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第４コマ
重陽子を数値的に解いてみ
る！
重陽子 …
Deuteron
Deuteron
Neutron
Proton
• Jπ=1+, T=0
• Binding energy = 2.22 MeV
• Rrms = 1.9 fm
• Electric Quadrupole
moment Qd = 0.286 fm2
二核子系、唯一の束縛状態
非常に弱い束縛状態 ・・・
一核子当たり 1 MeV
cf) 通常の原子核では一核子当たり 約 8 MeV
非常に空間的に広がっている状態 ・・・
二核子間距離
4fm
cf) 通常の原子核中では二核子間距離 約 2fm
2
Qdが有限（ r Y2m の期待値）
二核子間は単純な s-wave ではない。
重陽子を数値的に解いてみる！
二体問題だが核構造計算をやる上でのエッセンスが詰まっている。
簡単だが、実は簡単ではない。
Repulsive
core
 重陽子は弱く束縛し、空間的に大きく広がった系
核力の斥力芯による短距離部分への影響と同時に
遠方まで広がったtailを同時に取り扱う必要がある。
テンソル力によって主に束縛
Deuteron
Neutron
S+D
Proton
One Pion Exchange
…テンソル力は複雑な働き方をする。
• Spin triplet (S=1) にしか働かない。
• 軌道角運動量を混ぜる。
S波(L=0) と D波(L=2) の混合
結合チャンネル問題(Coupled channel)
計算上
ガウス基底で解く
…構造計算では頻繁に使われる
クレプシュ・ゴルダン係数（CG係数）の練習
…軌道角運動量とスピンを合成して、
全角運動量を作る。
☆ Hamiltonian
H  T  V C  V T  V LS
 
T 
2
2
2
2
 2  VC  r   VT  r  S12  VLS  r  l  s
2
  MN 2
：運動エネルギー
V C  VC  r 
：換算質量
：中心力
V T  VT  r  S12
：テンソル力
S12  3
 σ1  r  σ 2  r 
r
2
  σ1  σ 2 
σ i  2 si
V LS  VLS  r  l  s
：ＬＳ力
l  r   i  , s  s1  s2
VC  r  , VT  r  , VLS  r  ：動径座標 r についての関数
S12 , l, s
：演算子
☆ 試行関数
  U  r  3S1  W  r  3 D1
S波(L=0)、D波(L=2)各々の動径波動関数 U(r), W(r) をGaussianで展開
U r  
C
( L  0)
n
n
W r  
C
( L  2)
n
n
exp  bn r 2  
C
r 2 exp  bn r 2  
C
( L 0)
n
g0n  r 
n
( L  2)
n
g 2n  r 
n
ここで Gaussianの広がりパラメータは等比級数に取るのがミソ！
 bN max 
bn  b1  

 b1 
bn 
n 1
N max 1
 b1, b2 , b3 ,
b

bn   N max 
 b1 
, bN max
1
 Nmax 1
bn 1
☆ 対角化
 

L 0,2 n
Cn( L) gL,n  r 
重陽子の波動関数を
i 
g
L,n  r 
L1
L1

という基底で展開した。
i
C
  g

g
未知係数
3
3
i
C
 
を求める。
 g L,n  r 
3
L1
  L, n
☆ 対角化
解く問題 ＝ ハミルトニアンの固有値を求める
H i   i i




H   Ci g    i   Ci g 
 

 

左から g 
を掛けて
C


i
C H


g H g   i
C


i
 H   N  C


i



 
H 
 固有値


i 








ハミルトニアン行列
H   g  H g
g   i
i
N 
i





C


g g
 0
  固有ベクトル
 i 
  C   0
  
ノルム行列
N   g  g
i
g
☆ 対角化

g L,n  r 
3
L1

という基底でHamiltonianを対角化するという問題になる。
未知の展開係数  C 
i

を決定。
☆ 計算手順
… 二段階対角
Gaussianは直交基底ではないため、一度Gaussianから直交系を作り、
それを用いてHamiltonianを対角化
1. Norm行列を対角化し、直交系を作る。
  L, n,   L ', m と、まとめている。
N  g L ,n , 3 L1 g L ',m , 3 L '1
Nf  f
p

p p
f
N


f   f
1
fp g

p

p
p


p
 g L ,n , 3 L1
g
p
f
2. 得られた直交系を用い、Hamiltonian行列を作る。
p
fq
H pq 
  p ,q
f
p
H fq
3. Hamiltonian行列を対角化して、エネルギー固有値、固有状態が得られる。
H di   idi

