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χ χ χ χ χ χ χ χ χ 東京大学 ビッグバン宇宙国際研究センター χ χ χ Scalar fields could be the origin of everything! Large Homogeneous, Isotropic, & Flat Universe Inflation driven by a scalar field called the Inflaton Density fluctuations & CMB Anisotropy Quantum fluctuations of the Inflaton field Radiation Reheating by Inflaton’s decay Baryon Asymmetry Affleck-Dine scalar fields in SUSY？ Dark Matter Q-balls ？ 3H V [ ] 0 Slow-roll phase is now probed by astronomical observations. V[φ] BEGINNING?? slow rollover END?? Reheating Λ Inflaton φ But little is known about the beginning and end of inflation. The Origin of the Hot Big Bang Universe Reheating Processes After Inflation ＝Entropy Production through the decay of the Inflaton, a scalar field which drives inflation. V[φ] V[φ] INFLATION Potential energy Slow rollover effeff Exponential expansion φφ １ R2 inflation (conformal Chaotic inflationtr.) V Kinetic + potential energy Rapid field oscillation Preheating (parametric resonance) Reheating (perturbative decay) eff φ Ψ Hybrid inflation V [ ] Radiation dominated stage Reheating temperature TR The maximum temperature after inflation is much higher than the reheating temperature in general. The inflaton decays in a thermal bath. eff v New/Topological inflation 超対称性理論： weak scaleの質量を持った多数のスカラー場を含む。 squark, slepton がバリオン数やレプトン数を破る 反応を起こすとバリオン・レプトン非対称の起源を 説明可能＝Affleck-Dine mechanism これらの場はハッブルパラメタがmass scaleまで 下がると振動を開始する。（温度～1010GeVの頃） 非対称はこれらの場が振動し、エネルギーを粒子に 散逸するときに生成する。 Moduli： ①他の場と重力の強さ(Planck-suppressed)でしか 相互作用しない。 ②グラビティーノと同程度の質量を持ち、元素合成後 に大量のエントロピーを出して崩壊する。 １ 熱浴（＝有限温度の輻射媒質）中を振動する スカラー場の挙動 ２ インフラトンの崩壊生成物が大きな熱的 質量を持つ場合 ３ モジュライのコヒーレント振動の早期崩壊 の可能性 ２の熱浴中でのインフラトンの崩壊に関する興味深い指摘 If the would-be decay product of the inflaton acquires a thermal mass which is larger than the inflaton’s mass, its decay is temporarily suspended. (Linde 1985, Kolb, Notari, & Riotto 2003) other scalar particles or Finite-Temperature Effective Potential fermions 2 2 1 g g V[ ] m 2 2 4 T 2 2 ... thermal mass 2 4 8 m(T ) gT thermal mass The decay rate of the inflaton to two massive particles with mass m . 4m2 0 1 2 M 1 2 M : the inflaton mass Decay rate to two massless particles. Phase space is closed and the scalar field cannot decay if would-be decay products have a thermal mass larger than M 2 !? If so, thermal Thermal history history after after preheating inflation in isconventional drastically changed. theory with const d (3H ) dt d r 4H r dt 3 field oscillation a(t ) (t te ) (t ) (te ) e a(te ) radiation a(t) r (t ) dt (t) a(te ) te t 4 φdominant T a3 8 Reheat temperature TR,conv radiation dominant T a1 φdecays completely at t 1 If inflaton’s decay rate vanishes at high temperature T M g, thermal history is drastically changed. huge discrepancy new reheating scenario φ decays gradually, keeping T const. TR,conv discrepancy TR,new M g ρφ=ρr This would affect the relic abundances of gravitinos, superheavy particles etc. 熱的質量は本来の質量とは違うだろう。 スカラー場のコヒーレント振動はただの粒子とは違うだろう。 