Transcript プログラミング入門
補講：アルゴリズムと漸近的評価
アルゴリズム
アルゴリズムと問題
「アルゴリズム」とは「問題」を解くために、
「基本操作」（命令）を有限個組み合わせ
てできる手順。
色々な問題
データのソート
命令
アルゴリズム
四則演算
組み合わせ方
代入演算
比較演算
2進数への変換
連立方程式を解く
最大公約数
アルゴリズム例１
１０進数を２進数に変換する方法
25の2進数は？
２で割り算
商
余
25/2 =12
12/2 = 6
6/2 = 3
3/2 = 1
1/2 = 0
・・・1
・・・0
・・・0
・・・1
・・・1
アルゴリズム例２
最大公約数を求める方法（ユークリッドの互除法）
2つの自然数m,nの最大公約数を求めるアルゴリズム
[step1]：mをnで割って余りをrとする。
[step2]:r=0ならアルゴリズム終了する。このときのnが
最大公約数
[step3]:r0なら、mにnを代入し、nにrを代入してstep1にもどる。
実行例
m=12 n=8 の最大公約数
1回前の余り
余り
で割り算
12/8=1・・・4
8/4=2 ・・・0
次回の値
m=8 n=4
最大公約数は４
アルゴリズムとプログラム
アルゴリズム
＋
プログラミング
プログラム
プログラム言語
データ構造
ユークリッドの互除法
＋
整数型データ
int gcd(int m, int n){
int r;
do {
r= m % n;
m=n;
n=r;
}while(r != 0);
return m;
}
アルゴリズムの評価
問題の大きさ
同じ問題でも、
その大きさ毎に必要な演算数（総ステップ数、計算時間）は異なる。
大きさも考えた問題
n桁の足し算
n桁の10進数をmビットの２進数へ変換
n変数の連立方程式
n個のデータに対する、ソート
n桁の数とm桁の数の最大公約数
通常入力サイズは、n,m等の文字で表します。
アルゴリズムの評価
アルゴリズムは通常「問題」を解くためのものであり、
どんな大きさでも解けないといけない。
総ステップ数を、入力サイズnの関数T(n)で評価します。
（使用メモリ量を、入力サイズnの関数S(n)で
評価することもあります。）
計算時間と関数
1000MIPS(1秒間に10億回の演算可能）の
コンピュータで考えてみましょう。
関数
サイズ n
10
10 log n
8
10 n
5
2
10 n
2n
10
10秒
1秒
100
3
10
20秒
10秒
30秒
1分40秒
1分40秒
甚大
104
105
40秒
16分40秒
約2時間47分
甚大
50秒
約2時間47分
約11.5日
甚大
約3.2年
甚大
6
10
1分
約１日
0．01秒
1秒
6
1.0
10
約
秒
約3京世紀
関数の分類（オーダー記法）
関数の増加傾向により、
関数を大まかに分類したい。
log n
2log n
n
10n
1000log n
1000n
O(log n)
対数（時間）
O(n)
n
n
n2
2
10n
2
k
100n
k
3n
cn
O(n2 )
k
O(n )
多項式（時間）
O(cn )
指数(時間）
O記法
Ｏ記法
定義
２つの正の値しかもたない数列を { f (n)},{g(n)} とする。
２つの定数 c , n0 が存在し、
n n0 なる全てのｎに対し,
f (n) cg(n)
ならば、
f (n) O( g(n))
と書き、
f (n)
はオーダー
g (n)
と読む。
注意１：Ｏ記法では、「＝」の左辺と右辺の交換は不可。
Ｏ記法のイメージ
Ｏ記法の例
(1) f (n) 2n
n0 1, c 2, g (n) n
とすれば、
n 1 に対して、 f (n) 2g (n)
よって、 2n O(n)
(2) f (n) 5n2 100n
n0 100, c 6, g(n) n2
n 100
に対して、
よって、
とすれば、
f (n) 6g(n)
5n2 100n O(n2 )
注意2：通常Ｏ記法では、最も簡単な関数で表す。
Ｏ記法の例
(3) f (n) 10000000000
n0 1, c 10000000000, g(n) 1 とすれば、
n 1
に対して、
f (n) cg(n)
よって、 10000000000 O(1)
(4) f (n) 2n n100
n0 1000, c 2, g(n) 2n とする。
1000
2
2
10 100
n 1000
(1024)100 (1000)100 なので、
に対して、
f (n) cg(n)
よって、 2n n100 O(2n )
Ｏ記法の練習
次の数列の一般項（関数）をＯ記法で表せ。
(1) f (n) 10n 500
(2) f (n) 10n n 100000n2
(3) f (n) 1000log2 n 10log10 n
(4) f (n) n log2 n
(5) f (n) 2n 3n
プログラムと漸近的評価
仮定１
プログラム内の加減算は、ある定数
c1時間以下で実行できる。
仮定２
プログラム内の乗除算は、ある定数
c2時間以下で実行できる。
仮定３
プログラム内の比較は、ある定数
c3 時間以下で実行できる。
仮定４
プログラム内の代入は、ある定数
c4 時間以下で実行できる。
.