H
pq
q
i 
dqi   i f pi
d
p
i
p
f
p

C


i
g
Ci   d ip
p
1
p
fp
☆ 計算手順
計算に必要なもの



 
H 


i





ハミルトニアン行列の
行列要素
H   g  H g





N 





 
 i 
  C   0
  
ノルム行列の
行列要素
N   g  g
☆ 各種行列要素
1. Norm matrix
N  g L ,i , 3 L1 g L ', j , 3 L '1
 L 0
 Oij 

  L,L '  
 O L2 
 ij


1 1
bi  b j 4 bi  b j

15
1
bi  b j 16  bi  b j 3
( for L  L '  0)
( for L  L '  2)
2. Kinetic energy matrix
T  g L ,i , L1 
2
3
2
 2 g L ', j , 3 L '1
bi b j
 L 0
O


6

 ij   b  b
2
i
j

  L,L '  
 
bi b j
2  L 2
O  14  
 ij 
bi  b j

( for L  L '  0)
( for L  L '  2)
☆ 各種行列要素
3. Potential energy matrix
V  g L,i , 3L1 V C  V T  V LS g L ', j , 3L '1
 g L,i , 3L1 V C g L ', j , 3L '1  g L,i , 3L1 V T g L ', j , 3L '1  g L,i , 3L1 V LS g L ', j , 3L '1
g L,i , 3L1 V X g L ', j , 3L '1  g L,i , 3L1 VX  r  X g L ', j , 3L '1
 g L,i VX  r  g L ', j
動径方向に関する積分
VX  r  
V
X0
n
n
3
L1 X
3
L '1
角度及びスピンに関する積分
exp aX ,n r 2 
各ポテンシャルの動径成分はGaussianで記述されている。
（Tamagaki potentialなど）
そうでないものは数値的にGaussianで展開しておく。
（Argonne potentialなど）
☆ 各種行列要素
3. Potential energy matrix
動径方向に関する積分
g L ,i VX  r  g L ', j

VnX 0
n


0
r 2 dr g L ,i  r  exp  a X ,n r 2  g L ', j  r 





X0
  Vn  
n






bi  b j  a X ,n

bi  b j  a X ,n

bi  b j  a X ,n
1
1
4 bi  b j  a X ,n
for L  L '  0
3
1
8  bi  b j  a X ,n 2
for L  0, L '  2
15
1
16  bi  b j  a X ,n 3
for L  L '  2
☆ 各種行列要素
3. Potential energy matrix
角度及びスピンに関する積分
3
L1 X
3
L '1   L L '
X  1, Central
 0 for L  L '  0

  8 for L  0, L '  2
 2 for L  L '  2

 0

  3
 0

3
L1 V
3
L
for L  L '  0
for L  L '  2
for L  L '
L '1
L’
X  S12 , Tensor
0
2
0
VC
8 VT
2
8 VT
VC  2VT  3VLS
X  l  s, LS
☆ 各種行列要素の計算の仕方について
0. 動径方向に関する積分


0
r 2 dr g L,i  r  X  r  g L ', j  r 
1. Norm matrix
N  g L,i , 3L1 g L ', j , 3L '1
 g L,i g L ', j
3
L1 3L '1  g L,i g L ', j  L, L '
OijL  g L ,i g L , j




0


0
r 2 dr g L ,i  r  g L , j  r 
dr r
2 L 1
e


 bi  b j r 2








1 1
bi  b j 4 bi  b j

15
1
bi  b j 16  bi  b j 3
( for L  L '  0)
( for L  L '  2)
☆ 各種行列要素の計算の仕方について
2. Kinetic energy matrix
T  g L,i , L1 
2
3
2
2 g L ', j , 3L '1
2
2 
2
T
1 d 2 d
l
r

r 2 dr dr r 2
2
1 d 2 d
l
 
g L ,i , 3 L1 2
r
 2 g L ', j , 3 L '1
2
r dr dr r
2
1 d 2 d
1


3
3
3
3
 
g
r
g
L
L
'

g
g
L
l
L
'
 L ,i 2
L ', j
1
1
L ,i
L ', j
1
1 
2 
r dr dr
r2

2
1 d 2 d
1

  L, L '  
g
r
g

L
L

1
g
  L,i 2 g L, j 
 L ,i 2
L, j
2 
r dr dr
r

2
☆ 各種行列要素の計算の仕方について
2. Kinetic energy matrix
g L ,i
1 d 2 d
r
g L, j
r 2 dr dr




0


0
1 d 2 d
r
g L, j  r 
r 2 dr dr
2
d 2 d
L b j r
r
r e
dr dr
r 2 dr g L ,i  r 
dr r L e  bi r
2


