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８．線形空間（ベクトル空間）
1
数ベクトルとは？
空間とは？
次元とは？
このようなことを厳密に扱いたい。
その前に、平面とベクトルの関係および、
空間とベクトルの関係を再考する。
2
平面上のベクトル
3
基本ベクトルと座標
y
1
e1    の係数
0 
 0
e2    の係数
1
p  (a, b)
 0 b 倍
e2   
1
O
a倍
1
e1   
0 
x
p  ae1  be2
平面座標は、２本の基本ベクトル
の係数の組とみなせる。
4
ベクトルと点の表現
y
p
 x21 
x2   
 x22 
b' 倍
O
a' 倍
 x11 
x1   
 x12 
p  a ' x1  b ' x2
x
R2の点は、
２つのベクトルの係数として
表現できる。（別に、基本ベク
トルでなくてもよい。）
5
平面を表現できない２つのベクトル
しかし、２本の 21 ベクトルで平面を表現できないときがある。
この２本のベクトルを何倍して、
加えてもこの点に到達できない。
y
p
1
x '1   
 2
O
2
x '2   
4
x
この２本のベクトルでは
直線（１次元）上の点
しか表現できない。
6
空間上のベクトル
7
基本ベクトルと空間座標
y
0
e2  1
0
p  (a1, a2 , a3 )
a2 倍
a3
0
e3  0
1
O
a1 倍
x
1 
e1  0
0
z
p  a1e1  a2e2  a3e3  a1i  a2 j  a3k
空間座標は、３本の基本ベクトル
の係数の組とみなせる。
8
空間ベクトルと空間の点の表現
p
y
k3
 x31 
x3   x32 
 x33 
z
 x21 
x2   x22 
 x23 
k2
q
 x11 
x1   x12 
 x13 
p  k1 x1  k2 x2  k3 x3
k1
x
R3
空間 R3 の点は、
３つのベクトルの係数として
表現できる。
9
空間を表現できない３つのベクトル
しかし、３本の 31 ベクトルで空間を表現できないものもある。
z
この３本のベクトルを何
倍して、加えてもこの点
に到達できない。
1 
x2 '  0
1
y
1 
x3 '  1
2
0
x1 '  1
1
x
R3
この３本のベクトルでは
平面（２次元）上の点
しか表現できない。
k本のベクトルが持つ表現能力を
見分ける方法を学ぶ。
10
n次元列ベクトル
定義（ｎ次元列ベクトル）
n 個の R 成分 x1, x2 , , xn を縦に並べた
n1 行列をn項（実数）列ベクトルまたはn次元ベクトルという。
すなわち、
 x1 
x 
x   2
 
