Transcript 変数分離法による三次元二群拡散方程式の解法(5) 炉心

変数分離法による
三次元二群拡散方程式の解法(7):
横断面漏洩法との比較
Solution of Three-dimensional Two-group Diffusion
Equation by Separation of Variables (7):
Comparison of Transverse Leakage Method with
Separation of Variables
株式会社 ナイス
江連 秀夫
目的
前回までの発表：
① 炉定数が均質な体系内では拡散方程式の解法に
変数分離法の適用が可能。三次元→一次元化。
② 二領域では一次元二群拡散方程式は解析解が求
められる。これを適用して三次元の解析解
③ 解の構成要素は明確に物理的解釈ができる。
今回の発表：ノードの境界での漏れを用いる横断
面漏洩法と変数分離法との解の類似性につい
て。
2
三次元二群拡散方程式の解法
 D      0
2
0
D

D   1
 0 D2 


 1  1 f


 
12

 2 f 


 
(1)
(2)
 2 
ノード側面dydzについて積分
Z軸
d 2 (x)
D
 (x)  L(x) (3)
2
dx
(x, y, z)dydz
(x)  
4 y  z
L(x)z
L(x)ｙ
 L1 (x) 

L(x)  
L
(
x
)
 2  (4)
X軸
 (x)
Y軸
一次元斉次方程式(3)の解：基本解+特解
1 (x)  a sin x  b cosx  c sinh x  d coshx  1p (x) (5)
2 (x)  ap sin x  bp cosx  cq sinh x  dq coshx  p2 (x) (6)
1 s
1 s
1 sh
1 sh
qD
L
(
x
)

D
L
(
x
)

pD
L
(
x
)

D
p
1 1
2 2
1 1
2 L 2 ( x)
1 (x) 
(7)
qp

qD
 ( x) 
p
2
1 s
1 1
1 s
2 2
 
1 sh
1 1
1 sh
2 2

L (x)  D L (x) p  pD L (x)  D L (x) q
(8)
qp
a,b,c,d:任意定数 p,q：結合係数
λ,μ：特性方程式(3)の解
Ls (x), Lsh (x) : 基本解(sin, cos),(sinh,cosh)に対する漏洩の特解
4
ノード境界の中性子流
境界での連続則,平均中性子束が既知の条件から

j1
J    
 
j 1
j1

( 2  H 2 )   j (1  H1 ) (9)
 j  PjTj j1  j  PjCj 1 G j  S j j1Fj  C j Pj1E j  H j (10 )
P,T,Δ,C,S:ノード境界での連続則から求められるマ
トリックス 例:
1  cos 2 cosh 2  1
1 1

P  
p q 
 D1  D1 

  
 D2 p D2q 




2


2



S  
1  cos 2 cosh 2  1 
q
p

2
2


G:特解のノード平均中性子束
F,E:特解のノード境界の中性子流、中性子束
ノードの中性子バランス
J x  J y  J z    0


（11）


(iK  iKm ) 1 Ki i  Hi  (iK  iKm ) 1 Kim iKm  HiKm


2 K
Kx , y,z m1, 1
 i m d i m 
 i g i 
  i i  0 （12）
1 
 1
 i g i 
2 
 2

K   H
i
1
i
Hi

i
i

1K
 1K

 i m d i m 
2K 
 2K
i 

H
 i  ' Ki  i
 K 1 

i 


i
(13)
: Correction value
6
三次元二群拡散方程式の階差式

1i  x, y,z

i2  x,y,z

m1,1
im
1



 i i2m 1im  d1im  i di2m i2m

i
i



k
i
1
1
1 1  i   1  ii
 1  
 
m1,1
i im
1



（14）

 i2m 1im  i d1im  di2m i2m




i


g
i
2
（15）
2 1  i  1  ii
1 2 
i
i
i
i
i
i 1
k 2  g1  g2 
2  1 k1 
i
i
i
  1  i i 1  i    p 1  i i 1  i  
  k 22  2 
 p 1  1  
（16）
変数分離から導かれる特性方程式
 X1 (x)Y1 ( y)Z1 (z) 

  X(x)Y(y)Z(z)  
 X2 (x)Y2 (y)Z2 (z) 
 J y  Jz 
Y(y)Z(z)dydz

x  
X  X
 X 
4 y z



 

 D      0
2
d2 X
 D 2  x X  0
dx
 J
D B  
 i

X1
i
1
2
i
1f
i
1

i
12
i
1y,z



i
2f
D B  
i
2
1f
 1 


 
12

2
i
2
J
i
2 y,z
Xi2
0


 
2 
2f
変数分離係数
Ξ,Γ:隣接ノードの中性
子束、中性子流を相互
関係づけるマトリック
ス
i m
i
1
 J1i y,z 
(



)
i
i m
K
K

  Ji  Ji 
i
im





.

K
K
 i  y z K
2 K
 y,z m1, 1
J
2
y
,
z




8
まとめ
横断面漏洩法を適用した場合、三次元二群拡
散方程式の解は変数分離法の解の構成要素を補
正した類似形式で表される。前者は非斉次、後
者は斉次拡散方程式、後者は、前者の特性方程
式に変数分離係数を加算した方程式である。今
後はこれまでの知見を基に、変数分離法の数学
的と炉物的との命題を整理し、それらの関連、
背景を明らかにしたい。
9
中性子の挙動
Node i+m
Node
i m
1K
d
(ｇ1)
Fast neutron
αi
Fission
Fission
Thermal neutron
d 2i Km
(ｇ2)
Thermal neutron
Fast neutron
Fast neutron
d1iK m
Fission
(ｇ1)
d 2i Km
Thermal neutron
：ノード法，近代ノー
ド法では考慮されてい
ない。
Node i+m
Fast neutron flux
：反射体中で零、無
し
Fast neutron
i
(ｇ2)
Thermalization
βi
Thermal neutron

i m
1K
(θ1)
 2i Km
(θ2)

i m
1K
(θ1)
 2i Km
(θ2)
Thermal neutron flux
Fast neutron
Thermalization
Thermal neutron
Fast neutron
Thermalization
Thermal neutron
：流入 ( ):流出
10
 1 1 

 22 1  22 1 
   (a  b )  2

 2  4 c2


2
2
2
2
2
4
   2  2 

 3 2  2  3 2  2 

G2  
 p q 
 22 1 
 22 1   
2
2
  2  2 (α2  β2 )  2 2  4 ｐ 2   2  4 ｑ 2 γ2 
 3 2  2   
   2  2 
3



2
2



  


2c
a
2c
 a2
 2  42  22  42
2
2
2
 2
E2  
 a2
 a2
2c 2 
2c 2



  2  4 p2    2   4
2 
2
 2
 2


 D2 1 1  1
2
 22


2

F2  

 p2
q2

D


22
2
2



2
 2


b 2



 2





 

q 2 

 








11
関数展開による特解の解法
5
gp (x)   c gpf p (x)
p0
f p (x) : Legendre polynomial
cgpは gp (x)を拡散方程式に代入して同類項が
零である条件より求められる。同様に拡散方
程式の解も求められている。
12
Decoupling Equation
d 2 (x)
1
1
1
1


P
D

P

(
x
)

P
D
L(x)
2
dx
 1 (x) 
  0
1
1



(x)  P(x)
(x)  
P D P  

 0 
 1 (x) 
1 1 
12
12

P  
p
,
q

 2  D 2 2
 2  D2 2
p q
1f
 2f
D1 B  1 

 0.

ω
 12
D 2 B2   2
2