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§２
方程式の利用
（４時間）
① 方程式の利用
10人の子どもたちに，１個 250円のケーキと，１個 100円のア
イスをあわせて 10個買っていきたい。1600円で，できるだけ値段
の高いケーキをたくさん買いたいとき，ケーキとアイスをそれぞ
れ何個ずつ買えばよいか考えてみよう。
○求める数量を^^ ^x^ ^ で表す
ケーキの個数を x個とする。
アイスの個数は (10-x)個となる。
○数量の間の関係を見つける
ケーキの代金 + アイスの代金 =
合計の代金
○方程式をつくる
ケーキ x個の代金
250x
^ (円)
アイス (10-x)個の代金
100(10-x)
(円)
ケーキとアイスの合計の代金
1600
^ ^(円)
方程式
250x + 100(10-x) = 1600
○方程式を解いて，答を求める
ケーキの個数を x個とすると，
250x+100(10-x)=1600
250x+1000-100x=1600
250x-100x=1600-1000
^ 150x=600
^ x=4
アイスの個数
10-4=6
ケーキの個数４個，アイスの個数６個
１個80円のみかんと１個100円のりんごを合わせて18個買った。
そのときの代金の合計は1680円だった。みかんとりんごをそれぞ
れ何個ずつ買ったのか求めなさい。
○求める数量を^^ ^x^ ^ で表す
みかんの個数を x個とする。
りんごの個数は (18-x)個となる。
○数量の間の関係を見つける
みかんの代金 + りんごの代金 =
合計の代金
○方程式をつくる
みかん x個の代金
80x
^ (円)
りんご (18-x)個の代金
100(18-x)
(円)
みかんとりんごの合計の代金
1680
^ ^(円)
方程式
^ ^80x + 100(18-x) = 1680
○方程式を解いて，答を求める
みかんの個数を x個とすると，
80x+100(18-x)=1680
80x+1800-100x=1680
80x-100x=1680-1800
-20x=-120
^x=6
りんごの個数
18-6=12
みかんの個数６個，りんごの個数^^12^^個
ケーキ６個と80円のプリン１個の代金は，ケーキ１個と150円
のジュース１本の代金の４倍になった。このケーキ１個の値段は
いくらか求めなさい。
ケーキ６個と
ケーキ１個と
80円のプリン１個
=
の代金
150円のジュース１本
の代金
80円
=
600円
520円
260円
*4
ケーキ６個と80円のプリン１個の代金は，ケーキ１個と150円
のジュース１本の代金の４倍になった。このケーキ１個の値段は
いくらか求めなさい。
ケーキ６個と
ケーキ１個と
=
80円のプリン１個
の代金
x円
x円
x円
150円のジュース１本
の代金
x円
x円
x円
80円
x円
=
*4
150円
*4
ケーキ１個の値段を x円とすると，
6x+80 = 4(x+150)
これを解くと，
6x+80=4x+600
6x-4x=600-80
2x=520
x=260
ケーキ１個の値段
260円
兄は780円，弟は630円持っている。２人とも同じ本を買った
ところ，兄の残金は弟の残金の２倍であった。２人の買った本の
代金を求めなさい。
兄の残金
= 弟の残金
*2
本代を x円とすると，
兄の残金
780-x
(円)
弟の残金
630-x
(円)
780-x=2(630-x )
これを解くと，
780-x=1260-2 x
-x+2x=1260-780
x=480
本代
480円
数人の子どもたちでアメを分けることにした。５個ずつ分ける
と12個余り，７個ずつ分けると４個足りない。子どもの人数とア
メの個数を求めなさい。
1
2
3 ･･･ x-1
x
12個
4個
1
2
･･･
x-3
x-2
x-1
x
子どもの人数を x人とすると，それぞれから求められるアメの
個数は，
5x+12 と 7x-4
となり，これが等しいので，
5x
12
アメの個数
5x+12=7x-4