 
 xn 
はn次元ベクトル。
11
数ベクトル空間の定義
定義（ｎ次元数ベクトル空間）
n 次元ベクトル全体から成る集合をn次元数ベクトル空間
という。記号では、 Rn と書く。すなわち、
R  x | xはn次元ベク ト ル
n
記号からもわかるが、n次元数ベクトル空間は、
R の n 個の直積とみなすこともできる。
R  R R  R
n
n
12
低次元の実数ベクトル空間の例
y
2
R
x
O
平面：
２次元（実）ベクトル空間
x3
x2
3
R
空間：
３次元（実）ベクトル空間
O
x1
13
高次元の数ベクトル空間の例
4
４次元（実）ベクトル空間
5
５次元ベクトル空間
R
R
これらの空間は図示できないので、
記号で調べるしかない。
（しかし、例えば、５教科の点数は、５次元ベクトル空間
の１点をみなせる。他にも、一般に、ｎ個のパラメータで
表されるデータはｎ次元空間の１点とみなせる。）
14
線形空間（ベクトル空間）
15
ベクトル空間
定義（ベクトル空間）
Vが
集合
「和の公理」および
「スカラー倍の公理」
を満たすと、
集合V を線形空間またはベクトル空間という。
数学では、空間は集合の別名で用いられる。
特に、ある特定の性質を満たす集合として、
いろいろな空間が考えだされている。
16
ベクトル空間における和の公理
定義（和の公理）
集合 V の任意の２つの元 a, b Î V に対して、
和
a+b
が定義され、次の性質を満たす。
（１） a + b = b + a
（交換法則）
（２） (a + b ) + c = a + (b + c )
（結合法則）
（３）すべての a Î V について、
a+0 =0 +a = a
を満たす元 0 が存在する。
（４）各 a Î V について、
a+x= x+a =0
を満たす x が存在する。
この x
を - a と表記する。
（零元の存在）
（逆元の存在）
17
ベクトル空間におけるスカラー倍の公理
定義（スカラー倍の公理）
集合 V の任意の元 a Î V
に対して、スカラー倍
と、任意の実数 k Î R
ka
が定義され、次の性質を満たす。
（５）
（６）
k(a + b) = ka + kb
（スカラーの分配法則）
(k + l)a = ka + la
（ベクトルの分配法則）
（７）
(kl)a = k(la )
（スカラーの交換法則）
（８）
1a = a
（単位スカラー倍）
18
ベクトル空間例
（１）平面ベクトル全体
R 2 = {(x, y) | x, y Î R }
（２）空間ベクトル全体
R 3 = {(x, y, z ) | x, y, z Î R }
（３）２次の正方行列全体
ìï
ü
é
ù
a
b
ïï
ï
ú, a, b, c, d Î R ý
M 2 = í A | A = êê
ú
ïï
ïï
c
d
ê
ú
ë
û
ïþ
îï
（４）実数係数の
n 次多項式全体
F = {f | f (x ) = an x n + an - 1x n - 1 + L + a0x 0, ai Î R }
19
多項式とベクトル空間
簡単のために、２次式とします。
F2 = {f | f (x ) = ax 2 + bx + c, a, b, c Î R }
和
f1(x ) = a1x 2 + b1x + c1 Î F2
f2(x ) = a2x 2 + b2x + c2 Î F2
f1(x ) + f2(x ) = (a1 + a2 )x 2 + (b1 + b2 )x + (c1 + c2 ) Î F2
スカラー倍
kÎ R
f (x ) = ax 2 + bx + c Î F2
f (x ) = (ka )x 2 + (kb)x + (kc) Î F2
20
１次独立と１次従属
21
1次結合
定義（１次結合）
r 個の n 次元ベクトル x1, x2 , , xr  Rn と
r 個のスカラー k1, k2 , , kr  R に対して、
k1 x1  k2 x2 

 kr xr

をベクトルの集合 x1 , x2 , , xr の一次結合という。
また、 ki を xi の係数という。
座標の一種の拡張だと思えばよい。
22
例１（基本ベクトルの一次結合）
y
p  (a, b)
 0
e2    b 倍
1
O
a倍
1
e1   
0 
x
p  ae1  be2
平面の点 p は、 a と b を係数とする
e1 と e2 の一次結合で表現できる。
23
例２（一般のベクトルの一次結合）
y
p
 x21 
x2   
 x22 
O
b' 倍
a' 倍
 x11 
x1   
 x12 
p  a ' x1  b ' x2
x
平面の点 p は、 a ' と b ' を係数とする
x1 と x2 の一次結合で表現できる。
24
行列積による一次結合の表現
一次結合は、行列積を用いても表現可能。
k1 x1  k2 x2 
 kr xr   x1 x2
すなわち、一次結合は、
X   x1 x2
Xk と書ける。
 x11 x21
x
xk    12


 x1n
xk1 

,


xkn 
 k1 
k 
2

xr 
 
 
 kr 
 k1 
k 
2

k
  として、
 
 kr 
Xk  Rn に注意しよう。
25
単位ベクトルによるｎ次元ベクトルの表現
単位ベクトルの一次結合によって、任意のｎ次元ベクトル
を表現できる。すなわち、
 x1 
1
0
x 
0
1
2

x
 x1    x2   
 
 
 
