第9回（水文統計）（167KB）
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Transcript 第9回（水文統計）（167KB）
河川工学
－水文統計－
昼間コース
選択一群 ２単位
朝位
http://www.suiri.civil.yamaguchi-u.ac.jp/
[email protected]
降水量や河川流量などの水文量の発生確率はある確率密度関数
（probability density function）に従う．我々が観測で得られる情報
は無数の集団（母集団；population）の中から無作為抽出された一
部の情報にすぎない（すなわち標本；sample）．
標本から母集団が従う確率分布を求め，その確率分布から任意の
水文量の発生確率や非超過確率などを求める．
確率密度関数として代表的なものに正規分布（normal distribution，
あるいはガウス分布（Gaussian distribution）ともいう）があげられる．
これは左右対称な分布である．
( x x0 )2
f ( x)
exp
2
2
2
1
：標準偏差，x0：平均値
降雨や河川流量などの水文量は左右対称な正規分布よりも，
非対称な確率分布に従うことが多い．
対数正規分布，ピアソンⅢ型分布，対数ピアソンⅢ型分布，
Gumbel分布
頻度（確率密度）f(x)
W(xr)
f(xr)
F(xr)
xr
変量(x)
f ( xr ) ：xrの発生確率
F ( xr )
xr
f ( x)dx ： xrを越えない確率（非超過確率）
W ( xr ) 1 F ( xr ) ： xrを越える確率（超過確率）
T年確率雨量よりも大きい雨の降る確率を「T年確率雨量の超
過確率」
100年確率⇒1/100（1%）の確率で100年確率雨量以上の雨
が降る
50年確率雨量の超過確率⇒1/50＝0.02（2%）
10年確率雨量の超過確率⇒1/10＝0.1（10%）
T年確率雨量よりも小さい雨の降る確率を「T年確率雨量の非
超過確率」
100年確率⇒1-1/00（99%）の確率で100年確率雨量以下の
雨が降る
50年確率雨量の非超過確率⇒1-1/50＝0.98（98%）
10年確率雨量の非超過確率⇒1-1/10＝0.9（90%）
なお，雨量に限らず確率年（return period）は他の水文量（河
川流量など）にも適用でき，確率水文量という．
水文資料（データ）から（非）超過確率を求める手法は種々提案
されている．
対数正規分布：岩井法，石原・高瀬法
一般化極値（GEV）分布：L積率法 など
近年はコンピュータの発達より，数値計算で求めることが多い．
図式解法が手間がかからず，直感的で分かりやすい．
年最大降雨量のデータ（データ個数N）を小さい方から順に並
べる．
i番目のデータxiの非超過確率F(xi)を以下の式で求める
（プロッティングポジション公式という．得られた値はプロッティ
ングポジションという．）
ia
F ( xi )
N 1 2a
a=0:Weibull（ワイブル） プロット
a=1/2:Hazen（ハーゼン）プロット
a=2/5:Cunnane（カナン）プロット
p．148
演習問題2
N=20
ia
F ( xi )
N 1 2a
13
0.619
20 1
13 1/ 2
F ( x13 )
0.625
20
F ( x13 )
対数確率紙にプロットする．
非超過確率（%）
降水量（mm） Weibull
Hazen
48
4.8
2.5
55
9.5
7.5
60
14.3
12.5
68
19.0
17.5
78
23.8
22.5
80
28.6
27.5
84
33.3
32.5
90
38.1
37.5
97
42.9
42.5
104
47.6
47.5
110
52.4
52.5
118
57.1
57.5
131
61.9
62.5
140
66.7
67.5
153
71.4
72.5
160
76.2
77.5
172
81.0
82.5
180
85.7
87.5
205
90.5
87.5
220
95.2
97.5
非超過確率（%）
99.99
99.9
100
年確
率
10年
確率
99
98%(1-1/50)
50年確率
95
90
80
70
60
50
40
30
20
10
5
Weibull
Hazen
1
0.1
0.01
10
100
年最大日降水量（mm）
300mm
1000
岩井法
1
W ( x) 1 F ( )
2
超過確率
2
xb
確率密度関数は非対称な正規分布（対数正規分布）： f ( x) exp log x b
0
非超過確率関数
F ( )
2
0
exp t 2 dt
x b
log
