディントン因子
エディントン近似を一般化して、
P＝f E
（８）
と仮定し、係数 f を、光学的に厚い領域では1/3、光
学的に薄い領域では1にさせる：たとえば、光学的深
さをτとして、
f （τ）＝（1＋τ）／（1＋3τ）
（９）
などがある（Tamazawa et al. 1975）。
光学的深さなどに依存して変化する係数を、「変動
エディントン因子」と呼んでいる。変動エディントン因
子を上手に用いると、光学的に厚い領域から光学
的に薄い領域にかけて、輻射輸送を連続的に調べ
ることが可能になる。
Tsukuba Colloquim 06/08/30
27
Variable Eddington Factor
Tsukuba Colloquim 06/08/30
28
Flux-Limited Diffusion 1
Tsukuba Colloquim 06/08/30
29
Flux-Limited Diffusion 2
Tsukuba Colloquim 06/08/30
30
Flux-Limited Diffusion 3
Tsukuba Colloquim 06/08/30
31
１．準備
相対論的輻射輸送方程式１
Tsukuba Colloquim 06/08/30
32
１．準備
相対論的輻射輸送方程式２
Tsukuba Colloquim 06/08/30
33
１．準備
モーメント方程式１
Tsukuba Colloquim 06/08/30
34
１．準備（流体）共動系ｖｓ（座標）静止系
Tsukuba Colloquim 06/08/30
35
１．準備
モーメント方程式２
Tsukuba Colloquim 06/08/30
36
１．準備
エディントン近似at共動系
Tsukuba Colloquim 06/08/30
37
１．準備
質量保存の法則
Tsukuba Colloquim 06/08/30
38
１．準備
運動方程式１
Tsukuba Colloquim 06/08/30
39
１．準備
運動方程式２
Tsukuba Colloquim 06/08/30
40
１．準備
運動方程式３
輻射力 輻射抵抗
Tsukuba Colloquim 06/08/30
41
輻射抵抗
Tsukuba Colloquim 06/08/30
42
１．準備
エネルギー式１
Tsukuba Colloquim 06/08/30
43
１．準備
エネルギー式２
Tsukuba Colloquim 06/08/30
44
２ 動機
モーメント定式化の病的特異性
Motivation
２．動機
従来の定式化の下で相対論的
輻射流を調べた（Fukue 2005）
Tsukuba Colloquim 06/08/30
46
２．動機
v＝c/√3で特異性が出現
u2=1/2
or
β2=1/3
で分母=0！
平行平板（１次元定常輻射流）で、τは表面からの光学
的厚み
u=γβ=γv/c： 流れの4元速度、β=v/c
F：輻射流束、P：輻射ストレス、J：質量流束
Tsukuba Colloquim 06/08/30
47
２．動機

従来の定式化の下では
特異性を通過する遷音
速解はあるが、輻射抵
抗で減速する解で境界
条件も満たさず、不適

加速する解で、かつ表
面境界条件を満たすの
は、特異性を通過しな
い亜音速解だけだった
Tsukuba Colloquim 06/08/30
光速まで加速できない！
48
先行研究
Relativistic Radiation TransferのMoment Formalismの欠陥：
Turolla and Nobili 1988；
Turolla et al. 1995;
Dullemond 1999
らが、特性速度など、数理的な解析をしている。
ただし、回避法などについては未研究
Relativistic Wind/Accretion
Flammang 1982
Nobili et al. 1993
拡散近似をしているので、特異性は出ない
（因果律がおかしくなっているはず？）
Tsukuba Colloquim 06/08/30
49
３ 物理
速度依存変動エディントン因子
Physics
３．物理
問題はclosure relationの妥当性
特異性の原因を辿ると
エディントン近似に行き着く。
従来の定式化では、
P0：流体共動系での輻射ストレス（テンソル）
E0：流体共動系での輻射エネルギー密度
P0= f E0： f =1/3
と置くが、これは v～c （β～1）で成り立つのか？
Tsukuba Colloquim 06/08/30
51
（１）世の中
粒子サンと光クンがいる
Tsukuba Colloquim 06/08/30
52
（２）千鳥足
光速で飛ぶ光クンは粒子サンにぶつ
かるので、遅い実効速度で拡散する
Tsukuba Colloquim 06/08/30
53
（３）亜光速一様流
粒子サンが亜光速で動いていても、
全員が一様に動けば静止系と同じ
Tsukuba Colloquim 06/08/30
54
（４）亜光速加速流
速度勾配が大きいと、平均自由行程
が方向で異なり、拡散は非等方となる
Tsukuba Colloquim 06/08/30
55
４．修正
変動エディントン因子
光学的に厚い－薄いを遷
移する輻射流（球対称）
低速（静止）－亜光速へ
加速される輻射流
Tamazawa et al. 1975
Fukue 2006
τ大：diffusion limit→ f ～1/3
β小：diffusion limit→ f ～1/3
（光子の平均自由行程が短く、光子
拡散が等方）
（光子の平均自由行程が短く、光子
拡散が等方）
τ小：streaming limit→ f ～1
β大：relativistic limit→ f ～1
（光子の平均自由行程が長くなり、
光子拡散が非等方になる）
（加速が光速のオーダーになり、平
均自由行程が伸びて、光子拡散
が非等方になる）
例えば
Tsukuba Colloquim 06/08/30
56
４．修正
速度依存変動エディントン因子
ｆ （β）の条件
f（0）=1/3、f（1）=1
 単調増加
 f（β）－β2>0
（特異点はβ=1のみ）
 du/dτ|c<0
（加速解が特異点までつながる）