 
 
 
 xn 
0
0 
 x1e1  x2e2   xnen
0
 
 xn  
 0
 
1
単位ベクトルの一次結合は、
単なる座標とみなすことができる。
すなわち、各係数が座標値になる。
26
1次関係式
定義（一次関係式）
r 個の n 次元ベクトル x1, x2 , , xr  Rn
r 個のスカラー実数を係数とした次式
k1 x1  k2 x2 
をベクトル集合
こで、 k , k ,
1
 kr xr  0
 x1, x2 ,
2
に対して、
, kr  R
, xr の一次関係式という。こ
である。
係数がすべて0のとき、すなわち
k1  k2 
 kr  0
のときには、明らかに１次関係式を満たす。
このときの１次関係式を自明な関係式という。
27
1次独立と１次従属（重要）
定義（１次独立と１次従属）
r 個の n 次元ベクトル x1, x2 , , xr  Rn
に対して、
（１）自明な１次関係式しか存在しないとき、それらのベクト
ル集合 {x 1, x 2, L , x r }は、
１次独立
という。
（２）自明でない１次関係式が存在するとき、それらのベクト
ル集合 {x 1, x 2, L , x r }は、
１次従属
という。
28
１次独立の判定法１（定義に基づいた方法）
（１）１次独立かどうかを判定したい
x1, x2 , , xr  R
n
線形関係式
k1 x1  k2 x2 
r
個のベクトル
に対して
 kr xr  0
を構成する。
（２）上の（１）の線形関係式を同次ｎ元連立方程式とみなして解
く。
（３）(I)連立方程式が自明な解しかなければ、
x1, x2 , , xr
は一次独立である。
(II）連立方程式が自明でない解を持てば、
は一次従属である。
x1, x2 , , xr




29
一次独立の例１
y
p  (a, b)
 0 b 倍
e2   
1
O
a倍
1
e1   
0 
x
k1e1  k2e2  0
1
0  k1  0
 k1    k2        
0
1 k2  0
 k1  k2  0
よって、e1, e2 は一次独立。
これ以外に可能性
が無い。
30
一次独立の例２
1
1
0
x1  1 , x2  0 , x3  1
0
1
1
一次独立かを調べるために、任意のスカラー k1 , k2 , k3を用いて、
k1 x1  k2 x2  k3 x3  0
とおく。このとき、
1
1
0  k1  k2  0
k1 1  k2 0  k3 1   k1  k3   0
0
1
1 k2  k3  0
なので、 k1  k2  k3  0 だけしか上の式を満たせない。
よって、 x1 , x2 , x3 は一次独立。
31
一次従属の例
平面を表現できない２個の2次元ベクトルは一次従属。
y
p
1 
x1   
 2
2
x2   
4
O
x
連立方程式
k1 x1  k2 x2  0
1 
2  k1  2k2  0
 k1    k2    
 

 2
4 2k1  4k2  0
 k1  2k2
よって、 x1, x2  は一次従属。
 k1  1 0
k   2  0
 2    
などが存在する。
32
一次従属の例２
1
1
2
x1  1 , x2  0 , x3  1
0
1
1
３次元ベクトル３本が一次従属に
なるとき、それらは、同じ平面上
かあるいは、同じ直線上にある。
一次独立かを調べるために、任意のスカラー k1 , k2 , k3を用いて、
k1 x1  k2 x2  k3 x3  0
とおく。このとき、
1
1
2 k1  k2  2k3  0
k1 1  k2 0  k3 1   k1  k3   0
0
1
1  k2  k3  0
 k1   1  0
例えば、 k    1   0 が存在するので一次従属。
 2    
 k3  1 0
33
練習
次のベクトルの組（ベクトルの集合）が、一次独立であるか、
一次従属であるかを求めよ。
（１）
é1ù
x 1 = êê ú
ú
2
êë ú
û
é2ù
x 2 = êê úú
êë1úû
（２）
é- 4ù
x 1 = êê úú
êë 6 úû
{x 1, x 2 }
{x 1, x 2 }
（３）
é1ù
êú
êú
x 1 = ê2ú
êú
ê3ú
êë úû
{x 1, x 2 }
é2 ù
x 2 = êê ú
-ê 3ú
ë ú
û
（４）
é- 1ù
ê ú
ê ú
x2 = ê0 ú
ê ú
ê1 ú
êë úû
é0ù
é1ù
é1 ù
êú
êú
ê ú
êú
êú
ê ú
x 1 = ê- 1ú x 2 = ê1ú x 3 = ê0ú
êú
êú
ê ú
ê1ú
ê1ú
ê0 ú
êë úû
êë úû
ëê ûú
{x 1, x 2, x 3 }
34
一次独立と一次従属の直感的意味
x1, x2 , , xr  R とする。
最後のベクトル xr が他の r 1個のベクトル
n
x1, x2 ,
, xr1
で表現できるとき（一次結合で表されるとき）、
その表現能力はベクトル r 本未満分の表現能力
しか無い。
一次従属
どのベクトルも他のベクトルで表現できないとき、
その表現能力を維持するにはどのベクトルが
欠けてもいけない。
一次独立
35
１次独立の判定法２（正則性に基づく方法）
（正則行列と１次独立）
A
（１）
を
n 次正方行列とする。とする。
A  a1 a2
an 
が正則行列であるための必要十分条件は、
a1, a2 ,
, an  が一次独立。
 b1 
b 
（２）
B   2  が正則行列であるための必要十分条件は、
 
