Transcript 授業の要点(安定性)

ダイナミカルシステムの安定性
ダイナミカルシステムの安定性
キーワード ： 安定性，フルビッツの安定条件
連分数分解法, ラウスの安定条件
学習目標：システムの安定性の概念を理解する．また，
システムが安定か否かを伝達関数の係数から
簡単に判別するフルビッツの安定条件，連分数
分解法, フルビッツの安定条件などを習得する． 1
ダイナミカルシステムの安定性
安定性 （有界入力 有界出力安定（BIBO 安定））
有界な大きさの任意の入力（ | u (t ) |  ）に対して，その
出力がやはり有界（ | y (t ) |  ）であるとき，安定という．


0
| g (t ) | dt  
安定でない ＝ 不安定
u
y
G (s )
図 4.1 線形ダイナミカルシステム
2
安定性： （実際には）
ステップ入力する応答が，一定値に収束すること
［例］
Ga ( s ) 
1
s2  s 1
1
s 2  0.1s  1
0
5
3
1.5
2
y (t )
y (t )
1
0.5
0
Gb ( s ) 
1
0
1
0
5
t
10
15
（a） 安定なシステムの応答
t
10
15
（b） 不安定なシステムの応答
図 4.2 ステップ応答例
3
Im
安定性の必要十分条件
 i
（条件） すべての極の実部が負
n
n 1
M
N
i 1
i 1
D( s)  an s  an 1s
   a1s  a0
Re
i
0
(an  0)
 an (s   i ) (s 2  2 i s  ( i2  i2 ))
安定性の必要条件
（条件） すべての係数 an , an1 ,, a0 が正
4
［ 例 ］ （必要性）
D1 (s)  s 5  s 4  3s 3  2s 2  6s  2
（係数条件： OK）
D2 (s)  s 5  s 4  6s 3  3s 2  4s  1
（係数条件： OK）
1 1  3  2  6  2
1 1  6  3  4 1
共に安定か？
D1 (s)  0 の根
0.56  1.37 j ,  0.89  1.33 j ,  0.35
不安定
D2 (s)  0 の根
 0.26  2.21 j,  0.10  0.85 j ,  0.28
安定
係数条件は必要だが、それだけでは十分ではない．
5
フルビッツの安定条件
D( s )  a0 s n  a1s n 1    an 1s  an  0
H
(a0  0)
a1
a3
a5
a7
a0
a4
a6
0
a2
a1
 0
 0
a3
a5
 0
0
a0
a2
a4
 0

0






an4 an2

an
( n  n)
6
（左上の） k  k の主座行列式 H k (k  1 ~ n)
H1  a1
(| a1 |)
a1
a0
a3
a2
a1
H 3  a0
a3
a2
0
a1
H2 
H
a5
a4
a3
a1
a0
a3
a5
a7
a2
a4
a6
 0
 0
0
a1
a3
a5
 0
0
a0
a2
a4
 0

0






an4 an2

an

安定性の必要十分条件
（条件）
（i） H1 ~ H n がすべて正
（ii）すべての係数 a0 , a1,, an が正
7
［ 例題 4.1 ］
D( s )  s 3  a2 s 2  a1s  a0
a2 a0 0
H  1 a1 0
0 a2 a0
H1  a2  0
a2 a0
 a2 a1  a0  0
H2 
1 a1
H3 
a2 a0 0
2
a
0
1 1
 a2 a1a0  a0
0 a2 a0
 a0 (a2 a1  a0 )
 a0 H 2  0
a2  0, a1  0, a0  0,a2 a1  a0  0
安定
8
［ 例題 4.2 ］
5
4
3
2
D(s)  s  s  6s  3s  4s  1
H1  1
H
1 3 1
1 6 4
0 1 3
0 1 6
0 0 1
0
0
1
4
3
0
0
0
0
1
1 3
H2 
1 6
 1 6 1 3  3
1 3 1
H 3  1 6 4  18  1  9  4
0 1 3
6
H4  9
よって
H5  9
H1  1, H 2  3, H 3  6, H 4  9, H 5  9
すべて正
よって 安定
9
連分数分解法
D( s )  a0 s n  a1s n 1    an 1s  an  0
D0 ( s )  a0 s  a2 s
n
２つの多項式に分解
n 2
(a0  0)
 a4 s
n 4

D1 ( s )  a1s n 1  a3s n 3  a5s n 5  
計算：
D0 ( s )
 α1s 
D1 ( s )
α2 s 
1
1
α3s  
安定性の必要十分条件
（条件）
1
1
αn 1s 
αn s
（i） α1 ~ αn がすべて正
（ii）すべての係数 a0 , a1,, an が正
10
［ 例題 4.3 ］
D( s )  2 s 3  s 2  4 s  1
D0 ( s )  2 s  4 s
3
D1 ( s)  s 2  1
D0 ( s )
1
 2s 
1
1
D1 ( s )
s
2
2s
よって
1
α1  2, α2  ,
2
すべて正
α3  2
よって 安定
11
ラウスの安定条件
D( s )  a0 s n  a1s n 1    an 1s  an  0
ラウス表
s
s
s
s
n
n 1
a0
R21
a1
R12
R22
a2
a3
R14 
R23
R24 
R33
 
（存在しない項は 0）
 
R31R22  R21R32
  R41 
R
R31
n 3
R41
R42
R43



Rn1 1
Rn1 2
0
Rn 1
0
Rn1 1
0
2
s0
ラウス数列
R32
R21R12  R11R22
R31 
R21
R21R13  R11R23
R32 
R21
R13
n2

s
s
R11
(a0  0)
31
R31R23  R21R33
R42 
R31
12
安定性の必要十分条件
（条件） （i）ラウス数列がすべて正
（ii）すべての係数 a0 , a1,, an が正
＝
ラウス数列の正負の符号の反転回数
不安定根の数
13
［ 例題4.4 ］
D1 (s)  s 5  s 4  3s 3  2s 2  6s  2  0
5

1
3
6
s4  1
2
2
s
s
3

s2 
s
1
s
0


1 3  1 2
1
1
1 2  1 4
2 
1
 2  4  1 2
5
2
5  2  (2)  0
2
5
1 6  1 2
4
1
1 2  1 0
2
1
不安定
不安定極は 2 個
14
［例題4.5 ］ 未定係数 K （ゲイン）
D( s )  s 3  2 s 2  s  K
s3
1
1
s
2
2
K
s
1
s
0
よって
2  1  1 K 2  K

2
2
 2 K
(2  K )  K  2  0
K
2K
ある行に正の数
をかけてもよい
2  K  0 かつ K  0
0  K  2 ならば安定
15
［ 例題4.6 ］
D2 (s)  s 5  s 4  6s 3  3s 2  4s  1
s5
 1
6
4
s
4
 1
3
1
s
3

s
2

s1

s0

1 6  1 3
3
1
3  3  1 3
2
3
2  3  3 1
1.5 
2
1.5 1  2  0
1
1.5
1 4  1 1
3
1
3  1  1 0
1
3
よって
安定
16