x0 b
水文資料より定数α，b，x0を求める．
その後，上の三式を用いれば任意確率変量xに対する超過確率が求まる．
頻度（確率密度）
b
t
降水量
220
205
180
172
160
153
140
131
118
110
104
97
90
84
80
78
68
60
55
48
平均
log
2.342423
2.311754
2.255273
2.235528
2.20412
2.184691
2.146128
2.117271
2.071882
2.041393
2.017033
1.986772
1.954243
1.924279
1.90309
1.892095
1.832509
1.778151
1.740363
1.681241
2.031012
log x0
log x
2.031
x0 107.4
n
xs xt x02
b
xs xt 2 x0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
xs
220
205
180
172
160
153
140
131
118
110
xt
48
55
60
68
78
80
84
90
97
104
b
-18.3226
-5.7469
-29.1571
6.398413
40.7431
38.74945
24.48261
41.16774
-443.8
118.45
b 12.03
b 23.57
雨量の全データ数の10%の個数のbの平均を用いる．
この例題では20×0.1=2（個）のbの平均を採用する．
最大値と最小値のデータを対応させる．
bが負値であることは原理的におかしい（負の雨量を意味する）ので，正の
値をとる4，5番目の値を採用する．
降水量
(log(x-b)/(x0-b))^2
220
0.136758216
205
0.112432551
180
0.07339796
172
0.061564637
160
0.044736655
153
0.035583346
140
0.020353425
131
0.011604915
118
0.002673978
110
0.000175961
104
0.000323331
97
0.003309234
90
0.010208114
84
0.020205733
80
0.029545971
78
0.035179178
68
0.076023257
60
0.131000777
55
0.181522936
48
0.286734546
合計
1.273334721
1
2
x b
log
n
x0 b
2
2
1.273 0.3568
20
2.803
2.803log
F ( )
x 23.57
107.4 23.57
2
W ( x)
0
exp t 2 dt
1
1 F ( )
2
F ( )
2
0
exp t 2 dt
上式の計算は数表を用いるかあるいはコンピュータで数値計算を行う．
x 23.57
2.803log
107.4 23.57
x=300(mm)の場合：
1.452
確率年とξの関係は以下のとおりである．
（高瀬信忠著：河川工学入門，p.84，森北出版，ISBN4-627-49501-3）
確率年
49
50
51
100
ξ
1.4464
1.452
1.4578
1.645
岩井法では300mmの降雨は50年
確率と判断される．
（図式解法でも50年確率）
100年確率ではξ=1.645となる．この値となるxを逆算すると
log( x 23.57) 0.3568 log(107.4 23.57)
x 100.35681.645 log(107.4 23.57) 23.57 347.4(mm)
100年確率雨量
H17年までのデータ H16年までのデータ
平方根指数型最大値分布
411.7mm
401.1mm
岩井法
342.3mm
322.2mm
450
2005年（H17） 台風14号
1950年（S25） キジア台風
414mm
329mm
計画雨量360mm
350
300
250
200
150
100
50
錦川の流域平均年最大2日雨量
H14
H10
H6
H2
S61
S57
S53
S49
S45
S41
S37
S33
S29
S25
S21
S17
S13
S9
S5
0
T15
流域平均年最大2日雨量（mm）
400
非超過確率（%）
99.99
99.9
99.6%
99
0.4%=0.004=4/1000
=1/250
250年確率
95
90
80
70
60
50
40
30
20
ワイブルプロット，
H17年のデータは
除く
10
5
1
0.1
0.01
10
2日雨量（mm）
100
錦川の流域平均年最大2日雨量
400mm
の雨量
1000