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第4コマ
重陽子を数値的に解いてみ
る!
重陽子 …
Deuteron
Deuteron
Neutron
Proton
• Jπ=1+, T=0
• Binding energy = 2.22 MeV
• Rrms = 1.9 fm
• Electric Quadrupole
moment Qd = 0.286 fm2
二核子系、唯一の束縛状態
非常に弱い束縛状態 ・・・
一核子当たり 1 MeV
cf) 通常の原子核では一核子当たり 約 8 MeV
非常に空間的に広がっている状態 ・・・
二核子間距離
4fm
cf) 通常の原子核中では二核子間距離 約 2fm
2
Qdが有限( r Y2m の期待値)
二核子間は単純な s-wave ではない。
重陽子を数値的に解いてみる!
二体問題だが核構造計算をやる上でのエッセンスが詰まっている。
簡単だが、実は簡単ではない。
Repulsive
core
重陽子は弱く束縛し、空間的に大きく広がった系
核力の斥力芯による短距離部分への影響と同時に
遠方まで広がったtailを同時に取り扱う必要がある。
テンソル力によって主に束縛
Deuteron
Neutron
S+D
Proton
One Pion Exchange
…テンソル力は複雑な働き方をする。
• Spin triplet (S=1) にしか働かない。
• 軌道角運動量を混ぜる。
S波(L=0) と D波(L=2) の混合
結合チャンネル問題(Coupled channel)
計算上
ガウス基底で解く
…構造計算では頻繁に使われる
クレプシュ・ゴルダン係数(CG係数)の練習
…軌道角運動量とスピンを合成して、
全角運動量を作る。
☆ Hamiltonian
H T V C V T V LS
T
2
2
2
2
2 VC r VT r S12 VLS r l s
2
MN 2
:運動エネルギー
V C VC r
:換算質量
:中心力
V T VT r S12
:テンソル力
S12 3
σ1 r σ 2 r
r
2
σ1 σ 2
σ i 2 si
V LS VLS r l s
:LS力
l r i , s s1 s2
VC r , VT r , VLS r :動径座標 r についての関数
S12 , l, s
:演算子
☆ 試行関数
U r 3S1 W r 3 D1
S波(L=0)、D波(L=2)各々の動径波動関数 U(r), W(r) をGaussianで展開
U r
C
( L 0)
n
n
W r
C
( L 2)
n
n
exp bn r 2
C
r 2 exp bn r 2
C
( L 0)
n
g0n r
n
( L 2)
n
g 2n r
n
ここで Gaussianの広がりパラメータは等比級数に取るのがミソ!
bN max
bn b1
b1
bn
n 1
N max 1
b1, b2 , b3 ,
b
bn N max
b1
, bN max
1
Nmax 1
bn 1
☆ 対角化
L 0,2 n
Cn( L) gL,n r
重陽子の波動関数を
i
g
L,n r
L1
L1
という基底で展開した。
i
C
g
g
未知係数
3
3
i
C
を求める。
g L,n r
3
L1
L, n
☆ 対角化
解く問題 = ハミルトニアンの固有値を求める
H i i i
H Ci g i Ci g
左から g
を掛けて
C
i
C H
g H g i
C
i
H N C
i
H
固有値
i
ハミルトニアン行列
H g H g
g i
i
N
i
C
g g
0
固有ベクトル
i
C 0
ノルム行列
N g g
i
g
☆ 対角化
g L,n r
3
L1
という基底でHamiltonianを対角化するという問題になる。
未知の展開係数 C
i
を決定。
☆ 計算手順
… 二段階対角
Gaussianは直交基底ではないため、一度Gaussianから直交系を作り、
それを用いてHamiltonianを対角化
1. Norm行列を対角化し、直交系を作る。
L, n, L ', m と、まとめている。
N g L ,n , 3 L1 g L ',m , 3 L '1
Nf f
p
p p
f
N
f f
1
fp g
p
p
p
p
g L ,n , 3 L1
g
p
f
2. 得られた直交系を用い、Hamiltonian行列を作る。
p
fq
H pq
p ,q
