Transcript time - 中央大学

非圧縮粘性流れに対する
カルマンフィルター有限要素法の適用
加藤 有祐
中央大学理工学部土木工学科川原研究室
はじめに
Intro1
流速・圧力…
多くの問題
求めたい場所を直接観測できるとは限らない
観測値は様々な誤差を含む
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18/03/2005
はじめに
Intro2
有限要素法
カルマンフィルター
noise
Filtering
数値解析法の一つ
さまざまな自然現象を解析できる
ノイズで乱された観測値から
未知パラメータを推定する
時間方向の推定
空間方向の推定
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18/03/2005
はじめに
Intro1
流速・圧力…
多くの問題
求めたい場所を直接観測できるとは限らない
観測値は様々な誤差を含む
などなど…..
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18/03/2005
カルマンフィルター + 有限要素法
カルマンフィルター有限要素法は時間方向だけでなく
空間方向にも推定できる
カルマンフィルター有限要素法は限られた点から
全体を推定できる
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18/03/2005
目的
ナビエ・ストークス方程式にカルマンフィルター
有限要素法を適用する
推定点での推定値と観測値を比較する
ナビエ・ストークス方程式にカルマンフィルター
有限要素法を適用できるか確認
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18/03/2005
State Equation
State equation
ナビエ・ストークス方程式
ui  u j ui , j  p,i  (ui , j  u j ,i ), j  f i
in　
u i ,i  0
in　
ui : 流速
p : 圧力
 : 動粘性係数
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カルマンフィルターの基礎方程式
システムモデル
xk 1  Fk xk  Gk vk
State Equation
of Kalman
Filter
観測モデル
yk  H k xk  wk
xk : 状態ベクトル
vk : システムノイズ
Fk : 状態遷移行列
Gk : 駆動行列
wk : 観測ノイズ
y k : 観測ベクトル
H k : 観測行列
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カルマンフィルター有限要素法
K k 　 k H k  Rk   H k k H k 

T 1
T
Pk 　 I  Kk H k k 
有限要素方程式
k 1 　 Fk Pk Fk   Gk Qk Gk 
T
T
x 　 F xˆ   f pˆ 
*
k
k
k 1
k 1
k
xˆk 　 x*k  K k yk  H k x*k 
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find qualified
ナビエ・ストークス方程式にカルマンフィルターを適用
するために・・・
①
時間方向の離散化は陽的オイラー法でなければ
ならない
②
有限要素方程式は一つのマトリックスでなければ
ならない
x  F x 
n 1
n
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陽的オイラー法
M



M



M
M
n 1


u

a b
 v n 1   M 1 d e



 g h
M   p n 1 
n 1
 u 
a~ b
  n 1 
1 
~
v

M
d
e



 g h
M   p n 1 
u n 1 
a~ b
 n 1 
1 
~
v

M
d
e



 p n 1 
 g h


Explicit E
uler Method
n

u
c 
 n

f  v 
i   p n 
2

M  1
12
1
n
c  u 
 n

f  v 
~  n 
i  p 
1

M  
3

1
2
1
1
1
2
1



1
n
c  u 
 n

f  v 
~  n 
i  p 
カルマンフィルターへ
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About navier
M


 f
M
g
n 1

 a
u
h
 n1  

i  v    c
  p n 1  


 u n 
 v n 
 
  
b
d
左辺が集中化できない
M
陽的オイラー法
一つのマトリックス
カルマンフィルター有限要素法に
ナビエ・ストークス方程式を適用するのが難しい
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ニューアプローチ
ui  u j ui , j  p,i  (ui , j  u j ,i ), j  0
New
Approach
陽的オイラー法
ui
n 1

 ui
n
n
n
n 1
 u j ui , j  p   ui , j  u j , i
t
n

,j
0
分離
p
ui
圧力
流速
Step 1
Step 2
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ニューアプローチ
Step 1
ui
n 1
圧力
New Approach –press-

 ui
n
n 1
n
n
 u j ui , j  p,i  ui , j  u j ,i
t
n

0
,j

ui ,i n 1  ui ,i n
 (u j ui , j n ),i  p,ii n 1  ui , j n  u j ,i n
t
ui ,i
p,ii
n 1

n 1
1
n
n
n
n

ui ,i  u j ui ,ij  ui , j  u j ,i
t

,ij
in　
 0 in　
0
in　

in　
,ij
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ニューアプローチ
空間方向の離散化
p,ii
n 1