そこでまず、 ① Nonequilibrium field theory for the oscillating scalar field ② The case decay products do not have any thermal masses. ③ The case decay products have a large thermal mass. Assumptions & Conditions: ① Neglect cosmic expansion ② The would-be decay products of the inflaton are in thermal equilibrium at a fixed temperature. ③ The inflaton is in nonequilibrium and oscillating. ④ Parametric resonance ineffective (after the preheating stage, if any). １ 熱浴中を振動するスカラー場の挙動 Coherent field oscillation behaves almost classically. But its decay is of course a quantum process. Derive an effective equation of motion for the expectation value of the scalar field φ by calculating its effective action Γ(φ). t t 4 4 (t ) exp i Hd x (0)exp i Hd x Heisenberg picture 0 0 t t 4 4 in (t ) in in exp i Hd x (0)exp i Hd x in 0 0 time flow Time ordered & anti-ordered product cf Quantity calculated in ordinary quantum field theory: Transition Amplitude 4 out TO (t )exp i Ld x in time flow What fraction of the initial state goes to the final state? Time ordered product Model Lagrangian oscillating scalar field (inflaton) interacting field χ in a thermal state with temperature T 1 φ→χχ φ→ψψ Generating functional -branch i e H +branch time Effective Action in terms of the Legendre Transform Field variables also have suffices ±, and + fields interact with – fields, although they should be regarded as the same field in the end. Calculate the Effective action perturbatively. M M using finite-temperature propagators in the closed-time path formalism f f h2 h2 h2 h2 represent interactions between and . h2 Since and are identified in the end, it is more convenient to define and set f f h2 h2 M h2 0 in the end. M h2 h2 Equation of motion 0 0 From now on, I concentrate on the diagram related with the decay process induced by the interaction . M M 2 imaginary part Its contribution is complex-valued which is a manifestation of the dissipative nature of this interaction. Its real part and imaginary part are mutually related. Effective Action Since φ is a real scalar field, we cannot obtain a sensible equation of motion by the variation of such a complex-valued effective action Γ. As we often encounter a complex-valued effective action or effective potential even for a real scalar field, there is a known prescription to obtain a real-valued equation of motion. (Morikawa 88) including a path integral of ② . instability,dissipation ① Introduce a real-valued random Gaussian auxiliary field and rewrite the effective action as is a probability distribution function defined by Gaussian with a dispersion ：the imaginary part of the effective action （N.B.） If we performed path integral over using Gaussian integral, we would recover the original complex-valued effective action. ③ Here we take variation of the effective action as it is. , Manifestly real-valued equation of motion! ④ Equation of motion: a Langevin equation auxiliary stochastic field quantum correction Memory term depending on the past Auxiliary field with a dispersion is treated as a random Gaussian noise . Real part of the effective action: Deterministic terms in EOM Imaginary part of the effective action governs a Stochastic Noise term. The expectation value of the scalar field evolves according to the above Langevin equation. (N.B.) If we incorporate other diagrams, the Langevin equation has both additive and multiplicative noises and dissipation terms. f h 2 f h 2 h2 h2 h2 h2 h2 multiplicative noise The Langevin eq. can easily be solved via Fourier transform. spatial Fourier transform temporal Fourier transform pure imaginary real General solution The memory of the initial condition is erased after t k1(Mk ) Inflaton’s dissispation rate is given by evaluated