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反応性流体力学特論
－燃焼流れの力学－
燃焼の流体力学 4/22,13
燃焼の熱力学 ５/13
流れの基礎方程式 (1)
• 流れのﾊﾟﾗﾒｰﾀｰ
流体
度
～密度変化、温度変化の影
乱流
（
ﾏｲｸﾛ
・衝撃波
車、船
）
ﾏｼﾝ
– クヌッセン数(Kn)
～分子運動 vs. 流体運動
寸法 （log）
（分子運動長） /（寸法）
・希薄気体
←
密
～流れの不安定、乱れ
宇宙船
度
変
・乱流
航空機 化
速
log
– レイノルズ数(Re)
（寸法）×（速度）
（粘度）
– マッハ数(Ma)
響
（速度）／（音速）
分子
流れの基礎方程式 (２)
ナビエ・ストークス方程式
質量保存
(連続の式)
運動量保存
ｴﾈﾙｷﾞｰ
保存
状態方程式
u j

ρ
 uj

t
x j
x j
u j
p
ui


  u j
xi
t
x j
 


I


2

S
ij
ij   Fi

x j  3

u j   T 
T
T

cv
  cvu j
 k
    Q
p
t
x j
x j x j  x j 
p  RT
流れの基礎方程式 (３)
流れの基礎式 －無次元化
*
 L  * * *
* u j
 t U  t  u j x*   x*
0 
j
j
u*i
 L  * u*i
 p0  p*    1 I * 2u*i 
* *
 t U  t *   u j x*    U 2  x*    UL 3 x*  * 2 
j
x j 
0 
 0  i  0 
i
i
 L  * * T *
 p0  * *  k   2T *     U 2  *
 t U  cv t    c T  p I    c UL * 2    UL  c T 
0 
 0 v 0
 0 v  x j
 0  v 0 
p*  *T *
流れの基礎方程式 (４)
流れの無次元パラメータ
 L 
 t U   St (Strouhal数)
0 
 p0  0 RT0
  c T    c T   1
0 v 0
 0 v 0
 p0  a20
1


  U 2  U 2 M 2
 0 
 k  1
1


  c UL Pe Re  Pr
 0 v 
(M:Mach数, k:比熱比)
   1
  UL  Re (Reynolds数)
 0 
（Pe:Peclet数、Pr:Prandtl数)
 U2 
2
 c T    1M
 v 0
反応流れの基礎式
連続の式
運動量の式
エネルギー式
＋
状態方程式
＋
化学種の式
アレニウス則
化学反応
 fu
 E  Yfu 
 fu  B exp  
 RT  M fu 

 Yox  ox


 M ox 
状態方程式
p  RT W ,
p  Ct RT 
W   Ct  W C Ct  W X
RT
W X
 RT Y W
Ci：化学種 i のモル濃度［mol m-3］
Ct：混合ガスのモル濃度［mol m-3］
Wi：化学種 i の分子量
W：混合ガスの平均分子量
Yi ：化学種 i の質量分率
Xi ：化学種 i のモル分率
R：普遍気体定数
化学種の輸送方程式

    v    
t
Y
   Y v    
t
Y   
v

V   v  v ; v 

d
DY
     Y Vd    
Dt
＝  ,
  0, Y V   0
D 
    v  0
Dt t
d
化学種の輸送方程式
モル分率の勾配
X  Y
p

X   
v   v   Y  X  
p
 D
X 
Y W
Y W

X Y  DT DT  T


 Y Y f  f    


p 
Y  T
 D  Y

２成分の場合

DT ,1 T 
Y1Y2
p Y1Y2 2 


Y1  X1  
f1  f2  
Y1v1  D12 Y1 

X
X
p
X
X
p

D
T


1 2
1 2
T ,2


YY v   v   YY Vd  Vd   Y Y Vd   Y Y Vd   Y  Y  Y Vd 
 Y Vd
1
エネルギーの輸送方程式
内部エネルギー
エンタルピー
全エンタルピー
(ha = h+v2/2)
De
  p  v    q   Y f  v    Q
Dt
Dh Dp