 
bn 
t
t
b
,
b
,
,
 1 2 bn が一次独立。
t
36
証明
a1, a2 ,
, an  に対して、１次関係式を考える。
k1a 1 + k2a 2 + L + kna n = 0
Û éêa 1 a 2 L
ë
ék1 ù
ê ú
êk ú
ê 2ú
ù
a n úê ú=
ûêMú
ê ú
êkn ú
êë ú
û
é0ù
êú
ê0ú
êú
êú
êMú
êú
ê0ú
êë ú
û
Û Ak = 0
この同時ｎ元１次連立方程式が、自明な解以外を持つため
の必要十分条件は、係数行列が正則なことである。
37
すなわち、
A ¹ 0
ék1 ù é0ù
ê ú êú
êk ú ê0ú
ê 2ú ê ú
Û k = ê ú= ê ú= 0
êMú êMú
ê ú êú
êkn ú ê0ú
êë úû êë úû
Û a1, a2 , , an  は１次独立。
また、同様の議論によって、
A = 0 Û a1, a2 ,
, an  は１次従属。
QED
38
例１
1
1
0
x1  1 , x2  0 , x3  1
0
1
1
に対して、{x 1, x 2, x 3 } は、一次独立だった。よって、
A   x1 x2
1 1 0
x3   1 0 1 は正則行列。
0 1 1
実際、
A  0  (1 1)  2  0
39
例２
é1 2 - 1ù
ê
ú
ê
ú
0 ú は正則行列である。（各自確かめよ。）
ê3 1
ê
ú
ê2 - 2 1 ú
êë
úû
é1ù é 2 ù é- 1ù
êúê úê ú
よって、 êê3úú, êê 1 úú, êê 0 úú
êúê úê ú
ê2ú ê- 2ú ê 1 ú
êë úû êë úû êë úû
また、
é 1 ù é3ù é 2 ù
ê úêúê ú
ê úêúê ú
ê 2 ú, ê1ú, ê- 2ú
ê úêúê ú
ê- 1ú ê0ú ê 1 ú
êë úû êë úû êë úû
は一次独立。
も一次独立。
40
1次独立と１次従属の性質１
（ベクトルの部分集合に関する性質）
x1, x2 , , xr , xr 1, , xs  Rn
とする。
このとき、以下が成り立つ。
（１） x1 , x2 , , xr が一次従属ならば、
x1, x2 , , xs も一次従属。


（２）
 x1, x2 ,
 x1, x2 ,


, xs  が一次独立ならば、
, xr  も一次独立。
証明略
41
例１
é0ù
é1ù
êú
êú
êú
êú
x 2 = ê1ú x 3 = ê0ú
êú
êú
ê1ú
ê1ú
êë úû
êë úû
é1 ù
ê ú
ê ú
x 1 = ê- 1ú
ê ú
ê0 ú
êë úû
é1ù
êú
êú
x 4 = ê1ú
êú
ê0ú
êë úû
とする。
（１） まず、{x 1, x 2, x 3 } を考える。
A = éêx 1 x 2 x 3 ù
ú
ë
û とおくと、
1
0 1
A = - 1 1 0 = (1 - 1) - 0 = 0
0
1 1
\ {x 1, x 2, x 3 } は１次従属。
\ {x 1, x 2, x 3, x 4 } も１次従属。
42
（２） 次ぎに、{x 2, x 3, x 4 } を考える。
A = éêx 2 x 3 x 4 ù
ú
ë
û とおくと、
0 1 1
A = 1 0 1 = 1+ 1 = 2 ¹ 0
1 1 0
\ {x 2, x 3, x 4 } は１次独立。
\ {x 2, x 3 }, {x 3, x 4 }, {x 2, x 4 } も１次独立。
43
練習
次のベクトル集合に対して、１次独立でしかもベクトルの本数
が最大となるようなベクトルの部分集合をもとめよ。
é2 ù
ê ú
ê ú
x 1 = ê- 1ú
ê ú
ê0 ú
êë úû
é1ù
êú
êú
x 2 = ê0ú
êú
ê3ú
êë úû
é- 2ù
ê ú
ê ú
x3 = ê1 ú
ê ú
ê0 ú
êë úû
é0ù
êú
êú
x 3 = ê1ú
êú
ê1ú
ëê ûú
44
1次独立と１次従属の性質２
（ベクトル追加による１次独立から１次従属への変化）
x1, x2 , , xr  Rn に対して、
x1, x2 , , xr は一次独立とする。
このとき、 b  Rn に対して以下が成り立つ。