at M k. So we calculate using dt cos( p k p )t 0 destruction terms R np nB (p ) D creation terms RC The dissipation rate of the homogeneous mode ( ) has a simple form This δfunction vanishes if m M 2 . One particle decay Induced emission rate in the vacuum at high temperature This dissipation rate vanishes if m M 2 . Cf The decay rate to fermions is suppressed by Pauli blocking. f Decay rate through Yukawa coupling Pauli blocking f ２ インフラトンの崩壊生成物が大きな熱的質量を持つ場合 Does this apply to the large thermal mass m (T ) M 2 as well? Does the dissipation rate vanish if m (T ) M 2 ? In our scheme, thermal mass m (T ) is included in , if we incorporate the finite-temperature self energy of χ, Σ(T ), in its propagator, because is determined by the pole of the propagator …. Full or ‘dressed’ propagator ＝ Resummation ＋ ＋ Σ Σ original propagator Σ ＋ Σ Σ Σ …… 1 Full propagator in the Matsubara representation GM (n , k ) 2 n k 2 m2 self energy due to χ’s interaction ＝ GM ＋ Σ ＋ Σ Σ ＋ Σ Σ …… Σ GM GM GM GM GM GM GM GM GM GM .... 1 1 1 GM 1 2 2 1 GM GM (T ) n k m2 (T ) (T ) includes a thermal mass term such as g 2T 2 which depends on the nature of χ’s interaction. Apparently, high-temperature effect closes the phase space of φ’s decay. m2 m2 (T ) m2 g 2T 2 ... 0? However, (T ) contains an imaginary part as well, (T ) R iI and the full propagator has a complex phase. p p2 m2 R , R g 2T 2 , p Then the δ function I 2p dt cos(M 2 )t (M 2 is) replaced by p 0 the Breit-Wigner form dte 0 2 pt cos(M 2p )t p 2 p . 2 2 (M 2p ) (2 p ) It is nonvanishing even when m (T ) M 2 . Dissipation rate of the zero mode coherent field oscillation of the inflaton φ M0 2p for p 0 for p 0 When M 0 np n(p ) m (T ), the dissipation rate reads It is nonvanishing and proportional to p. Imaginary part of self energy dissipation rate of the decay product χ, not the inflaton φ. It depends on interaction of χ which thermalizes it. g2 4 interaction, For example, if χ thermalizes through 4 3g 4T 2 we find p (p ) for the imaginary part of χ’s self energy. 128p (Hosoya & Sakagami 84) As a result, the dissipation rate of the inflaton φ is given by M2T 3g 2 0 (M ) 2 M2 24 2 dissipation rate to massless particles at high temperature for M m (T ) gT 2 suppression factor depending on the form of p p p p m coupling constants in general. The dissipation rate of the inflaton oscillation is finite even when its decay product, χ, acquires a larger mass than the inflaton in a high temperature plasma. g2 Reheating process is not suspended even when the decay product of the inflaton has a larger thermal mass. It is even possible to complete reheating in this regime in principle. M2T 3g 2 0 (M ) 2 M2 24 2 90 M2 MG 3g 2 TR 2 2 2 g 2 M 24 * Consistency condition m (T ) M reheat temperature when inflaton decays to massless particles g M M 310 GeV 13 0.1 10 GeV 12 suppression factor 1 2 2 3 This result, however, strongly depends on the nature of χ’s interaction which controls the imaginary part of its self energy. T a1 2 suppressed by coupling constants of the decay product T a3 8 TR,conv TR,actual in case thermal mass prohibits decay M Reheating process in a high temperature environment proceeds in a nontrivial way. Not only the thermal mass, namely real part of the self energy, but also its imaginary part of the would-be decay product, p,plays an important role. When M m (T ), the reheat temperature is suppressed by a power of coupling constants which thermalizes the decay product χ. gravitino abundance depends on the physics of decay products. supermassive particles M could be created. in case thermal mass prohibits decay TR,conv TR,actual M g ３ モジュライのコヒーレント振動の早期崩壊の可能性 Superstring, Supergravity： 何もしないとポテンシァルを持たず、安定化させるのに 苦労するスカラー場が多数ある。