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2007/11/19~21 原子核・ハドロン物理：横断研究会 @KEK
有限温度において
有限質量ボソンと結合する有限質量
クォークの準粒子描像
三ツ谷和也（京大基研）
arXiv:0710.5809
in collaboration with
北沢正清（阪大）
国広悌二（京大基研）
根本幸雄（名大）
Contents
1. 導入
plasmino、Tc近傍におけるクォーク、ソフトモード、3ピーク構造
2.
3.
4.
5.
6.
模型
スペクトル関数
ポール構造
準位混合からの議論
まとめ
QCD phase diagram
Perturbative expansion is valid : HTL scheme
（クォークとグルオンの準粒子からなる気体）
•“強相関QGP” 描像
T
•RHICにおける流体模型の成功
•小さなずれ粘性
•lattice
QCD Calculations
J/Y , hcスペクトル
QCD
の漸近自由性
→ 高温高密度で結合が弱くなる.
•T ~ 1.6－2 Tc にわたって強度を持つ
（Matsufuru et.al, Asakawa et.al, Datta et.al）
Tc
QGP相
c-symmetric
RHIC
閉じ込め相
c-S.S.B
カラー超伝導
m
Quark at high T
Hard Thermal Loop Approximation
k ~ T がループ積分に
おいて支配的
k
(E. Braaten and R. D. Pisarski)
T >> w, p, mf のとき有効
「プラズミーノ」
p << T
p-k
•二つの分散関係が存在する
•ひとつの分散関係は極小点を持つ
→プラズミーノ
•熱質量 : 温度に比例する質量を持つ
H.A.Weldon, PRD40(1989)2410
(1/8)
（×CF）
（プラズミーノの初出は V. V. Klimov, Yad. Fiz 33, 1734 (1981)）
Tc 近傍でのクォーク準粒子
• 格子QCDにおけるクォークスペクトル
F.Karsch and M.Kitazawa (2007)
– δ関数的な2ピーク構造による近似がよい＠T=1.5Tc
• cf : 別の lQCD の計算では T/Tc ~ 1.6-2 程度までチャーモ
ニウムが残るとされている。
• SD eq. を用いた解析
M.Harada, Y.Nemoto and S.Yoshimoto (2007)
– 有限温度の強結合ゲージ理論においてクォークスペク
トルが2つのピークを持つ
Tc近傍でもクォークは基本的自由度として振舞うであろう
Soft Mode And Quark Quasi-Particle
•Chiral Soft Mode
•Softening of Mesonic Mode
相転移の次数が二次または弱い一時のとき相転
移の臨界点近傍でオーダーパラメーターの揺らぎ
が大きな強度を持つ。カイラル相転移の場合はカ
イラル凝縮の揺らぎであるσおよびπ中間子的励起
がTc近傍でソフト化する。
T.Hatsuda and T.Kunihiro, (1985)
•Quark Spectrum Near And Above Tc
3-peak structure
In NJL Model
mq = 0 ( chiral limit)
M.Kitazawa , T.Kunihito and Y.Nemoto. (2006)
Effect Of Quark Mass
• 北沢らの計算 : mq = 0 (カイラル極限) → 3-ピーク 構造
• ⇔ 現実のクォークは質量を持つ：カレント質量、動力学的質量
有限質量クォークではどのようになるだろう ?
湯川模型を用いて解析を行う
•スペクトル関数
•伝播関数のポール構造
•温度依存性に注目
Model And Approximation
•Self Energy (1-loop)
P－K
P
p = 0 only
フェルミオンとスカラー
場の湯川結合
K
• 温度依存性に集中するため
• w-T 平面上へのプロットを行う
クォークグリーン関数
g = 1 : 結合定数を変えても結果の定性的な振舞は変わらなかった
The spectral function
projection op.