bi b j

L 0
Oij   6  
( for L  0)

b

b
i
j



bj

 3
1
 15
 6 

14

2
3
b

b
8
b

b
16
i
j
i
j

 bi  b j 
 bi  b j 

b 2j
 105

 4
( for L  2)
4

bi  b j 32  bi  b j 


☆ 各種行列要素の計算の仕方について
2. Kinetic energy matrix
L  L  1 g L ,i
1
g L, j
2
r

 L  L  1  r 2 dr g L ,i  r 
0

 L  L  1  dr r
0

1
g L, j  r 
2
r

2
2 L 1  bi  b j r
e
0
( for L  0)


 3
1

6
( for L  2)

bi  b j 8  bi  b j 2

1 d 2 d
1


r
g L , j  L  L  1 g L ,i 2 g L , j 
 g L ,i 2
2 
r dr dr
r

bi b j
 L 0
O


6

( for L  L '  0)
 ij   b  b
2
i
j

  L,L '  
 
bi b j
2  L  2
O  14  
( for L  L '  2)
 ij 
b

b
i
j

T   L , L '  
2
☆ 各種行列要素の計算の仕方について
3. Potential energy matrix
動径方向に関する積分
g L ,i VX  r  g L ', j

VnX 0
n


0


0
r 2 dr g L ,i  r  exp  a X ,n r 2  g L ', j  r 
r 2 dr g L ,i  r  exp  a X ,n r 2  g L ', j  r 






0
0
r 2 dr r L exp  bi r 2  exp   a X ,n r 2  r L ' exp  b j r 2 
dr r L  L ' 2 exp    bi  b j  a X ,n  r 2 





 






bi  b j  a X ,n

bi  b j  a X ,n

bi  b j  a X ,n
1
1
4 bi  b j  a X ,n
for L  L '  0
3
1
8  bi  b j  a X ,n 2
for L  0, L '  2
15
1
16  bi  b j  a X ,n 3
for L  L '  2
☆ 各種行列要素の計算の仕方について
3. Potential energy matrix
3
角度及びスピンに関する積分
ＬＳ 力の場合
L1 X
3
L '1
X  l s
j  l s
j2   l  s   l 2  s 2  2 l  s
2
l s 
1 2 2
j  l  s2 

2
2 S ' 1
L 'J ' l  s
2 S 1
LJ 
1
2
2 S ' 1
L 'J ' j2  l 2  s 2
2 S 1
LJ
1 2 S '1
L 'J ' J  J  1  L  L  1  S  S  1 2 S 1LJ
2
1
  J  J  1  L  L  1  S  S  1 2 S '1L 'J ' 2 S 1LJ
2
1
  J  J  1  L  L  1  S  S  1  J , J '  L , L '  S , S '
2

2 S 1
LJ l  s
2 S 1
LJ 
1
J  J  1  L  L  1  S  S  1

2
ブラ・ケット間で J,L,S が異なる場合は 0
☆ 各種行列要素の計算の仕方について
3. Potential energy matrix
3
角度及びスピンに関する積分
テンソル力の場合
L1 X
3
LJ
ここは結構
ややこしい。。。
L '1
• 「大学院 原子核物理」
中村誠太郎監修
吉川庄一、森田正人、玉垣良三、谷畑勇夫、大塚孝治著
講談社サイエンティフィク
４章“核力の多面性” ４．５．２節
X  S12
やり方
S12
3
 aL , L 1 3 L  1J
 aL , L 3LJ
 aL , L 1 3L  1J
一般には、ある状態にテンソル演算子を作用させると、
全角運動量 J は保存したまま、異なる軌道角運動量 L の状態が混ざる。
この事実から、テンソル演算子を作用させた状態を可能な L の状態で
展開しておいて、簡単な場合について両辺を比較して、展開係数 {aL,L’} を決定する
こうして
3
L 'J S12
3
LJ
 aL , L '
が分かる。
☆ 各種行列要素の計算の仕方について
（練習：簡単な場合… L=J の場合）
この場合、 S12 が作用しても
１．J は保存される
２．パリティは保存される
…パリティ保存から L=J-2, J, J+2 が許される。
しかし L=J±2 とスピン S=1 を組んで J を作ることはできない。
これらのことから L=J のみ。
S12
3
 aJ , J
JJ
3
JJ
磁気量子数も露わに書くと
S12
3
 aJ , J
JJ , M
ここで
3
3
JJ , M
JJ , M 
C  J m,1M  m | J M 
m

