Transcript 先週の補足と極値問題
2006. 11. 21
Ibaraki Univ. Dept of Electrical & Electronic Eng.
Keiichi MIYAJIMA
先週の補足と極値問題
先週の補足
作用素について、もう少し説明を行う。
関数
f
について
d
df
と
の違いとは?
dx
dx
結論から述べると:
d
:作用素
dx
df :導関数
dx
作用素と導関数
作用素と導関数の違いと
は?
d :作用素は、この記号の後に来る関数をxで微分
dx せよ、という命令記号のようなもの。
df :導関数は、関数fをxで微分した後の関数
dx
f の記号の場合も全く同様
x
具体的な例として、次の先週の課題を例にとって説明する。
作用素と導関数
教科書p.141問6.2
2 f 2 f
2 0 を、極座標 (r , ) を用いて書き換えよ。
2
x
y
解答例:
2 f 2
2 f
2
x
x
関数
作用素
f
x x
偏導関数
f
f sin
cos
x r
r
作用素と導関数
f
f sin
cos
x r
r
作用素
F
x
偏導関数
関数 F
関数
(6.30)式を適用
sin
F cos F
F を元に戻す
r
r
f
f sin
cos
cos
r r
r
f
f sin sin
cos
r
r r
作用素と導関数
f
f sin
cos
cos
r r
r
作用素
偏導関数
関数
f
f sin
cos
cos
r r
r r
偏導関数
関数
の内部は関数の積になっているので、
積の微分公式を適用する。
作用素と導関数
f
f sin
cos
cos
r r
r r
f
f
f sin f sin
cos
cos
cos
r r
r r
r r
r r
2 f
2 f sin f sin
cos
2 cos 0 2
2
r
r r
r
作用素とはその直後の関数に作用する命令
記号のようなもの
以下、第2項以降の各項についても同様に計算する。
極値問題
関数の極大・極小
極大
極小
2変数関数における極大値・極小値を求める問題
を考える。
極大値・極小値
まず、1変数の場合と同様に考えるとする。
1変数関数の場合:
f (x)
a
0
x aで極値ならば f (a) 0
f (x)
x
f ( x) 0 となる方程式を解いて、極値の候補を探した。
極大値・極小値
2変数の場合も同様に考えるとする。
定理6.11:
領域 D で全微分可能な関数 f ( x, y ) が点 (a, b) D
で極値をとるならば
f x ( a , b) f y ( a, b ) 0
注)この定理の逆は成り立たない。1変数関数
でも f ( x) x 3の場合があるのと同様。
鞍点
2変数では極大点・極小点でもないもう一
種類の点が存在する。
もし、下のような山があったとして、手前側から向こう
側へ行きたいとき、どのルートを通るか?
峠
鞍点
鞍点
峠
この峠に相当する点は、x軸方向に対しては極小点
だが、y軸方向に対しては極大点。
鞍点
(この考え方は、後に、最適制御などで用いる。)
極大値・極小値
極大値・極小値の求め方
定理6.12:
関数 f ( x, y ) は点 (a, b) を含む領域で C 2級で、
f x ( a , b) f y ( a, b ) 0
を満たすとする。
f xx (a, b) f yy (a, b) f xy (a, b)
2
と置くとき、次が成り立つ。
1) f xx (a, b) 0 かつ 0 のとき、 f (a, b) は極大値
2) f xx (a, b) 0 かつ 0 のとき、 f (a, b) は極小値
3) 0 のとき、 f (a, b) は極大値でも極小値でもない
注
0 のとき、 これだけでは判定出来ない
本日の課題
2変数関数 f ( x, y) 3x 2 6 xy 2 y 2 の極値を調べよ。
定理6.12については、次回に詳しく説明する。