f
p
H fq
3. Hamiltonian行列を対角化して、エネルギー固有値、固有状態が得られる。
H di idi
H
pq
q
i
dqi i f pi
d
p
i
p
f
p
C
i
g
Ci d ip
p
1
p
fp
☆ 計算手順
計算に必要なもの
H
i
ハミルトニアン行列の
行列要素
H g H g
N
i
C 0
ノルム行列の
行列要素
N g g
☆ 各種行列要素
1. Norm matrix
N g L ,i , 3 L1 g L ', j , 3 L '1
L 0
Oij
L,L '
O L2
ij
1 1
bi b j 4 bi b j
15
1
bi b j 16 bi b j 3
( for L L ' 0)
( for L L ' 2)
2. Kinetic energy matrix
T g L ,i , L1
2
3
2
2 g L ', j , 3 L '1
bi b j
L 0
O
6
ij b b
2
i
j
L,L '
bi b j
2 L 2
O 14
ij
bi b j
( for L L ' 0)
( for L L ' 2)
☆ 各種行列要素
3. Potential energy matrix
V g L,i , 3L1 V C V T V LS g L ', j , 3L '1
g L,i , 3L1 V C g L ', j , 3L '1 g L,i , 3L1 V T g L ', j , 3L '1 g L,i , 3L1 V LS g L ', j , 3L '1
g L,i , 3L1 V X g L ', j , 3L '1 g L,i , 3L1 VX r X g L ', j , 3L '1
g L,i VX r g L ', j
動径方向に関する積分
VX r
V
X0
n
n
3
L1 X
3
L '1
角度及びスピンに関する積分
exp aX ,n r 2
各ポテンシャルの動径成分はGaussianで記述されている。
(Tamagaki potentialなど)
そうでないものは数値的にGaussianで展開しておく。
(Argonne potentialなど)
☆ 各種行列要素
3. Potential energy matrix
動径方向に関する積分
g L ,i VX r g L ', j
VnX 0
n
0
r 2 dr g L ,i r exp a X ,n r 2 g L ', j r
X0
Vn
n
bi b j a X ,n
bi b j a X ,n
bi b j a X ,n
1
1
4 bi b j a X ,n
for L L ' 0
3
1
8 bi b j a X ,n 2
for L 0, L ' 2
15
1
16 bi b j a X ,n 3
for L L ' 2
☆ 各種行列要素
3. Potential energy matrix
角度及びスピンに関する積分
3
L1 X
3
L '1 L L '
X 1, Central
0 for L L ' 0
8 for L 0, L ' 2
2 for L L ' 2
0
3
0
3
L1 V
3
L
for L L ' 0
for L L ' 2
for L L '
L '1
L’
X S12 , Tensor
0
2
0
VC
8 VT
2
8 VT
VC 2VT 3VLS
X l s, LS
☆ 各種行列要素の計算の仕方について
0. 動径方向に関する積分
0
r 2 dr g L,i r X r g L ', j r
1. Norm matrix
N g L,i , 3L1 g L ', j , 3L '1
g L,i g L ', j
3
L1 3L '1 g L,i g L ', j L, L '
OijL g L ,i g L , j
0
0
r 2 dr g L ,i r g L , j r
dr r
2 L 1
e
bi b j r 2
1 1
bi b j 4 bi b j
15
1
bi b j 16 bi b j 3
( for L L ' 0)
( for L L ' 2)
☆ 各種行列要素の計算の仕方について
2. Kinetic energy matrix
T g L,i , L1
2
3
2
2 g L ', j , 3L '1
2
2
2
T
1 d 2 d
l
r
r 2 dr dr r 2
2
1 d 2 d
l
g L ,i , 3 L1 2
r