1
n
n
n
n

ui ,i  u j ui ,ij  ui , j  u j ,i
t
Aii p n 1  

,ij
1
H i u i n  u j Kij u i n
t
in　
in　
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ニューアプローチ
流速
Step 2
ui
n 1
 ui  tu j ui , j  tp,i
n
n
n 1

New Approach –ve-
 t ui , j  u j ,i
n

,j
in　
空間方向の離散化

 t u j Kjui n  Hi p n1  Djjui n  Djiuj n

n

~
M  u i n 1  M  u i n  t u j Kj ui n  Hi p n 1  Djj ui n  Dji uj n
~
M  eM  (1  e) M
1
3





M A
1
3





1
3 
in　
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
境界条件問題
Aii p n 1  
1
H i u i n  u j Kij u i n
t
in　
Boundary problem
影響
P = 0
影響
P = 0
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境界条件問題
Boundary problem2
P = 0
P = 0
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状態遷移行列 F
u  F u   f p 
n 1
i
n 1
n
i
~
M   t{S   (2 Dxx  Dyy )}
M  1
 tDxy
 tDyx
~
M   t{S   ( Dxx  2 Dyy )}
状態遷移行列 F
S  Kx  Ky
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数値解析例
計算モデル
v=0
D
U=1
V=0
3.5D
27.5D
P=0
u=0
v=0
3.5D
v=0
有限要素分割
節点数 : 878
Numerical Example
要素数 : 1624
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観測点
Observation point
観測点
推定点
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ノイズ
noise
Velocity
Velocity
noise
Time
Time
Pressure
noise
Time
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圧力分布図
Pressrue
Distribution
カルマンフィルター有限要素法
有限要素法
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観測点
Observation point
観測点
推定点
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結果 <ｘ方向の流速>
Result of x-velocity
推定値
観測値
Time
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結果 <ｙ方向の流速>
Result of y-velocity
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結果 <圧力>
Predicted pressure
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初期予測誤差共分散
K k 　 k H k  Rk   H k k H k 
Pk 　 I   K k H k k 
T
T
k 1 　 Fk Pk Fk T  Gk Qk Gk T

Predicted error covariance
x 　 F xˆ   f pˆ 
*
k
k 1
k
k 1
k
xˆk 　 x*k  K k yk  H k x*k 
単位行列
1






1
・
・
予測誤差共分散(200)






1





int
200




 : 予測誤差共分散
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1
結果 <圧力>
Result 2
予測誤差共分散(200)
単位行列
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まとめ
ナビエ・ストークス方程式にカルマンフィルター
有限要素法を適用できた
観測誤差を取り除くことができた
４点の観測点から全体を推定することができた
カルマンフィルター有限要素法を使った推定値は
観測値と一致した
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Result 2 <X-Velocity>
Time
Result 2
 at the 2000 - time
Time
Unit Matrix
Time
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Result 2 <Y-Velocity>
Result 2
 at the 2000 - time
Time
Unit Matrix
Time
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Boundary Conditions
2
1
Boundary Conditions
4
3

2
ui  uˆi on　1
u2  0 on　2
ui  0　on　3
p  0　on　4
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Longmesh conter
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Result
Velocity
vector
Velocity Vector
KF-FEM
FEM
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Result
Pressure Conter
Pressure conter
KF-FEM
FEM
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Aii p n 1
M  u i
n 1
1

H i u i n  u j Kij u i n
t

Matrix of Pressure poisson equation
 t u K u  H p  D u  D u 
~
 M  u i n  t u j Kj u i n  Hi p n 1  Djj u i n  Dji u j n
j
j i
n
i

n1
jj i
n
ji j
n
M    (  )dV
Dji   ( , j  ,i )dV
Kij   ( ,i , j )dV
Djj   ( , j  , j )dV
Kj   (  , j )dV
Hi   ( ,i )dV
Aii   ( ,i ,i )dV
Hi   (   ,i )dV
V
V
V
V
V
V
V
V
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
Linear Interpolation
Linear element
P  1P1  2 P2  3 P3
1  L1 , 2  L2 , 3  L3
１
３
２
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NOISE
KF-FEM
KF-FEM
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Future Work
Future work
It is neccesary to consider about pressure boundary
condition on the outflow boundary.
The KF-FEM is applied to the actual phenomenon.
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