（１）

 x1, x2 ,
, xr , b が一次従属ならば、
係数を k1, k2 , , kr  R として、
b  k1 x1  k2 x2   kr xr
と表せる。
（２） b が（１）のように表すことができるとき、
その表し方は唯一である。
すなわち、係数の組が一意に定まる。
45
証明
（１）
 x1, x2 ,
, xr , b が一次従属なので、
k1 x1  k2 x2   kr xr  kb  0
 k1  0
を満たす     が存在する。
  
 kr   0 
   
 k   0
このとき、
k  0 を示す。
k  0 とすると、
k1 x1  k2 x2   kr xr  0
となるが、 x1 , x2 , , xr  は一次独立なので、
k1  k2   kr  0
これは、すべての係数が0になり矛盾を生じる。
46
よって、
k 0
したがって、
 k1 
 k2 
b     x1     x2 
 k
 k
 kr 
    xr
 k
（２） 次のように２通り表せるとする。
b  k1 x1  k2 x2   kr xr
 l1 x1  l2 x2   lr xr
 k1  l1  x1   k1  l1  x2 
  kr  lr  xr  0
 x1, x2 , , xr  は一次独立なので、
 k1  l1    k1  l1     kr  lr   0
k1  l1, k2  l2 , , kr  lr
このように、すべての係数は一意に定まる。
47
QED
例
1
1
2
x1  1 , x2  0 , x3  1
0
1
1
は１次従属であった。
b  x3 とし、１次関係式を考える。
k1 x1  k2 x2  kb  0
1 1 2  k1  0
1 0 1 k   0

 2  
0 1 1  k  0
より、拡大係数行列を行基本変形する。
48
1 1 2 0 1 1 2 0 1 1 2 0
1 0 1 0  0 1 1 0  0 1 1 0

 
 

0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0
1 0 1 0
 k1  c


 0 1 1 0
 k2   c
0 0 0 0
 k   c 
c を用いて次のように表せる。
cx1  cx2  cb  0
b  x3  x1  x2 と一意に表せる。
ここで、任意定数
また、
x2  x3  x1
x1  x3  x2
も同様に、一意に表せる。
49
行列との積と一次独立
行列の積と１次従属
n 次の正方行列 A と、
n 次元ベクトル x1, x2 , , xr  Rn
に対して、以
下が成り立つ。
（１） x1 , x2 , , xr が一次従属ならば、


Ax1, Ax2 , , Axr も一次従属。
 x1, x2 , , xr  が一次独立ならば、
, Axr も一次独立。
（２）Aが正則行列で、
Ax1, Ax2 ,
50
証明
 k1  0
     0
x
,
x
,
,
x


（１）
1
2
r が一次従属なので、  
  r
kr  0
が存在し、
k1 x1  k2 x2 
 kr xr  0n
左から
A を乗じて、
k1  Ax1   k2  Ax2  
よって、
Ax1, Ax2 ,
 kr  Axr   0n
, Axr  も一次従属。
51
（２）
k1  Ax1   k2  Ax2  
 kr  Axr   0n
と仮定する。
1 が存在する。これを左から乗じて
は正則行列なので、
A
A
A k1  Ax1   A k2  Ax2  
1
1
 A kr  Axr   0n
 k1  A Ax1   k2  A Ax2  
1
 k1 x1  k2 x2 
 x1, x2 ,
1
 kr  A Axr   0n
1
 kr xr  0n
, xr  が一次独立なので、係数がすべて
0でなければならない。よって、
Ax1, Ax2 , , Axr も一次独立。