J , m 1, M  m
軌道角運動量
 C  J m,1M  m | J M  Y  , 
Jm
m
スピン
1, M  m
☆ 各種行列要素の計算の仕方について
（練習：簡単な場合… L=J の場合）
テンソル演算子S12 は
S12
3
JJ , M

24
5
24
5
S12 

 1  σ


1

σ 2 2, Y2,  r
と書けるので、
このスライド末尾の
「以下補足」を参照
  1  σ1 σ 2 2, Y2,   r 



  C  J m, 1 M  m | J M  YJm r 1, M  m
m

24
5

 1 C  J m, 1 M  m | J M   Y


2,  
,m
r Y r   σ σ 
Jm
1
2 2, 
軌道角運動量
ここで扱いやすいケースとして
この時
Y2,   0,0     
r   ,     0, 0 
M 1
5
4
スピン
を考える。
, YJ ,m  0,0    m
1, M  m
2J 1
4
☆ 各種行列要素の計算の仕方について
（練習：簡単な場合… L=J の場合）
よって
  0,   0 S12 3 J J , M  1

24
5

 ,m
 C  J 0, 11| J 1
24
5
5
4
2J 1
 σ1 σ 2 2,0 1, 1
4
スピン
あとはスピン部分の計算
1,1   
,
σ1 σ2 2,0  
 1,0,1
 σ1 σ 2 2,0 1, 1
C 1   | 20     

2
 C 10 0 | 20   0  0     C 10 0 | 20   z  z   




2
 C 10 0 | 20  2 S z  2 S z
μ=±1の場合、σ(1)μ σ(2)-μのどちらかが
スピンをアップさせる演算子になる。
しかし１，２のスピンは共にすでに
↑なので、これ以上上げることはできない。
つまり作用しても０になってしまう。
2J 1
  σ1 σ 2 2,  1, 1  m
4
5
 m
4
  1 C  J m, 11  m | J 1    
2
2

2
1
1
 2 2   
3
2
2
2

3
クレプシュ・ゴルダン係数の値は
このスライドの最後のページを参照
☆ 各種行列要素の計算の仕方について
（練習：簡単な場合… L=J の場合）
  0,   0 S12 3 J J , M  1  C  J 0,11| J 1
24
5
5
4
他方
  0,   0 3 J J , M  1  C  J 0,11| J 1
これらを比較することで
S12
3
JJ
 aJ , J
3
JJ
を満たすような aJ,J は
aJ , J  2
2J 1
4

2J 1
4
2

3
☆ 各種行列要素の計算の仕方について
（重陽子の場合… L=J±1 の場合）
L=J-1, L=J+1 は共にスピン S=1 と組んで全角運動量 J の状態を作ることが出来る。
またパリティも同じ。
テンソル演算子によって混ざることが出来る。
S12 3LJ
 aL, J 1
3
 J 1J
ここで
 aL, J 1
3
 J  1J
L J 1
係数 aL,J±1 を求める手順は、先と同様に簡単な場合を考える。
r   ,     0, 0 
ただし前回と違い、未知係数が複数あるので、複数の磁気量子数 M を考える。
  0,   0 S12 3 LJ , M  aL, J 1   0,   0
3
 J  1 J , M
 aL, J 1   0,   0
3
 J  1 J , M
L J 1
☆ 各種行列要素の計算の仕方について
（重陽子の場合… L=J±1 の場合）
○右辺
3
 J  1 J , M

 C  J  1m, 1 M  m | J M  Y
J 1, m
 ,   1, M  m
m
  0,   0
3
 J  1J , M
 C  J  1 0, 1 M | J M 
2  J  1  1
1, M
4
YJ ,m  0, 0    m
2J 1
4
☆ 各種行列要素の計算の仕方について
（重陽子の場合… L=J±1 の場合）
○左辺
3
先の L=J の時と全く同様、テンソル演算子 S12 と状態 LJ , M
S12
3
LJ , M