2 g L ', j , 3 L '1
2
r dr dr r
2
1 d 2 d
1
3
3
3
3
g
r
g
L
L
'
g
g
L
l
L
'
L ,i 2
L ', j
1
1
L ,i
L ', j
1
1
2
r dr dr
r2
2
1 d 2 d
1
L, L '
g
r
g
L
L
1
g
L,i 2 g L, j
L ,i 2
L, j
2
r dr dr
r
2
☆ 各種行列要素の計算の仕方について
2. Kinetic energy matrix
g L ,i
1 d 2 d
r
g L, j
r 2 dr dr
0
0
1 d 2 d
r
g L, j r
r 2 dr dr
2
d 2 d
L b j r
r
r e
dr dr
r 2 dr g L ,i r
dr r L e bi r
2
bi b j
L 0
Oij 6
( for L 0)
b
b
i
j
bj
3
1
15
6
14
2
3
b
b
8
b
b
16
i
j
i
j
bi b j
bi b j
b 2j
105
4
( for L 2)
4
bi b j 32 bi b j
☆ 各種行列要素の計算の仕方について
2. Kinetic energy matrix
L L 1 g L ,i
1
g L, j
2
r
L L 1 r 2 dr g L ,i r
0
L L 1 dr r
0
1
g L, j r
2
r
2
2 L 1 bi b j r
e
0
( for L 0)
3
1
6
( for L 2)
bi b j 8 bi b j 2
1 d 2 d
1
r
g L , j L L 1 g L ,i 2 g L , j
g L ,i 2
2
r dr dr
r
bi b j
L 0
O
6
( for L L ' 0)
ij b b
2
i
j
L,L '
bi b j
2 L 2
O 14
( for L L ' 2)
ij
b
b
i
j
T L , L '
2
☆ 各種行列要素の計算の仕方について
3. Potential energy matrix
動径方向に関する積分
g L ,i VX r g L ', j
VnX 0
n
0
0
r 2 dr g L ,i r exp a X ,n r 2 g L ', j r
r 2 dr g L ,i r exp a X ,n r 2 g L ', j r
0
0
r 2 dr r L exp bi r 2 exp a X ,n r 2 r L ' exp b j r 2
dr r L L ' 2 exp bi b j a X ,n r 2
bi b j a X ,n
bi b j a X ,n
bi b j a X ,n
1
1
4 bi b j a X ,n
for L L ' 0
3
1
8 bi b j a X ,n 2
for L 0, L ' 2
15
1
16 bi b j a X ,n 3
for L L ' 2
☆ 各種行列要素の計算の仕方について
3. Potential energy matrix
3
角度及びスピンに関する積分
LS 力の場合
L1 X
3
L '1
X l s
j l s
j2 l s l 2 s 2 2 l s
2
l s
1 2 2
j l s2
2
2 S ' 1
L 'J ' l s
2 S 1
LJ
1
2
2 S ' 1
L 'J ' j2 l 2 s 2
2 S 1
LJ
1 2 S '1
L 'J ' J J 1 L L 1 S S 1 2 S 1LJ
2
1
J J 1 L L 1 S S 1 2 S '1L 'J ' 2 S 1LJ
2
1
J J 1 L L 1 S S 1 J , J ' L , L ' S , S '
2
2 S 1
LJ l s
2 S 1
LJ
1
J J 1 L L 1 S S 1
2
ブラ・ケット間で J,L,S が異なる場合は 0
☆ 各種行列要素の計算の仕方について
3. Potential energy matrix
3
角度及びスピンに関する積分
テンソル力の場合
L1 X
3
LJ
ここは結構
ややこしい。。。
L '1
• 「大学院 原子核物理」
中村誠太郎監修
吉川庄一、森田正人、玉垣良三、谷畑勇夫、大塚孝治著
講談社サイエンティフィク
4章“核力の多面性” 4.5.2節
X S12
やり方
S12
3
aL , L 1 3 L 1J
aL , L 3LJ
aL , L 1 3L 1J