1

QED
52
例１
1
1
2
x1  1 , x2  0 , x3  1
0
1
1
は１次従属であった。
 0 1 2
A  1 0 0 とする。
 1 2 1
このとき、以下のようになる。
 0 1 2 1  1 
x1 '  Ax1  1 0 0 1  1
 1 2 1 0  3 
 0 1 2 1  2 
x2 '  Ax2  1 0 0 0  1
 1 2 1 1  2 
 0 1 2   2  3 
x3 '  Ax3  1 0 0 1  2
 1 2 1 1  5 
x1 ', x2 ', x3 ' は１次従属
53
例２
1
1
0
x1  1 , x2  0 , x3  1
0
1
1
は１次独立であった。
 0 1 2
A  1 0 0 は正則行列である。
 1 2 1
このとき、以下のようになる。
 0 1 2 1  1 
x1 '  Ax1  1 0 0 1  1
 1 2 1 0  3 
 0 1 2 1  2 
x2 '  Ax2  1 0 0 0  1
 1 2 1 1  2 
 0 1 2 0 3
x3 '  Ax3  1 0 0 1  0
 1 2 1 1 3
x1 ', x2 ', x3 '
は１次独立
54
一次独立と階数
（一次独立と階数）
mn
A

R
行列
m´ n
が、列ベクトルあるいは行ベクト
ルを用いて、次のように表されているとする。
A  a1
 b1 
b 
an    2 
 
 
bm 
このとき、次の（１）、（２）、（３）は同じ数である。
（１） rank(A )
a1, a2 , , an より選べる１次独立なベクトルの最大個数
（2）
（3）
t
b1, tb2 , , tbn
証明略
より選べる１次独立なベクトルの最大個数
55
例１
é1ù
é2ù
ê ú は一次従属である。
,
y
=
２つのベクトル x = êê ú
ú
ê4ú
2
êë ú
êë ú
û
û
A = éêx y ù
=
ú
ë
û
é1 2ù
ê
ú
ê2 4ú
êë
ú
û
とおいて、階数を求める。
é1 2ù
ê
ú
ê2 4ú
êë
úû
é1 2ù
ê
ú
ê0 0ú
êë
úû
と基本変形できるので、 rank(A ) = 1
よって、一次独立なベクトルの最大数は１。
したがって、2個のベクトルは一次独立になれず、
一次従属。
56
例２
２つのベクトル x
A = éêx y ù
=
ú
ë
û
é1ù
é3ù
ê ú は一次独立である。
= êê ú
,
y
=
ú
ê4ú
2
êë ú
êë ú
û
û
é1 3ù
ê
ú
ê2 4ú
êë
ú
û
とおいて、階数を求める。
é1 3ù
ê
ú
ê2 4ú
êë
úû
é1 3 ù
ê
ú
ê0 - 2ú
êë
úû
é1 3ù
ê
ú
ê0 1ú
êë
úû
と基本変形できるので、 rank(A ) = 2
é1 0ù
ê
ú
ê0 1ú
êë
úû
よって、一次独立。
57
練習
次のベクトル集合に対して、階数をもとめることにより、１次独
立な最大のベクトル部分集合をもとめよ。
é1ù
êú
ê1ú
êú
x1 = ê ú
ê1ú
êú
êê0úú
ëû
é4 ù
ê ú
ê3 ú
ê ú
x2 = ê ú
ê2 ú
ê ú
êê- 1úú
ë û
é2 ù
ê ú
ê1 ú
ê ú
x3 = ê ú
ê0 ú
ê ú
êê- 1úú
ë û
58
基底と次元
59
部分空間と次元
平面（R 2 ）中の直線や、 ３次元空間（R 3 ）中の平面
のように、元の空間の一部を表す空間を考える。
このような空間を、元の空間の部分空間という。
y
p
y
y
1
x '1   
 2
O
2
x '2   
4
x
O
x
60
（線形）部分空間の定義
定義（部分空間）
V  R が、
（１） x , y Î V Þ x + y Î V
n
（２）
x Î V , k Î R Þ kx Î V
を満たすならば、
V
は
n
R
の部分空間という。
（１）の性質を「加法について閉じている。」といいます。
（２）の性質を「スカラー積について閉じている。」といいます。
n
R
および
{0} は Rn
の部分空間である。
これらを自明な部分空間という。
61
部分空間の性質
（部分空間の性質）
V R
n
（１‘）
が部分空間となるための必要十分条件は、
x, y Î V , a, b Î R Þ ax + by Î V
証明
（１）、（２）が成り立つとする。このとき、（２）より、
ax , by Î V
（１）より、
ax + by Î V
62
証明
（１）、（２）が成り立つとする。このとき、（２）より、
ax , by Î V
（１）より、
ax + by Î V
よって、（１‘）が成立する。
逆に、（１‘）が成り立つとする。
a = b = 1 とおけば、（１）が成り立ち、
a = c, b = 0 とおけば、（２）が成り立つ。
QED
63
例
R2
中の
R3
直線： y = 2x
中の
平面： x + y + z = 0
y
p
z
y
1
x '1   
 2
O
2
x '2   
4
x
O
x
64
正射影による部分空間
ìï
ü
é
ù
ïï
x
1
ïï
ê ú
ïï
ï
ê
ú
V = í x = êMú x n = 0 ý
ïï
ïï
êx ú
ïï
ïï
ê
nú
ë
û
ï
îï
þ
z
y
O
x
は
n
R
の部分空間。
最後の成分が常に０と言うことは、
Rn 中の対象が、
Rn1の“面”に射影される。
（１次元分つぶれる。）
65
解空間
定義（解空間）
m ´ n 行列
A = [aij ] Î R m´ n に対して、
V = {x Î R n | A x = 0 }
は Rn の部分空間である。
この部分空間を連立方程式 Ax
解空間と呼ぶ。
=0
の
66
例１
（１）
 x
2