24
5
を書き下す。
  1  σ1 σ 2 2, Y2,   r 



  C  L m, 1 M  m | J M  YL ,m r 1, M  m
m

24
5

 1 C  L m, 1 M  m | J M   Y


2,  
,m
  0,   0 S12 3LJ , M 
r Y r   σ σ 
L,m
6 C  L 0,1 M | J M 
1
2 2, 
1, M  m
2L  1
 σ1 σ 2 2,0 1, M
4
Y2,   0, 0     
5
,
4
YL ,m  0, 0    m
2L  1
4
☆ 各種行列要素の計算の仕方について
（重陽子の場合… L=J±1 の場合）
σ1 σ2 2,0  
○左辺
続いてスピン部分
 1,0,1
 σ1 σ2 2,0 1, M
・ M=1 の時
2
1, 1
3
 σ1 σ 2 2,0 1, 1 
先の L=J でやっている
C 1   | 20     


  σ1 σ 2 2,0  

2

2
 
3

・ M=-1 の時
M=1 の時と同様、μ=0 しか作用できない。
… μ=1,-1 では σμ がどちらかのスピンを
更に下げようとしてしまう。
1,  1  
M=1 の時と全く同様にして
 σ1 σ 2 2,0 1, 1
クレプシュ・ゴルダン係数の値は
このスライドの最後のページを参照
 C 100 | 20   0  0   
 σ1 σ 2 2,0 1,  1 

2
2
1,  1
3

2

3

  σ1 σ 2 2,0  


2
 
3

☆ 各種行列要素の計算の仕方について
（重陽子の場合… L=J±1 の場合）
σ1 σ2 2,0  
○左辺
 σ1 σ2 2,0 1, M
続いてスピン部分
・ M=0 の時
1
2
1, 0 
 σ1 σ 2 2,0 1, 0
 1,0,1


 C 1    | 20      



 C 10  0 | 20   0  0

2
2
 C 1  1  1| 20    1 1

クレプシュ・ゴルダン係数の値は
このスライドの最後のページを参照
2
1
2
1
2

2

  
 C 11   1| 20   1   1
C 1   | 20     
2
1
2


  


  
1

2

 1i 
S 
ス ピ ン を 上げる
 i1
S 
ス ピ ン を 下げる
 0i 
S z 
ス ピ ン を 変えない
i
i
i
を考慮して生き残る配位を残す
☆ 各種行列要素の計算の仕方について
（重陽子の場合… L=J±1 の場合）
○左辺
ここで
 0i    zi   2 S zi 
 i1 


1 i 
 x   yi  
2
 σ1 σ 2 2,0 1, 0


1
i
i
2 S x   S y  
2

1
1

2
  2 S    2 S   
6
2

2

2
 2 S z   2 S z  
3

1
2
1

2
 2 S     2 S   
6
 σ1 σ2 2,0 1, 0
 2
2

3
1
2


2 S  
i

  

1

2
  

 2
2
1, 0
3
☆ 各種行列要素の計算の仕方について
（重陽子の場合… L=J±1 の場合）
○左辺
ここまでスピン部分の結果をまとめると
σ1 σ2 2,0 1, M
 bM 1, M
bM



 
 2

2
3
2
3
for M  1
for M  0
この bM を使って左辺は
  0,   0 S12 3LJ , M 
6 C  L 0,1 M | J M 
2L  1
bM 1, M
4
☆ 各種行列要素の計算の仕方について
（重陽子の場合… L=J±1 の場合）
○以上の左辺と右辺の式を用いて。。。
  0,   0 S12 3 LJ , M  aL, J 1   0,   0
3
 J  1 J , M
 aL, J 1   0,   0
  0,   0 S12 3LJ , M 
  0,   0
3
 J  1J , M
3
 J  1 J , M
6 C  L 0,1 M | J M 
 C  J  1 0, 1 M | J M 
6 C  L 0, 1 M | J M  2 L  1 bM
 aL , J 1C  J  1 0, 1 M | J M 
 aL , J 1C  J  1 0, 1 M | J M 
2J 1
2J  3
2L  1
bM 1, M
4
bM



 
 2

2
3
2
3
2  J  1  1
1, M
4
for M  1
for M  0
☆ 各種行列要素の計算の仕方について
（重陽子の場合… L=J±1 の場合）
○ L=J±1 の各場合について式を書き下すと。。。
・ L=J-1 の時
6 C  J  1 0, 1 M | J M  2 J  1 bM
 aJ 1, J 1C  J  1 0, 1 M | J M 
 aJ 1, J 1C  J  1 0, 1 M | J M 
2J 1
2J  3
・ L=J+1 の時
6 C  J  1 0, 1 M | J M  2 J  3 bM
 aJ 1, J 1C  J  1 0, 1 M | J M 
 aJ 1, J 1C  J  1 0, 1 M | J M 
2J 1
2J  3
☆ 各種行列要素の計算の仕方について
（重陽子の場合… L=J±1 の場合）
○ L=J±1 の各場合について式を書き下すと。。。
これらの式に現れるクレプシュ・ゴルダン係数を計算しておく
C  J  1 0, 1 M | J M 