.
.
プログラムでは、このように仮定できることが多い。
プロうグラムの漸近的評価
仮定１－４より、 c max{c1 , c2 , c3 , c4 }
なる
c
をとると、
プログラム内の4則演算、比較等はある定数時間以下で実行できる。
つよめて
プログラム内では、
繰り返し構造、
（再帰関数を含む）関数呼び出し、
以外は定数時間で実行できると仮定できることが多い。
プログラムにおける計算時間の漸近評価例
function1()
{
for(k=0;k<n;k++)
{
・・・・
}
}
function1の計算時間は、 O(n)
である。
この部分がｎ回
実行されることに
注意する。
プログラムにおける計算時間の漸近評価例2
function2()
{
この部分は n 回
実行されることに
注意する。
for(k=0;k<n;k++)
{
for(j=0;j<n;j++)
{
・・・・
}
}
}
この部分は n2 回
実行されることに
注意する。
この部分はn 回
実行されることに
注意する。
2
function2の計算時間は、O(n )で ある。
プログラムにおける計算時間の漸近評価例3
function3()
{
for(k=0;k<n;k++)
{
for(j=0;j<k;j++)
{
・・・・・・
}
}
}
function3の計算時間 f (n) を評価してみましょう。
f (n) c(1 2 3
n(n 1)
n) c
O(n2 )
2
プログラムにおける計算時間の漸近評価例4
int function4(int n)
{
if(n＜1)
{
return(0);
}
f (n) O(n) である。
{
function4(n}
f (1) c1
f (n) f (n 1) c2
この漸化式より、
else
1);
function4の計算時間 f (n) を評
価してみましょう。
プログラムにおける計算時間の漸近評価例5
int function5(int n)
{
if(n＜1)
{
return(0);
}
else
{
function5(n/2);
}
function5の計算時間 f (n) を評
価してみましょう。
f (1) c1
n
f
(
n
)
f
(
) c2
2
この漸化式より、
f (n) O(log n) である。
プログラムにおける計算時間の漸近評価例6
int function6(int n)
{
if(n＜1)
{
return;
}
else
{
function6の計算時間 f (n) を評
価してみましょう。
f (1)
f (n)
c1
f (n 1) f (n 1) c2
2 f (n 1) c2
function6(n-1);
function6(n-1);
}
}
この漸化式より、
f (n) O(2n ) である。
プログラムにおける計算時間の漸近評価練習1
次のプログラムの計算時間をＯ記法で求めよ。
ただし、入力サイズは仮引数ｎに入っている数とする。
（１） exercise1(int
n)
{
for(j=0;j<n;j++)
{
for(k=0;k<n;k++)
{
・・・・・・
}
}
for(l=0;l<n;l++)
{
××××
}
}
（2）
exercise2(int n)
{
if(n＜2)
{
return;
}
else
{
exercise2(n-1)；
exercise2(n-2);
}
}