R
,
 y
 
1 2  x  0
2 4  y   0 の解空間は、

   
直線： x  2 y  0
（２）
1 3  x  0
2 4  y   0 の解空間は、

   
 x  0
１点：     
 y  0
 x
2

R
,
 y
 
（３）  x   R2 ,
 y
 
0 0  x  0
0 0  y   0 の解空間は、

   
R2
67
生成される部分空間
定義：（生成される部分空間）
x1, x2 , , xr  Rn に対して、その一次結合全体て定義
される Rn の部分空間を x1 , x2 , , xr  で生成
される（張られる）部分空間という。 記号では、
L{x1, x2 , , xr }
あるいは、
L[ x1, x2 , , xr ]
と表す。
68
例
（１）
ìï é 1 ùü
ìï é 1 ù é 2 ùü
ï
ï
ï
ï
ï
ê ú, ê úïý
L í êê ú
=
L
ý
í
ê- 4úï
ïï ê- 2ú
ïúï
ïï êê- 2ú
ú ëê û
úïïþ
ï
ïî ë û
îï ë ûþ
直線 x  2 y  0 を表す。
（２）
ìï é1ù é3ùü
ìï é1ù é0ùü
ï
ïï
ï
ï
ï
ê úý = L í ê ú, ê úý
L í êê ú
,
ú ê4úï
ê0ú ê1úï
ïï ê2ú
ï
ïîï êë ú
û êë ú
ûïïþ
ûïþ
ï
îï ë û êë ú
R2 を表す。
（３）
e 1, e 2, L , e n Î R n とする。
L {e 1, e 2, L , e n }
Rn を表す。
69
基底
定義（基底）