 



  J  1  M  J  1  M  1 


2
J

1

1
2
J

1

2





 
 
1/ 2
1/ 2
 J 1 


2
2
J

1




  J  1  M  1 J  1  M  1 


2
J

1

1
J

1

1










1/ 2
for
M  1
for
M 0
1/ 2
 J 

 2 J  1 
C  J  1 0, 1 M | J M 
1/ 2
   J  1 M  J  1 M  1 1/ 2 

J
 
for M  1
 

 
2  J  1 2  J  1  1
 2  2 J  3 

 
1/ 2
1/ 2
  J  1  M  J  1  M  

 J 1 

for M  0
 


2
J

3



  J  1 2  J  1  1 
☆ 各種行列要素の計算の仕方について
（重陽子の場合… L=J±1 の場合）
○ L=J±1 の各場合について式を書き下すと。。。
これらの式に現れるクレプシュ・ゴルダン係数を計算しておく
つまり
C  J  1 0, 1 M | J M 
  J  1 1/ 2
 
for M  1

2
2
J

1



  
1/ 2

 J 
for M  0

 2 J  1 

C  J  1 0, 1 M | J M 
1/ 2
 

J
 

  2  2 J  3 
 
1/ 2

 J 1 
 
 2 J  3 

for
M  1
for
M 0
☆ 各種行列要素の計算の仕方について
（重陽子の場合… L=J±1 の場合）
○ L=J±1 の各場合について式を書き下すと。。。
L=J±1 の各場合について、 M=±1 及び M=0 のクレプシュ・ゴルダン係数を代入
・ L=J-1 の時
1/ 2
M=±1
 J 1 
6

 2  2 J  1 
1/ 2
2 J  1 bM 1
1/ 2
M=0
 J 1 
 aJ 1, J 1 

 2  2 J  1 
 J 1 
2 J 1  aJ 1, J 1   
 2 J  3 
1/ 2
 J 
6
 2 J  1
2 J 1 bM 0
1/ 2


J
2 J  1  aJ 1, J 1 

 2  2 J  3 
2J  3
1/ 2
 J 
 aJ 1, J 1 
 2 J 1
2J  3
・ L=J+1 の時
1/ 2
M=±1


J
6

2
2
J

3




M=0
 J 1 
6 
 2 J  3 
1/ 2
2 J  3 bM 1
1/ 2
 J 1 
 aJ 1, J 1 

2
2
J

1




1/ 2
2 J  3 bM 0
 J 
 aJ 1, J 1 
 2 J 1
1/ 2


J
2 J  1  aJ 1, J 1 

2
2
J

3




 J 1 
2 J  1  aJ 1, J 1   
 2 J  3 
2J  3
1/ 2
2J  3
☆ 各種行列要素の計算の仕方について
（重陽子の場合… L=J±1 の場合）
○ L=J±1 の各場合について式を書き下すと。。。
bM
bM も代入して、整頓すると
・ L=J-1 の時
M=±1
M=0
2 J 1 
J  1 aJ 1, J 1 
J aJ 1, J 1
4 J 
J aJ 1, J 1  J  1 aJ 1, J 1
M=±1
2 J 
J  1 aJ 1, J 1  J aJ 1, J 1
M=0
4 J  1  J aJ 1, J 1  J  1 aJ 1, J 1
・ L=J+1 の時



 
 2

2
3
2
3
for M  1
for M  0
☆ 各種行列要素の計算の仕方について
（重陽子の場合… L=J±1 の場合）
○これら４つの方程式を連立させて解くと。。。
未知係数は４つ： aJ 1, J 1 , aJ 1, J 1 , aJ 1, J 1 , aJ 1, J 1
方程式も４本あるので求まる。
aJ 1, J 1 
2  J  1
2J 1
aJ 1, J 1 
2  J  2 
2J 1
aJ 1, J 1  aJ 1, J 1 
6 J  J  1
2J 1
☆ 各種行列要素の計算の仕方について
これまでの結果のまとめ
… L=J, J±1 に対して、中心力 V C 、ＬＳ力 V LS 、テンソル力 V T を考える。
3
LJ V
3
L 'J
J-1
L’
L
J-1
J
J+1
J
2  J  1
VT
2J 1
  J  1 VLS
VC 
2J 1
6 J  J  1
2J 1
VC  2 VT  VLS
0
6 J  J  1
0
J+1
VT
0
2  J  2
VT
2J 1
  J  2  VLS
VC 
0
VT
☆ 各種行列要素の計算
（補足） よく使う Gauss積分