一般には、ある状態にテンソル演算子を作用させると、
全角運動量 J は保存したまま、異なる軌道角運動量 L の状態が混ざる。
この事実から、テンソル演算子を作用させた状態を可能な L の状態で
展開しておいて、簡単な場合について両辺を比較して、展開係数 {aL,L’} を決定する
こうして
3
L 'J S12
3
LJ
aL , L '
が分かる。
☆ 各種行列要素の計算の仕方について
(練習:簡単な場合… L=J の場合)
この場合、 S12 が作用しても
1.J は保存される
2.パリティは保存される
…パリティ保存から L=J-2, J, J+2 が許される。
しかし L=J±2 とスピン S=1 を組んで J を作ることはできない。
これらのことから L=J のみ。
S12
3
aJ , J
JJ
3
JJ
磁気量子数も露わに書くと
S12
3
aJ , J
JJ , M
ここで
3
3
JJ , M
JJ , M
C J m,1M m | J M
m
J , m 1, M m
軌道角運動量
C J m,1M m | J M Y ,
Jm
m
スピン
1, M m
☆ 各種行列要素の計算の仕方について
(練習:簡単な場合… L=J の場合)
テンソル演算子S12 は
S12
3
JJ , M
24
5
24
5
S12
1 σ
1
σ 2 2, Y2, r
と書けるので、
このスライド末尾の
「以下補足」を参照
1 σ1 σ 2 2, Y2, r
C J m, 1 M m | J M YJm r 1, M m
m
24
5
1 C J m, 1 M m | J M Y
2,
,m
r Y r σ σ
Jm
1
2 2,
軌道角運動量
ここで扱いやすいケースとして
この時
Y2, 0,0
r , 0, 0
M 1
5
4
スピン
を考える。
, YJ ,m 0,0 m
1, M m
2J 1
4
☆ 各種行列要素の計算の仕方について
(練習:簡単な場合… L=J の場合)
よって
0, 0 S12 3 J J , M 1
24
5
,m
C J 0, 11| J 1
24
5
5
4
2J 1
σ1 σ 2 2,0 1, 1
4
スピン
あとはスピン部分の計算
1,1
,
σ1 σ2 2,0
1,0,1
σ1 σ 2 2,0 1, 1
C 1 | 20
2
C 10 0 | 20 0 0 C 10 0 | 20 z z
2
C 10 0 | 20 2 S z 2 S z
μ=±1の場合、σ(1)μ σ(2)-μのどちらかが
スピンをアップさせる演算子になる。
しかし1,2のスピンは共にすでに
↑なので、これ以上上げることはできない。
つまり作用しても0になってしまう。
2J 1
σ1 σ 2 2, 1, 1 m
4
5
m
4
1 C J m, 11 m | J 1
2
2
2
1
1
2 2
3
2
2
2
3
クレプシュ・ゴルダン係数の値は
このスライドの最後のページを参照
☆ 各種行列要素の計算の仕方について
(練習:簡単な場合… L=J の場合)
0, 0 S12 3 J J , M 1 C J 0,11| J 1
24
5
5
4
他方
0, 0 3 J J , M 1 C J 0,11| J 1
これらを比較することで
S12
3
JJ
aJ , J
3
JJ
を満たすような aJ,J は
aJ , J 2
2J 1
4
2J 1
4
2
3
☆ 各種行列要素の計算の仕方について
(重陽子の場合… L=J±1 の場合)
L=J-1, L=J+1 は共にスピン S=1 と組んで全角運動量 J の状態を作ることが出来る。
またパリティも同じ。
テンソル演算子によって混ざることが出来る。
S12 3LJ
aL, J 1
3
J 1J
ここで
aL, J 1
3
J 1J
L J 1
係数 aL,J±1 を求める手順は、先と同様に簡単な場合を考える。
r , 0, 0
ただし前回と違い、未知係数が複数あるので、複数の磁気量子数 M を考える。
0, 0 S12 3 LJ , M aL, J 1 0, 0
3
J 1 J , M
aL, J 1 0, 0
3
J 1 J , M
L J 1
☆ 各種行列要素の計算の仕方について
(重陽子の場合… L=J±1 の場合)
○右辺
3
J 1 J , M
C J 1m, 1 M m | J M Y
J 1, m
, 1, M m
m
0, 0
3
J 1J , M
C J 1 0, 1 M | J M
2 J 1 1
1, M