集合 V のベクトルの組、 x1 , x2 , , xd
に対
して、次の（１）、（２）を満たすとき、それらのベクトル
の集合を V の基底という。
（１）
x1, x2 ,
, xd  が１次独立。
（２）
V の任意のベクトルが、
x1, x2 ,
, xd  の
１次結合で表現可能
70
標準基底
定義（標準基底）
Rn の n 個の単位ベクトルの組
e1, e2 ,
, en 
は Rn の基底である。
この基底を標準基底ともいう。
i, j, k として、３次元ユークリッド空間の
標準基底を表すことがある。。
71
例１（３次元ユークリッド空間の標準基底）
y
0
e2  1
0
p  (a1, a2 , a3 )
a2 倍
a3
0
e3  0
1
１次独立
a1 倍
p  a1e1  a2e2  a3e3  a1i  a2 j  a3k
z
{e 1, e 2, e 3 }
O
x
1 
e1  0
0
は
R
3
の基底である。
１次結合で R 3 の全ての
点（ベクトル）が表現できる。
72
例２（基底の例）
原点を通る直線は線形空間である。
この線形空間の基底を考える
直線： y = 2x の基底としては、
 1  
   などがある。
  2 
y
O
x
73
例３
原点を通る平面は線形空間である。
この線形空間の基底を考える
平面： x + y + z = 0
の基底としては、
 1   1  
    
 0  , 1  などがある。
1  0  
    
z
y
O
x
74
例４（３次元ユークリッド空間の標準でない基底）
p
y
k3
 x31 
x3   x32 
 x33 
z
 x21 
x2   x22 
 x23 
k2
q
 x11 
x1   x12 
 x13 
p  k1 x1  k2 x2  k3 x3
{x 1, x 2, x 3 } も R3
k1
x
R3
空間 R3 の点は、
３つのベクトルの係数として
表現できる。
の基底である。
75
次元の定義
いままでは、なんとなく用いてきた次元に関して、
厳密な定義を与える。
定義（次元）
V
集合 の基底を構成するベクトルの個数を
次元といい、
V
の
dimV
とかく。なお、
dim0  0
とする。
76
次元の性質１
（次元と一次独立・従属）
Rn の部分空間 V 中に、
「 d 個の1次独立なベクトルがあり、
d 1個以上のベクトルは必ず一次従属になる」
ような d がある。
このとき、
d  dimV
である。
１次独立と１次従属の
境界にあたるベクトル
の数
77
例１
é1 ù
ê ú
ê ú
x 1 = ê- 1ú
ê ú
ê0 ú
êë úû
é0ù
é1ù
êú
êú
êú
êú
x 2 = ê1ú x 3 = ê0ú
êú
êú
ê1ú
ê1ú
êë úû
êë úû
é1ù
êú
êú
x 4 = ê1ú
êú
ê0ú
êë úû
とし、
V = L {x 1, x 2, x 3, x 4 }とする。
{x 1, x 2, x 3, x 4 } は１次従属であり、
{x 2, x 3, x 4 } は１次独立であった。
よって、
dimV = dim L {x 1, x 2, x 3, x 4 }= 3
このことから、 {x 2, x 3, x 4 }は
底になれることがわかる。
R 3 の基
78
基底と次元
（基底と次元）
x1, x2 , , xr  R
n
A   x1 x2
に対して、
xr ,
V  L x1, x2 , , xr 
とする。このとき、次が成り立つ。
（１）dimV
 rank(A)
（２） x1 , x2 , , xr から適当な r  d  dimV 個のベクトル
の組を選ぶことにより、 V の基底を作れる。
証明略
79
例１
é1 ù
ê ú
ê ú
x 1 = ê- 1ú
ê ú
ê0 ú
êë úû
é0ù
é1ù
êú
êú
êú
êú
x 2 = ê1ú x 3 = ê0ú
êú
êú
ê1ú
ê1ú
êë úû
ëê ûú
é 1 0 1 1ù
ê
ú
ê
ú
A = ê- 1 1 0 1ú とする。
ê
ú
ê 0 1 1 0ú
êë
úû
é 1 0 1 1ù é1 0 1 1ù
ê
ú ê
ú
ê
ú ê
ú
ê- 1 1 0 1ú® ê0 1 1 2ú®
ê
ú ê
ú
ê 0 1 1 0ú ê0 1 1 0ú
êë
ú
ú
û êë
û
é1ù
êú
êú
x 4 = ê1ú
êú
ê0ú
êë úû
とし、
é1 0 1 1 ù
ê
ú
ê
ú
ê0 1 1 2 ú
ê
ú
ê0 0 0 - 2ú
êë
ú
û
と行基本変形できる。よって、
rankA = dim L {x 1, x 2, x 3, x 4 }= 3
また、階段行列の形から、{x 1, x 2, x 4 }
3
も R の基底になれることがわかる。
80