   q   Y f  v    Q
Dt Dt
Dh* p

  p  v    q   Y f  v    Q
Dt t

 X DT , 
v  v  
q  T    hY v  

   m D 
化学ｴﾝﾀﾙﾋﾟｰ流束
h  e
p

 hY 
p

,
Dufour 効果
h  h
h   hf , c pT   hf , 

f ,
  c p, dT
T
T0
(比熱Cpが化学種、温度に因らず一定のとき）
熱・物質移動に関係する無次元数
h

• Nusselt数 Nu 
L
• Prandtl数

Pr 

• Schmidt数 Sc 
• Lewis数
Le 

D

D
h：熱伝達係数
：熱伝導率
ν：動粘性係数
D：物質拡散係数
α：温度拡散係数
化学反応に関係する無次元数
tr
• (第１)Damköhler数 D 
tc
• Karlovits数 K 
 dU
tr：流れの特性時間
tc：反応の特性時間
予熱帯厚  
U dy
燃焼速度：S
• 乱流Damköhler数
ｌ ：乱流長さスケール
u’：速度変動、δ: 火炎厚さ
tt  S
Da  
t c u' 

c p S


S
計算アルゴリズム(１)
時間
対流

ρ
 uj
t
x j

ui
u
  u j i
t
x j
T
T
cv
  cvu j
t
x j
干渉

拡散 ・ 生成
uk
xk
p

xi
 pI
p  RT
 

I


2

S

ij
ij   Fi
x j  3

  T 
k
Q
x j  x j 
計算アルゴリズム(２)
・時間-干渉 項の性質
圧縮性 （一次元管路）

u
 
t
x

u
p

t
x
p
 const


（等ｴﾝﾄﾛﾋﾟｰ）

u
 
t
x

u

 a2
t
x
 dp 
p
a 2     

 d s
マッハ数：Ma = U / a
a(音速）~干渉項の特性量
U(流速)~対流項の特性量
2
2u
2  u
a 2
2
t
x
音波
 u  f x  at  gx  at
計算アルゴリズム(３)
・時間-干渉 項の性質
非圧縮性 （フラクショナル・ステップ）
ui
0
xi
ui  ui*
1 p

t
 xi
ui*
u
( *  u j i  )
t
xi
  const
if Ma→0
a（音速）→∞
*
1 2 p
1  ui u i 
  

2
 xi
t  xi xi 
圧力ポアソン式
計算アルゴリズム (４)
•フラクショナルステップ（fractional step）法
時間
対流
0
u j
ui(1)
 uj
t
x j
ui( 2)

t
ui(3)

t
干渉
拡散 ・ 生成
uk
xk

p
xi
 

I


2

S

ij
ij   Fi
x j  3

計算アルゴリズム(５)
非圧縮性流れの解法 －MAC法
ui
0
xi
ui
n1
u
1 p

(Fi )
t
 xi
*
i
ui*
ui
( *  u j
 )
t
xi
  const
*
1 2 p
1  ui n1 u i  Fi
 


2
 xi
t  xi
xi  xi
Pressure Poison eq.
計算アルゴリズム(６)
•low Mach number approximation   0  M1  
step1
step2
step3
ρ0*
ρ0*
 uj
t
x j
熱力学的圧力
u*j
u*i
0
  0u j
t
x j
p0   0*RT0*
p
( 0  0)
xi
 T * 
T0*
T0*

k
Q
0cv
  0cvu j

t
x j x j  x j 
0  0*
* uk



0
t *
xk
p0  0 RT0
u  u*
1 p1


t *
0 xi
T0  T0*
uk


p
0
t *
uk
反応流れの機構
物質拡散
・熱と物質の収支
化学種の流入
化学種の濃度変化
温度変化
熱の流入
化学種の流出
熱の流出
温度拡散
・反応速度
反応後端
反応前端
未反応
流体
既反応
流体
⊿x／⊿ｔ＝反応の移動速度
化学反応帯
⊿ｔの間に反応が
終わった空間 ＝ ⊿x’
⊿ｔの間に反応が
⊿x ＝ 始まった空間