4
YJ ,m 0, 0 m
2J 1
4
☆ 各種行列要素の計算の仕方について
(重陽子の場合… L=J±1 の場合)
○左辺
3
先の L=J の時と全く同様、テンソル演算子 S12 と状態 LJ , M
S12
3
LJ , M
24
5
を書き下す。
1 σ1 σ 2 2, Y2, r
C L m, 1 M m | J M YL ,m r 1, M m
m
24
5
1 C L m, 1 M m | J M Y
2,
,m
0, 0 S12 3LJ , M
r Y r σ σ
L,m
6 C L 0,1 M | J M
1
2 2,
1, M m
2L 1
σ1 σ 2 2,0 1, M
4
Y2, 0, 0
5
,
4
YL ,m 0, 0 m
2L 1
4
☆ 各種行列要素の計算の仕方について
(重陽子の場合… L=J±1 の場合)
σ1 σ2 2,0
○左辺
続いてスピン部分
1,0,1
σ1 σ2 2,0 1, M
・ M=1 の時
2
1, 1
3
σ1 σ 2 2,0 1, 1
先の L=J でやっている
C 1 | 20
σ1 σ 2 2,0
2
2
3
・ M=-1 の時
M=1 の時と同様、μ=0 しか作用できない。
… μ=1,-1 では σμ がどちらかのスピンを
更に下げようとしてしまう。
1, 1
M=1 の時と全く同様にして
σ1 σ 2 2,0 1, 1
クレプシュ・ゴルダン係数の値は
このスライドの最後のページを参照
C 100 | 20 0 0
σ1 σ 2 2,0 1, 1
2
2
1, 1
3
2
3
σ1 σ 2 2,0
2
3
☆ 各種行列要素の計算の仕方について
(重陽子の場合… L=J±1 の場合)
σ1 σ2 2,0
○左辺
σ1 σ2 2,0 1, M
続いてスピン部分
・ M=0 の時
1
2
1, 0
σ1 σ 2 2,0 1, 0
1,0,1
C 1 | 20
C 10 0 | 20 0 0
2
2
C 1 1 1| 20 1 1
クレプシュ・ゴルダン係数の値は
このスライドの最後のページを参照
2
1
2
1
2
2
C 11 1| 20 1 1
C 1 | 20
2
1
2
1
2
1i
S
ス ピ ン を 上げる
i1
S
ス ピ ン を 下げる
0i
S z
ス ピ ン を 変えない
i
i
i
を考慮して生き残る配位を残す
☆ 各種行列要素の計算の仕方について
(重陽子の場合… L=J±1 の場合)
○左辺
ここで
0i zi 2 S zi
i1
1 i
x yi
2
σ1 σ 2 2,0 1, 0
1
i
i
2 S x S y
2
1
1
2
2 S 2 S
6
2
2
2
2 S z 2 S z
3
1
2
1
2
2 S 2 S
6
σ1 σ2 2,0 1, 0
2
2
3
1
2
2 S
i
1
2
2
2
1, 0
3
☆ 各種行列要素の計算の仕方について
(重陽子の場合… L=J±1 の場合)
○左辺
ここまでスピン部分の結果をまとめると
σ1 σ2 2,0 1, M
bM 1, M
bM
2
2
3
2
3
for M 1
for M 0
この bM を使って左辺は
0, 0 S12 3LJ , M
6 C L 0,1 M | J M
2L 1
bM 1, M
4
☆ 各種行列要素の計算の仕方について
(重陽子の場合… L=J±1 の場合)
○以上の左辺と右辺の式を用いて。。。
0, 0 S12 3 LJ , M aL, J 1 0, 0
3
J 1 J , M
aL, J 1 0, 0
0, 0 S12 3LJ , M
0, 0
3
J 1J , M
3
J 1 J , M
6 C L 0,1 M | J M
C J 1 0, 1 M | J M
6 C L 0, 1 M | J M 2 L 1 bM
aL , J 1C J 1 0, 1 M | J M
aL , J 1C J 1 0, 1 M | J M
2J 1
2J 3
2L 1
bM 1, M
4
bM
2
2
3
2
3
2 J 1 1
1, M
4
for M 1
for M 0
☆ 各種行列要素の計算の仕方について
(重陽子の場合… L=J±1 の場合)
○ L=J±1 の各場合について式を書き下すと。。。
・ L=J-1 の時
6 C J 1 0, 1 M | J M 2 J 1 bM
aJ 1, J 1C J 1 0, 1 M | J M
aJ 1, J 1C J 1 0, 1 M | J M
2J 1