0
0
0
0
e  ax 
2
dx
dx x 2 e  ax 
2
dx x 4 e  ax 
2
dx x 6 e  ax 
2
 1
a 2
 1 1
a 4 a2
 3 1
a 8 a2
 15 1
a 16 a 3
一般に


0
dx x 2 n e ax 
2
  2n  1!! 1
a
2n1
an
☆ 実例： Tamagaki potential ( G3RS-1 )
R. Tamagaki, Prog. Theor. Phys. 39, 91 (1968)
Potential for 3E channel
V C  VC  r 

3
   r  2 
V
exp

C ,i
C ,i


i 1
3
2
V T  VT  r  S12  S12  VT ,i exp    r T ,i  


i 1
Core hight = 1.8 GeV
☆ 実例： Tamagaki potential ( G3RS-2 )
R. Tamagaki, Prog. Theor. Phys. 39, 91 (1968)
Potential for 3E channel
V C  VC  r 

3
   r  2 
V
exp

C ,i
C ,i


i 1
3
2
V T  VT  r  S12  S12  VT ,i exp    r T ,i  


i 1
Core hight = 0.3 GeV
☆ 実例： Tamagaki potential ( G3RS-1 )
結果
Wave function
[fm-3/2]
基底のGaussian （ S, D状態、両方）
広がりパラメータ 最小bmin =0.1 fm, 最大bmax = 20 fm
N=40この等比級数で用意
S-wave U(r)
D-wave W(r)
r [fm]
☆ 実例： Tamagaki potential ( G3RS-1 )
結果
Wave function
[fm-3/2]
・中心力の斥力芯によって、S-waveの短距離部分
（1 fm以下）が強く抑制されている。
S-wave U(r)
D-wave W(r)
r [fm]
☆ 実例： Tamagaki potential ( G3RS-1 )
結果
・中心力の斥力芯によって、S-waveの短距離部分
（1 fm以下）が強く抑制されている。
Wave function
[fm-3/2]
・Long tailはテンソル力から。
S-wave U(r)
D-wave W(r)
r [fm]
☆ 実例： Tamagaki potential ( G3RS-1 )
結果
・中心力の斥力芯によって、S-waveの短距離部分
（1 fm以下）が強く抑制されている。
Wave function
[fm-3/2]
・Long tailはテンソル力から。
S-wave U(r)
各波動関数の最大値で規格化した
D-wave W(r)
r [fm]
☆ 実例： Tamagaki potential ( G3RS-2 )
結果
Wave function
[fm-3/2]
基底のGaussian （ S, D状態、両方）
広がりパラメータ 最小bmin =0.1 fm, 最大bmax = 20 fm
N=40この等比級数で用意
S-wave U(r)
D-wave W(r)
r [fm]
☆ 実例： Tamagaki potential ( G3RS-2 )
結果
Wave function
[fm-3/2]
・S-waveの短距離部分（1 fm以下）の抑制度合いは
G3RS-1に比べ弱い。
← G3RS-2は斥力芯が低いため。
S-wave U(r)
D-wave W(r)
r [fm]
☆ 基底数を変えて行った時の様子
N= 5
bmin =0.1, bmax = 20
Wave function
[fm-3/2]
Tamagaki potential (G3RS-1) を使用
r [fm]
☆ 基底数を変えて行った時の様子
N= 6
bmin =0.1, bmax = 20
Wave function
[fm-3/2]
Tamagaki potential (G3RS-1) を使用
r [fm]
☆ 基底数を変えて行った時の様子
N= 7
bmin =0.1, bmax = 20
Wave function
[fm-3/2]
Tamagaki potential (G3RS-1) を使用
r [fm]
☆ 基底数を変えて行った時の様子
N= 8
bmin =0.1, bmax = 20
Wave function
[fm-3/2]
Tamagaki potential (G3RS-1) を使用
r [fm]
☆ 基底数を変えて行った時の様子
N= 9
bmin =0.1, bmax = 20
Wave function
[fm-3/2]
Tamagaki potential (G3RS-1) を使用
r [fm]
☆ 基底数を変えて行った時の様子
N=10
bmin =0.1, bmax = 20
Wave function
[fm-3/2]
Tamagaki potential (G3RS-1) を使用
r [fm]
☆ 基底数を変えて行った時の様子
N=20
bmin =0.1, bmax = 20
Wave function
[fm-3/2]
Tamagaki potential (G3RS-1) を使用
r [fm]
☆ 基底数を変えて行った時の様子
N=30
bmin =0.1, bmax = 20
Wave function
[fm-3/2]
Tamagaki potential (G3RS-1) を使用
r [fm]
☆ 基底数を変えて行った時の様子
N=40
bmin =0.1, bmax = 20
Wave function
[fm-3/2]
Tamagaki potential (G3RS-1) を使用
r [fm]
☆ 参考文献
• 「大学院 原子核物理」
中村誠太郎監修
吉川庄一、森田正人、玉垣良三、谷畑勇夫、大塚孝治著
講談社サイエンティフィク
４章“核力の多面性” ４．５．２節
• 基礎物理数学 Ｖｏｌ.1
「ベクトル・テンソルと行列式」
ジョージ・アルフケン、ハンス・ウェーバー著
（権平健一郎、神原武志、小山直人訳） 講談社
ｐ．２８８～２９０
• 「角運動量の基礎理論」
ローズ（山内恭彦・森田正人訳） みすず書房
世話人を始め、
皆様、
ありがとう
ございました！！
☆ 以下補足
☆ テンソル力が“テンソル”力であることの確
認
テンソル力が“テンソル力”と呼ばれるのは、演算子 S12 が
「空間とスピン各々から作った二階のテンソルをスカラー（０階テンソル）に組んだもの」
であるため。
テンソル力:
V T  VT  r  S12
テンソル演算子
S12 
σ1  r  σ 2  r 