クォーク成分のみを扱う
cf : parity property
The spectral function
Quark spectrum in Yukawa models was shown in Kitazawa et al, Prog.Theor.Phys.117, 103 (2007)
mf = 0
• T = 0 では d-関数的なピークのみ
• T ~ mb では 3-ピーク構造が見られる
• 高温では 2-ピーク構造に移行し、高温で得られて
いる描像と合致
The spectral function for mf / mb = 0.1
• w < 0 のピークが抑制される
• 3-ピーク構造はかすかに見られる程度
The spectral function for mf / mb = 0.3
負エネルギーピークの抑制が強くなる
Poles of the quark propagator
Poles are found by solving
The residue at pole which
indicate the strength of the
excitation
Pole approximation of the spectral function
A sum rule for the fermion spectral function
If pole approximation is good
mf=0
How the poles move
t = T / mb
(A)
(C)
(B)
• Aのポールは温度によらず原点：δ関数型ピークに対応
• BおよびCは温度上昇とともに実軸に近づいていく：集団
励起ピークの成長
The residues
Sum rule is satisfied
approximately
• T ~ mb で三つの留数は同程度: 3ピーク構造
とコンシステント
How the poles move (mf /mb=0.1)
t = T / mb
(A)
(B)
(C)
• A は初め mf の位置にあって温度が上がると原点に漸近
• C は同じ温度では B より深い位置にある：負エネルギー
ピークの抑制
The residues and a sum rule
Sum rule is
approximately satisfied
• ポール (A) における留数は高温で減衰
• T ~ mb でポール (B) における留数はポール (C) におけ
るそれより大きい（負エネルギーピークの抑制）
Structural change in the pole behavior
mf / mb = 0.3
mf / mb = 0.2
(A)
(A)
(B)
(B)
(C)
(C)
• ポールの軌跡の構造が変わる
（境目となる質量は mf * / mb ~ 0.21）
準位混合からの解釈
ImS
S ＝
自己エネルギーの虚部∝崩壊率
- ランダウダンピング
- ボゾン質量有限→2ピーク
→実効的に三準位系の混合
w
qbar
b
q
q
q
b
(p=0)
mf=0
||
0
3ピーク構造
qとqbar-hole の混合
フェルミオン質量が有限の場合
w
w
mf* > mf >0
(p=0)
mf >mf*
(p=0)
mf
mf
0
負エネルギー 0
ピークの抑制
T=0 のときのポールは準位混
合が大きくなるほど原点へ
T = 0 の時のポールは
より高いエネルギーへ
Summary
• スペクトル関数
– mf = 0 の場合には T ~ mb で3ピーク構造を持つ.
– mf が増えるにつれて負エネルギーピークは抑制され
る
• ポール構造
– 伝播関数は r(w) のピークに対応するポールをもつ
– ポールの情報からの BW 近似は T ~ mb で良く r(w)
を再現する （省略）： 励起をポールで記述できる
– 温度を変えたときにポールの軌跡は mf を増加させて
いくとある mf 定性的に変わる。
• 準位混合を用いて上記の結果は理解できる
•PS ボソンと結合する場合 (今回は省略)
•定性的には同じ
•原点付近のピークはやや大きくなる
Future works
• レプトン対生成率への影響の評価
• vector boson との結合 (in Stuckelberg formalism)
擬スカラーボゾンの場合
•定性的には変わらない
•原点付近のピークが大きくなる
•ポールの温度依存性が定性的に切り替わる境目の質量は
mPS* ~ 0.23 になる。
mf / mb = 0.2
Explicit expression of T = 0 part
Diverge !
Subtracted Dispersion Relation
Kramers-Kroenig Relation for f(x)
Finiteness of ReS require | f(z)| to converge as z → \ . Else one should use
Those are called once “subtracted” and twice “subtracted” dispersion relation
respectively.
The Spectral Function
The spectral function for mf / mb = 0.2
Under standing from the self-energy
Imag.
T
（Kramers - Kronig relation）
for
Peaks in ImS  heaves in ReS
•New peaks at higher temperature
cf : “quasi”-disp. rel.
Real
T
＊This Analysis in Ch. Lim. Still Shown by Kitazawa, et. al. （M.Kitazawa, et.al. Phys.Lett. B633 (2006) 269）
Under standing from the self-energy
Imag.
T
• Mass lower the y-int.
（⇔ free particle
peak is at w > 0）
Quasi Dispersion Relation :
The peak with negative
energy require higher temp.