Flat Direction. Dilaton Moduli 超対称性の破れた現在の真空では、グラビティーノ程度 の質量を持ってポテンシァルの最小点が決まっていて、 そこに落ち着いている、、、、と思うことにしよう。 しかし宇宙初期、とくにインフレーション中はこれらは 最小点から離れたところにいた。 モジュライのポテンシァルの変化 φ ポテンシァルを持たず、超対称的な真空 φ インフレーション中、通常ハッブルパラメタに 比例した質量を持ち、安定化。 （インフレーション中は大きな真空の エネルギーにより超対称性破れる） φ 超対称性が破れると現在の最小点が 現れる。 一般に、インフレーション中の値と最終的な 値のズレはプランクスケール程度である。 モジュライのポテンシァルの変化 φ ポテンシァルを持たず、超対称的な真空 インフレーション中、ハッブルパラメタに比例 した質量を持たない状況では、量子揺らぎ によって大きな振幅を得る。 φ φ 超対称性が破れると現在の最小点が 現れる。 一般に、インフレーション中の値と最終的な 値のズレはプランクスケール程度である。 モジュライの進化 しかし、超対称性が破れた後すぐに最小点に 落ち着くわけではなく、ハッブルパラメタ H が モジュライ質量すなわちグラビティーノ質量 m3 2 程度になるまでは、ずれた値を持ち続ける。 H m φ H m3 2 になると、最小点の周りを振動する。 H m φ これはインフレーション後の再加熱期のインフ ラトンの振動と同様な、スカラー場のゼロモード のコヒーレントな振動である。 モジュライの進化 H m になると、最小点の周りを振動する。 H m φ これはインフレーション後の再加熱期のインフ ラトンの振動と同様な、スカラー場のゼロモード のコヒーレントな振動である。 このようなコヒーレントな場の振動はモジュライ粒子φの崩壊率で散逸する。 しかし、モジュライは他の場と重力の強さでしか結合していないため、グラビ ティーノと同じように長寿命である。 たとえば Lint 1 3 3 m m 1 2 105 sec M 1TeV G MG m 2 2 で m m として （ は標準模型中のスカラー場） 元素合成後に崩壊してエントロピー 生成を起こしてしまう。 MG 1 8 G 2.4 1018 GeV はreduced Planck scale モジュライの進化 H m になると、最小点の周りを振動する。 H m φ これはインフレーション後の再加熱期のインフ ラトンの振動と同様な、スカラー場のゼロモード のコヒーレントな振動である。 輻射優勢 H m の頃の宇宙の温度は T 1010 GeV まだまだ高温である。 1 2 m 程度であり、 1TeV m3 2 は真空中で計算した崩壊率である。有限温度では変化する。 MG たとえば Lint MG m 2 2 という相互作用によるボソンχへの崩壊において、 χが熱平衡状態にあったとすると、誘導放出により、 m3 (T ) 2 MG m2 H TMG m 4m2T 程度に増幅されるが、 1 2nB 2 M 2 G 1 なので役に立たない。 一般にModuliは運動項とも結合する。 Lint MG F F Lint これまでの考え方では、 MG 2 MG などの相互作用がある。 m2 により、運動項との結合も L int MG m 2 2 m3 と同様、 2 程度の崩壊率しか与えないと考えられてきた。 MG しかし、χは熱浴中で他の場と相互作用し、熱的質量 mT gT Tをもつ。 を g 2T 2 で置き換えられるとすると、Moduliとχの結合はずっと強くなる。 4 4 2 2 2 4T 2 g T Lint g T による崩壊率は 程度になるはずで、 2 MG MG m m 大きく増幅される。 崩壊生成物が大 きな熱的質量を持 つことによる m 1TeV=103GeV, T 1010 GeV とすると、 107GeV (suppression factor) になる。 H m 1TeV がみたされるとModuliは振動を始めた 途端に散逸してしまう。 つまり、熱浴の効果を考えると、Moduli問題ははじめからなかった ということになる、、、、かもしれない？ これまで述べた直観的な結論が正しいか 非平衡系場の理論を用いて解析する。 • Moduliのゼロモードは、質量mを持ち、最小点 の周りを振動している非平衡状態にあるとする。 • 宇宙はまだ輻射優勢であるとする。 • Moduliと結合している場χは、輻射温度Tの 熱平衡状態にあるとする。 • 散逸率の大きい場合に興味があるので、宇宙 膨張は無視する。 いま興味のある微分結合のループをEffective actionに取り入れる。 Lint MG 2 実線はφ 二重線はχ を表す。 2 MG と は同じ 場であり 、 最後には同一視する ので と おいて最後に 0と する方がよ い。 2 MG Equation of motion 0 0 散逸系なので、φのEffective actionは複素数になる。 実部と虚部は互いに関係しあっている。 先ほどと同じ処方で運動方程式が求められ、散逸率もC のフーリエ変換で求 められる。 モジュライの散逸率は そこで、 に M k を代入したものである。 を計算する。 2 MG ただし χが熱的状態にあることを正しく取り入れるためには、propagator として、有限温度でのself energyを取り入れ、resummationした full propagatorを用いなければならない。 2 MG self energy Full or ‘dressed’ propagator ＝ Resummation Σ ＋ original propagator Σ ＋ Σ Σ ＋ Σ Full propagator in the Matsubara representation GM (n , k ) Σ …… 1 n2 k 2 m2 self energy due to χ’s interaction ＝ GM ＋ Σ ＋ Σ Σ ＋ Σ Σ Σ …… GM GM GM GM GM GM GM GM GM GM .... 1 1 1 GM 1 2 2 1 GM GM (T ) n k m2 (T ) g2 4 という相互作用によって熱化するので、 今のモデルでは χ は 4 3g 4T 2 χのself energyの虚部は p (p ) となる。 128p その結果 m 3 2 g 6T 5 512 3 m2 MG2 2 10 4 2 g 6T 5 m2 MG2 m 1TeV=103GeV, T 1010 GeV とすると、 になり、まずまずの値である。 g2 直観的には 4 4 4T 2 g T MG2 m m だった。 m 3 2 g 6 TeV 熱浴中の崩壊を真面目に考えることによって モジュライのコヒーレント振動を効率的に散逸 させられそうである。 温度が高いほど効率的である。 しかし、温度が高いとグラビティーノ同様熱的散乱によって生成される ものも出てくる、という問題はある。