Transcript 母集団分散の統計推定
母集団分散の区間推定
母分散の信頼区間
F分布
母分散の比の信頼区間
標本分散の統計量
n
(
2
xi x
i 1
標本分散は
)
2
(n 1) s
2
2
に従うのである。
2
nS
2
2
分布のグラフと自由度
2
0.3
0.25
0.2
1
3
5
7
9
0.15
0.1
0.05
0
1
2 3
4 5
6 7
8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
分布と臨界値
2
カイ2乗分布 (m=9）
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
P ( a 2 b) 1
0.02
0
1
a / 2 (m),
2
3
4
5
26
7
b 1 / 2 (m),
2
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
2 の信頼係数 1 の信頼区間
P ( a b) 1
2
P(a
(n 1) s
2
2
b)
(n 1) s
(n 1) s
2
P(
)
b
a
2
2
a と b の決定
自由度m=n-1
P( a)
2
2
a は 分布の下側確率
2
P ( b) 1
2
2
2
ｂ は 分布の上側確率 1
2
となる値
2
となる値
分布表の使い方
2
例えばm=10、 0.05 の場合
P( a) 0.025
a
P( b) 0.975
b
2
2
であることが確認できる。
2
0.025
2
0.975
(10) 3.247
(10) 20.483
2
1
信頼係数
の 信頼区間
(n 1) s (n 1) s
J ( s : a, b) (
,
)
b
a
2
2
2
a / 2 (m), b 1 / 2 (m),
2
を満たすものとして
2
2
分布表から得られる。
ただし、推定した信頼区間において a と ｂ の順位
が変わったことに気をつけましょう。
練習問題１
漬物の入った10本の缶の重さは以下のと
おりであった（単位：kg）：
9.5 11 9.8 10.2 9.3
10.4 10 10.6 10.5 9.9
これより漬物缶の重さの分散の信頼区間
を信頼係数99%で求めよ。
２つの分散の比：F分布
を自由度 k1 の 分布、 22 を自由度 k2
2
の 分布とし、互いに独立であるとすると
き、その分散の比を
2
1 / k1
F 2
2 / k2
と定義される確率変数Fは自由度 (k1 , k2 )
のF分布といい、F (k1 , k2 ) で表す。
2
1
2
２つの標本分散比の標本分布
2
1
2
2 （自由度調整済み分散とする）
Ｐ127より、標本分散 s , s
について、F分布の定義から
s
F
s
2
2
2
1
2
1
2
2
は自由度（ｍ-1、ｎ-1）のF分布 F (m 1, n 1)
に従うことになる。
12 22 のとき、F s12 / s22 の標本分布となる。
F Distribution
1.2
1.0
0.8
f(x,4,4)
f(x,4,8)
f(x,8,8)
F(x,4,4)
F(x,4,8)
F(x,8,8)
0.6
0.4
0.2
0.0
0.0 0.3 0.6 0.9 1.2 1.5 1.8 2.1 2.4 2.7 3.0 3.3 3.6 3.9 4.2 4.5 4.8
x
F分布表
P{F F (m 1, n 1)} の成立する臨界値
の表が(p225-228)に作成されている。
定義からFが F (k1 , k2 ) に従う場合、
1/Fは F (k2 , k1 ) に従う。したがって
F1 (k2 , k1 ) 1 / F (k1 , k2 )
F分布の信頼区間
信頼係数 1 のF分布の信頼区間
22 s12
P{F1 / 2 (m 1, n 1) 2 2 F / 2 (m 1, n 1)} 1
1 s2
母分散の比 / について解いて、この比
の信頼区間を信頼係数 1 で求めると
2
2
2
1
s22
s22
{F1 / 2 (m 1, n 1) 2 , F / 2 (m 1, n 1) 2 }
s1
s1
2
2
2
1
2
2
2
1
s
s
{F1 / 2 (m 1, n 1) , F / 2 (m 1, n 1) }
s
s
s22
s12
について
どっちの標本分散を分子に置くべきか？
普通、F分布はF >1の場合のみ扱っているので、
Fの分子と分母は、
分子に大きい方の値をおき、
F > 1となるように決める。
練習問題２: P145例題３
1）各年の株価収益率のリスクに関して95%
の信頼区間を推定せよ。
2）各年のリスクの比の信頼係数90％の信頼
区間を作り、その結果を分析せよ。