2J 3
・ L=J+1 の時
6 C J 1 0, 1 M | J M 2 J 3 bM
aJ 1, J 1C J 1 0, 1 M | J M
aJ 1, J 1C J 1 0, 1 M | J M
2J 1
2J 3
☆ 各種行列要素の計算の仕方について
(重陽子の場合… L=J±1 の場合)
○ L=J±1 の各場合について式を書き下すと。。。
これらの式に現れるクレプシュ・ゴルダン係数を計算しておく
C J 1 0, 1 M | J M
J 1 M J 1 M 1
2
J
1
1
2
J
1
2
1/ 2
1/ 2
J 1
2
2
J
1
J 1 M 1 J 1 M 1
2
J
1
1
J
1
1
1/ 2
for
M 1
for
M 0
1/ 2
J
2 J 1
C J 1 0, 1 M | J M
1/ 2
J 1 M J 1 M 1 1/ 2
J
for M 1
2 J 1 2 J 1 1
2 2 J 3
1/ 2
1/ 2
J 1 M J 1 M
J 1
for M 0
2
J
3
J 1 2 J 1 1
☆ 各種行列要素の計算の仕方について
(重陽子の場合… L=J±1 の場合)
○ L=J±1 の各場合について式を書き下すと。。。
これらの式に現れるクレプシュ・ゴルダン係数を計算しておく
つまり
C J 1 0, 1 M | J M
J 1 1/ 2
for M 1
2
2
J
1
1/ 2
J
for M 0
2 J 1
C J 1 0, 1 M | J M
1/ 2
J
2 2 J 3
1/ 2
J 1
2 J 3
for
M 1
for
M 0
☆ 各種行列要素の計算の仕方について
(重陽子の場合… L=J±1 の場合)
○ L=J±1 の各場合について式を書き下すと。。。
L=J±1 の各場合について、 M=±1 及び M=0 のクレプシュ・ゴルダン係数を代入
・ L=J-1 の時
1/ 2
M=±1
J 1
6
2 2 J 1
1/ 2
2 J 1 bM 1
1/ 2
M=0
J 1
aJ 1, J 1
2 2 J 1
J 1
2 J 1 aJ 1, J 1
2 J 3
1/ 2
J
6
2 J 1
2 J 1 bM 0
1/ 2
J
2 J 1 aJ 1, J 1
2 2 J 3
2J 3
1/ 2
J
aJ 1, J 1
2 J 1
2J 3
・ L=J+1 の時
1/ 2
M=±1
J
6
2
2
J
3
M=0
J 1
6
2 J 3
1/ 2
2 J 3 bM 1
1/ 2
J 1
aJ 1, J 1
2
2
J
1
1/ 2
2 J 3 bM 0
J
aJ 1, J 1
2 J 1
1/ 2
J
2 J 1 aJ 1, J 1
2
2
J
3
J 1
2 J 1 aJ 1, J 1
2 J 3
2J 3
1/ 2
2J 3
☆ 各種行列要素の計算の仕方について
(重陽子の場合… L=J±1 の場合)
○ L=J±1 の各場合について式を書き下すと。。。
bM
bM も代入して、整頓すると
・ L=J-1 の時
M=±1
M=0
2 J 1
J 1 aJ 1, J 1
J aJ 1, J 1
4 J
J aJ 1, J 1 J 1 aJ 1, J 1
M=±1
2 J
J 1 aJ 1, J 1 J aJ 1, J 1
M=0
4 J 1 J aJ 1, J 1 J 1 aJ 1, J 1
・ L=J+1 の時
2
2
3
2
3
for M 1
for M 0
☆ 各種行列要素の計算の仕方について
(重陽子の場合… L=J±1 の場合)
○これら4つの方程式を連立させて解くと。。。
未知係数は4つ: aJ 1, J 1 , aJ 1, J 1 , aJ 1, J 1 , aJ 1, J 1
方程式も4本あるので求まる。
aJ 1, J 1
2 J 1
2J 1
aJ 1, J 1
2 J 2
2J 1
aJ 1, J 1 aJ 1, J 1
6 J J 1
2J 1
☆ 各種行列要素の計算の仕方について
これまでの結果のまとめ
… L=J, J±1 に対して、中心力 V C 、LS力 V LS 、テンソル力 V T を考える。
3
LJ V
3
L 'J
J-1
L’
L
J-1
J
J+1
J
2 J 1
VT
2J 1
J 1 VLS
VC
2J 1
6 J J 1
2J 1
VC 2 VT VLS
0
6 J J 1
0
J+1
VT
0
2 J 2
VT
2J 1
J 2 VLS
VC
0
VT
☆ 各種行列要素の計算