3
r2


  σ1  σ 2 

 3 σ1  r σ 2  r   σ1  σ 2 
このテンソル演算子は以下のように書ける：
S12  3  σ1 σ 2 2
 3   1
m
m
r r 
2
 σ1 σ 2 2,m  r r 2, m
さらに次のように書きなおせる：
S12 
24
5
  1 σ1 σ2 2,m Y2,m r 
m
m
r  rr
☆ テンソル力が“テンソル”力であることの確
認
様々な量の定義
各二階テンソル：
 σ1 σ 2 2,m   C 1  , 1m   | 2 m   1  m 2
r r 


2, m
 C 1  , 1m   | 2 m  r  r
m 
各ベクトルの球面成分：
i 




 





1 i 
 x  i yi 
2
i 
z

1
 xi   i yi 
2


for

 1 

for   0  , r 

for   1





 





1
r x  ir y
2
rz
1
r x  ir y
2



for

 1 

for   0 

for   1


☆ テンソル力が“テンソル”力であることの確
認



S12  3 σ1  r σ 2  r   σ1  σ 2   3   1
m
m
 σ1 σ 2 2,m  r r 2, m
証明の仕方
最右辺の
σ1 σ2 2,m ,
r r 
2,  m
に、各二階テンソルの定義を代入。
さらに各球面ベクトルの成分を直交座標成分で書きなおし、
左辺に一致することを確認する。
2
x
2
y
2
z
r  r  r  1 にも注意。
☆ テンソル力が“テンソル”力であることの確
認
S12  3   1
m
m
つまり
σ1 σ2 2,m r r 2,m 
 
24
Y2,m r
5


3 rr
2, m
24
5
  1 σ1 σ2 2,m Y2,m r 
m
m
を各mについて確認
参考
球面調和関数

Y2,0 r


Y2,1 r 

Y2,2 r 

クレブシュ・ゴルダン係数 C 1m, 1M  m | 2 M 
Y2,m r

5
3cos 2   1 

16

15
cos  sin  e  i 
8
15
sin 2  e 2i 
32

C 1  1, 1  1| 2  2   1
2
5
3 r Z 1
16
15
rZ rx  i r y
8

15
rx  i ry
32

2

C 1  1, 1 0 | 2  1  C 1 0, 1  1| 2  1 
C 1  1, 1 1| 2 0  
16
C 1 0, 1 0 | 2 0 
23

※ 全て複合同順
12