もっとも単純な形が→
Tsukuba Colloquim 06/08/30
57
４ 修正と結果
Modification and Results
４．１ 平行平板：重力なし
Plane-Parallel with no Gravity
Fukue 2006, PASJ, 58, 461
４．修正
ｆ （β）を用いた新しい定式化１
平行平板１次元定常流
［特殊相対論の枠内］
 質量流束の保存
 運動方程式
 エネルギー（輻射平衡）
 ０次のモーメント
 １次のモーメント
 速度に依存するエディ
ントン近似↓
Tsukuba Colloquim 06/08/30
60
４．修正
ｆ （β）を用いた新しい定式化２
光学的深さτを導入
 光学的深さ



運動量流束の保存
エネルギー流束の保存
運動方程式
u =γβ ：流れの4元速度
β=v/c
F：輻射流束
P：輻射ストレス
J：質量流束
Tsukuba Colloquim 06/08/30
61
４．結果
光速まで加速される解
境界条件
流れ基部（大気深部）
 流速 v=0
 光学的深さ τ=τ0
 （輻射流束 F=F0）
 （輻射圧 P=P0）
流れ表面（大気表面）
（亜光速で動いている境界条件；
Fukue 2005b）
 流速 v=vs
 光学的深さ τ=0

質量流束 J （固有値で求まる）
Tsukuba Colloquim 06/08/30
光速まで加速できる！！
62
４．結果

光速まで加速される解
質量流束 J （固有値と
して求まる）
Tsukuba Colloquim 06/08/30
63
４．２ 平行平板：重力あり
Plane-Parallel with Gravity
Fukue and Akizuki 2006, submitted
４．修正
ｆ （β）を用いた新しい定式化１
平行平板１次元定常流
［天体重力：PN］
 質量流束の保存
 運動方程式
 エネルギー（輻射平衡）
 ０次のモーメント
 １次のモーメント
 速度に依存するエディ
ントン近似↓
Tsukuba Colloquim 06/08/30
65
４．修正
ｆ （β）を用いた新しい定式化２
光学的深さτを導入
 光学的深さ




運動方程式
厚さの式
０次のモーメント
１次のモーメント
u =γβ ：流れの4元速度
β=v/c
F：輻射流束
P：輻射ストレス
J：質量流束
Tsukuba Colloquim 06/08/30
66
４．結果
光速まで加速される解
境界条件



流れ基部（大気深部）
 流速 v=0
 光学的深さ τ=τ0
 （輻射流束 F=F0）
 （輻射圧 P=P0）





流れ表面（大気表面）
（亜光速で動いている境界条件；
Fukue 2005b）
 流速 v=vs
 光学的深さ τ=0






質量流束 J （固有値で求まる）


r＝3 rｇ
τ0＝1
F0＝1 LE/(4πrg2)
P0＝1.23 LE/(4πrg2)/c
J＝1
r＝3、 τ0 ＝1、
F0 ＝1、 P0 ＝1.23（J＝1）
r＝3、 τ0 ＝1、
F0 ＝10、 P0 ＝10.6（J＝1）
r＝3、 τ0 ＝1、
F0 ＝1、 P0 ＝1.041（J＝0.005）
τ0 ＝1、 F0 ＝1、 P0 ＝1.23
r＝3
r＝2
r＝1.5
Tsukuba Colloquim 06/08/30
67
５ 影響
Influence
５．影響
関連する天体現象
輻射場が重要な相対論的天体現象全般
ブラックホール降着流
 相対論的天体風、亜光速宇宙ジェット
 相対論的爆発、ガンマ線バースト
 ニュートリノ輸送
 初期宇宙

Tsukuba Colloquim 06/08/30
69
５．影響

今後の課題
ｆ （τ,β）のより適切な形？ まだ対症療法
平行平板→球対称の場合 → 秋月講演
 重力場の効果
 ガス圧、磁気圧の効果
 非定常流の場合
 降着流の場合
 いろいろな天体現象への応用
 数値シミュレーション→誰か他の人（笑）
Tsukuba
Colloquim 06/08/30
 FLD(flux-limited
diffusion)などへの応用

70