(補足) よく使う Gauss積分
0
0
0
0
e ax
2
dx
dx x 2 e ax
2
dx x 4 e ax
2
dx x 6 e ax
2
1
a 2
1 1
a 4 a2
3 1
a 8 a2
15 1
a 16 a 3
一般に
0
dx x 2 n e ax
2
2n 1!! 1
a
2n1
an
☆ 実例: Tamagaki potential ( G3RS-1 )
R. Tamagaki, Prog. Theor. Phys. 39, 91 (1968)
Potential for 3E channel
V C VC r
3
r 2
V
exp
C ,i
C ,i
i 1
3
2
V T VT r S12 S12 VT ,i exp r T ,i
i 1
Core hight = 1.8 GeV
☆ 実例: Tamagaki potential ( G3RS-2 )
R. Tamagaki, Prog. Theor. Phys. 39, 91 (1968)
Potential for 3E channel
V C VC r
3
r 2
V
exp
C ,i
C ,i
i 1
3
2
V T VT r S12 S12 VT ,i exp r T ,i
i 1
Core hight = 0.3 GeV
☆ 実例: Tamagaki potential ( G3RS-1 )
結果
Wave function
[fm-3/2]
基底のGaussian ( S, D状態、両方)
広がりパラメータ 最小bmin =0.1 fm, 最大bmax = 20 fm
N=40この等比級数で用意
S-wave U(r)
D-wave W(r)
r [fm]
☆ 実例: Tamagaki potential ( G3RS-1 )
結果
Wave function
[fm-3/2]
・中心力の斥力芯によって、S-waveの短距離部分
(1 fm以下)が強く抑制されている。
S-wave U(r)
D-wave W(r)
r [fm]
☆ 実例: Tamagaki potential ( G3RS-1 )
結果
・中心力の斥力芯によって、S-waveの短距離部分
(1 fm以下)が強く抑制されている。
Wave function
[fm-3/2]
・Long tailはテンソル力から。
S-wave U(r)
D-wave W(r)
r [fm]
☆ 実例: Tamagaki potential ( G3RS-1 )
結果
・中心力の斥力芯によって、S-waveの短距離部分
(1 fm以下)が強く抑制されている。
Wave function
[fm-3/2]
・Long tailはテンソル力から。
S-wave U(r)
各波動関数の最大値で規格化した
D-wave W(r)
r [fm]
☆ 実例: Tamagaki potential ( G3RS-2 )
結果
Wave function
[fm-3/2]
基底のGaussian ( S, D状態、両方)
広がりパラメータ 最小bmin =0.1 fm, 最大bmax = 20 fm
N=40この等比級数で用意
S-wave U(r)
D-wave W(r)
r [fm]
☆ 実例: Tamagaki potential ( G3RS-2 )
結果
Wave function
[fm-3/2]
・S-waveの短距離部分(1 fm以下)の抑制度合いは
G3RS-1に比べ弱い。
← G3RS-2は斥力芯が低いため。
S-wave U(r)
D-wave W(r)
r [fm]
☆ 基底数を変えて行った時の様子
N= 5
bmin =0.1, bmax = 20
Wave function
[fm-3/2]
Tamagaki potential (G3RS-1) を使用
r [fm]
☆ 基底数を変えて行った時の様子
N= 6
bmin =0.1, bmax = 20
Wave function
[fm-3/2]
Tamagaki potential (G3RS-1) を使用
r [fm]
☆ 基底数を変えて行った時の様子
N= 7
bmin =0.1, bmax = 20
Wave function
[fm-3/2]
Tamagaki potential (G3RS-1) を使用
r [fm]
☆ 基底数を変えて行った時の様子
N= 8
bmin =0.1, bmax = 20
Wave function