7x
これを解くと，
4
5x-7x=-4-12
-2x=-16
x=8
子どもの人数
８人
子どもの人数を ８人とすると，アメの個数は，
5*8+12=52 (個)
7*8-4=52 (個)
アメの個数
52個
製品を送るため，箱を何箱か用意した。１箱に製品を５個ずつ
入れると10個が残ったので，６個ずつ入れると最後の箱は製品が
２個になった。箱の数と製品の数を求めなさい。
1
2
･･
･
･
･
･
x-1
x
･
･
･
箱の数を x個とすると，それぞれから求められる製品の数は，
5x+10 と 6(x-1)+2
5x
となり，これが等しいので，
5x+10=6(x-1)+2
10
製品の数
これを解くと，
6(x-1)
5x+10=6x-6+2
5x-6x=-6+2-10
-x=-14
x=14
箱の数
14箱
箱の数を 14箱とすると，製品の数は，
5*14+10=80
6*13+2=80
製品の数
80個
2
兄が，1500ｍ離れた駅に向かって家を出発した。それから10分
たって，弟が兄の忘れ物に気づき，自転車で同じ道を追いかけた。
兄は分速60ｍ，弟は分速180ｍで進むとすると，弟は出発してから
何分後に家から何ｍの地点で兄に追いつくか求めなさい。
60ｍ/分
10分間
180ｍ/分
x分間
x分間
弟が出発してから x分後に兄に追いつくとすると，
10分間
x分間
駅までの距離(1500ｍ)
x分間
兄
弟
速さ (ｍ/分)
60
180
時間 (分)
10+x
x
距離 (ｍ)
60(10+x)
180x
兄の進んだ距離=弟の進んだ距離 なので，
^ ^ ^ 60(10+x )=180x
これを解くと，
^ ^60(10+x ) ^ ^ ^ ^180x
__________=_____
60
^ ^ ^60
10+x=3x
-2x=-10
x=5
５分後に追いついたとすると，
それまでに進んだ距離は，
兄 60*(10+5)=900 (ｍ)
弟
180*5=900 (ｍ)
５分後に 900ｍの地点で追いつく
例４で兄が家を出発してから20分たって，弟が追いかけたとし
た，弟は出発してから何分後に兄に追いつくか求めなさい。
60ｍ/分
20分間
x分間
180ｍ/分
x分間
弟が出発してから x分後に兄に追いつくとすると，
20分間
x分間
駅までの距離(1500ｍ)
x分間
兄
弟
速さ (ｍ/分)
60
180
時間 (分)
20+x
x
距離 (ｍ)
60(20+x)
180x
兄の進んだ距離=弟の進んだ距離 なので，
^ ^ ^ 60(20+x )=180x
これを解くと，
^ ^60(20+x ) ^ ^ ^ ^180x
__________=_____
60
^ ^ ^60
20+x=3x
10分後に追いついたとすると，
それまでに進んだ距離は，
兄
60*(20+10)=1800 (ｍ)
弟
180*10=1800 (ｍ)
-2x=-20
10分後に1800ｍの地点では駅を越えて
x=10
しまうので，追いつくことはできない
ふもとから山頂まで，分速40ｍで登るのと，同じ道を山頂から
ふもとまで，分速70ｍで下るのとでは，かかる時間が60分違って
いた。ふもとから山頂までの距離と，登りにかかった時間を求め
なさい。
ふもとから山頂までの距離を xｍとすると，
速さ (ｍ/分)
時間 (分)
距離 (ｍ)
登り
下り
40
x
___
40
x
70
x
___
70
x
となり，登りの方が下りより60分，時間が多いので，
x
x
___+60=___
^ ^ 40
^70
これを解くと，
7x+16800=4x
3x=16800
x=5600
距離が5600ｍ，登りの速さは分速40ｍであるので，かかった時間は，
5600
____=140
40
ふもとから山頂までの距離 5600ｍ， 登りにかかった時間 140分
方程式を使って問題を解く手順
① 求める数量を^^ ^x^ ^ で表す。
② 数量の間の関係を見つける。
③ 方程式をつくる。
④ 方程式を解く。
⑤ 方程式の解が，問題にあっているかどうか調べる。
ＥＮＤ