Real
T
The Pole Structure Of The Quark
Propagator
Pole Structure Of Propagators ( mf = 0 )
(A)
(C)
Real
(B)
Imaginary
infinite #s of poles
- 2T
z: complex energy variable
z
• Poles of the retarded
functions in the lower
half plane
Breit-Wigner approximations
T/mb = 0.5
T/mb = 1.0
T/mb = 1.5
原点付近以外では良くあっている。
原点付近で合わないのは虚軸付近
の無数のポールの寄与を取り入れ
て無いから
Breit-Wigner approximations
T/mb = 0.5
T/mb = 1.0
T/mb = 1.5
• よく合っている
Residues
• 高温におけるポールAとポールBの振舞が入れ替
わったような形になっている。
mf / mb = 0.2
mf / mb = 0.3
The behavior at high temperature
wQ = mb
phase space
for decays
vanish
ex) T/mb = 20.0
• Im z / Re z is small at high T
• mT of HTL well approximate the real part at
high T
mT =gT/4
The Level Mixing
The Physical Origin
Of Multi Peak Structures
M.Kitazawa, et.al. Phys.Lett. B633, 269 (2006)
Level Mixing
Kitazawa et al, Prog.Theor.Phys.117, 103 (2007)
~ massless fermions coupled with a massive boson ~
ms
quark
ms
anti-q hole
w
quark
r-(w,k)
||
r+(w,k)
k
Energies of the mixed levels
ここまで紹介した例では放出/吸収されるボソンの運動量が0の近似の場合
→ここでは有限運動量を考える。
0 < w < |mb-mf|
0 > w > - |mb-mf|
(Eb, k)
(Ef, k)
(w,0)
(Eb, k)
(w,0)
(Ef, k)
混合を起こす対象の準位のエネルギー
w> = Eb – Ef (>0)
w< = Ef – Eb (<0)
Eb = sqrt(mb2 + k2)
Ef = sqrt(mf2 + k2)
自己エネルギーの虚部∝崩壊率
二箇所で混合の振幅が非常に大きい
→実効的に三準位系の準位混合
→3ピーク構造
負エネルギーピークの抑制
>
2
w散乱の位相体積部分∝k
分布関数 n(k), f(k) 等
w<
w>
w<
M - = mb - mf
the structural change from the aspect of level mixing
中間準位との混合は熱的効果で起こる
- 低温すぎると準位混合の効果は弱くポールAはほとんど動かない
- グラフはポールAが有意に動き出したときの温度における概念図
original level is pushed down
in energy at high T
w
original level is pushed up in
energy at high T
mf < m*
w
mf > m*
k
k
mf = 0,0.1,0.2
Effective mixed level
mf = 0.3
Level Mixing
~ massless fermions coupled with a massless boson ~
（H.A.Weldon, PRD40(1989)2410）
w
quark anti-qth hole quark
r-(w,k)
||
r+(w,k)
k
Renormalization Of T = 0 Part
• We use twice subtracted disp. rel. for regularization of
integral
General complex function f(x) obey to the following relation :
（Dispersion Relation）
Even if above expression diverge, following expression sometimes converge.
This expression is called “twice-subtracted” dispersion relation
Renormalization Of T = 0 Part
（dbl sign : for p0 > 0 upper , for p0 < 0 lower）
Mass Shell Renormalization
Mass Renorm.
In terms of S
Wv. Fnc. Renorm.
（dbl sign : for p0 > 0 upper , for p0 < 0 lower）
•Finite temperature part converge → disp. rel. without subtraction.
Im S and decay processes
External line have positive quark number
（I）
（II）
（III）
（IV）
（I）
（III）
Landau
Damping
（II）
（IV）
time
Allowed Energy Region For The Processes
-(mb+mf)
mf < mb （IV）
-|mb-mf|
（III） 0 （II）
（II）
mf > mb （IV）
（III）
|mb-mf|
(mb+mf)
（I）
（III）
（I）
(II)
Thermal
excitation
Landau damping processes
-including thermally excited
particles in the initial state
ImSのピークの位置と mf の比較
we use the minima in the imaginary parts of the self-energies
for rough indication for effective energy of intermediate states
T/mb = 0.5 at which T=0 pole start
to move notably
mf / mb = 0.1
mf / mb = 0.2
minima exist at w < mf
mf / mb = 0.3
minima exist at w > mf