[fm-3/2]
Tamagaki potential (G3RS-1) を使用
r [fm]
☆ 基底数を変えて行った時の様子
N= 9
bmin =0.1, bmax = 20
Wave function
[fm-3/2]
Tamagaki potential (G3RS-1) を使用
r [fm]
☆ 基底数を変えて行った時の様子
N=10
bmin =0.1, bmax = 20
Wave function
[fm-3/2]
Tamagaki potential (G3RS-1) を使用
r [fm]
☆ 基底数を変えて行った時の様子
N=20
bmin =0.1, bmax = 20
Wave function
[fm-3/2]
Tamagaki potential (G3RS-1) を使用
r [fm]
☆ 基底数を変えて行った時の様子
N=30
bmin =0.1, bmax = 20
Wave function
[fm-3/2]
Tamagaki potential (G3RS-1) を使用
r [fm]
☆ 基底数を変えて行った時の様子
N=40
bmin =0.1, bmax = 20
Wave function
[fm-3/2]
Tamagaki potential (G3RS-1) を使用
r [fm]
☆ 参考文献
• 「大学院 原子核物理」
中村誠太郎監修
吉川庄一、森田正人、玉垣良三、谷畑勇夫、大塚孝治著
講談社サイエンティフィク
4章“核力の多面性” 4.5.2節
• 基礎物理数学 Vol.1
「ベクトル・テンソルと行列式」
ジョージ・アルフケン、ハンス・ウェーバー著
(権平健一郎、神原武志、小山直人訳) 講談社
p.288~290
• 「角運動量の基礎理論」
ローズ(山内恭彦・森田正人訳) みすず書房
世話人を始め、
皆様、
ありがとう
ございました!!
☆ 以下補足
☆ テンソル力が“テンソル”力であることの確
認
テンソル力が“テンソル力”と呼ばれるのは、演算子 S12 が
「空間とスピン各々から作った二階のテンソルをスカラー(0階テンソル)に組んだもの」
であるため。
テンソル力:
V T VT r S12
テンソル演算子
S12
σ1 r σ 2 r
3
r2
σ1 σ 2
3 σ1 r σ 2 r σ1 σ 2
このテンソル演算子は以下のように書ける:
S12 3 σ1 σ 2 2
3 1
m
m
r r
2
σ1 σ 2 2,m r r 2, m
さらに次のように書きなおせる:
S12
24
5
1 σ1 σ2 2,m Y2,m r
m
m
r rr
☆ テンソル力が“テンソル”力であることの確
認
様々な量の定義
各二階テンソル:
σ1 σ 2 2,m C 1 , 1m | 2 m 1 m 2
r r
2, m
C 1 , 1m | 2 m r r
m
各ベクトルの球面成分:
i
1 i
x i yi
2
i
z
1
xi i yi
2
for
1
for 0 , r
for 1
1
r x ir y
2
rz
1
r x ir y
2
for
1
for 0
for 1
☆ テンソル力が“テンソル”力であることの確
認
S12 3 σ1 r σ 2 r σ1 σ 2 3 1
m
m
σ1 σ 2 2,m r r 2, m
証明の仕方
最右辺の
σ1 σ2 2,m ,
r r
2, m
に、各二階テンソルの定義を代入。
さらに各球面ベクトルの成分を直交座標成分で書きなおし、
左辺に一致することを確認する。
2
x
2
y
2
z
r r r 1 にも注意。
☆ テンソル力が“テンソル”力であることの確
認
S12 3 1
m
m
つまり
σ1 σ2 2,m r r 2,m
24
Y2,m r
5
3 rr
2, m
24
5
1 σ1 σ2 2,m Y2,m r
m
m
を各mについて確認
参考
球面調和関数
Y2,0 r
Y2,1 r
Y2,2 r
クレブシュ・ゴルダン係数 C 1m, 1M m | 2 M
Y2,m r
5
3cos 2 1
16
15
cos sin e i
8
15
sin 2 e 2i
32
C 1 1, 1 1| 2 2 1
2
5
3 r Z 1
16
15
rZ rx i r y
8
15
rx i ry
32
2
C 1 1, 1 0 | 2 1 C 1 0, 1 1| 2 1
C 1 1, 1 1| 2 0
16
C 1 0, 1 0 | 2 0
23
※ 全て複合同順
12