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高エネルギー加速器科学セミナー
電磁石の設計と計測
5/31/2006
加速器研究施設 増澤美佳
contents
• はじめに
– 加速器電磁石
– 加速器電磁石の例（KEKB)
– 電磁石は何から出来ているか
– 加速器電磁石の種類と役割
– 電磁石の誕生
• 電磁石の設計に必要なもの
– 電磁場を表す式
• 起磁力
• 磁極形状
• コイルの冷却
• 計算コード／計算
• 磁場測定
はじめに
加速器電磁石
1. 偏向電磁石（bending magnet、dipole magnet）
荷電粒子を曲げる
2. 四極電磁石（Quadrupole magnet）
荷電粒子の収束、発散
3. 六極電磁石（Sextupole magnet）
収束の色収差の補正
4. 補正電磁石（Steering magnet、correction magnet )
軌道補正
5. 1.と2.の機能を合わせもつcombined functionの電磁
石もある。
加速器電磁石の例:KEKB リング
•
•
•
•
•
電子(e)陽電子(e+)衝突型加速器
電子と陽電子のエネルギーが異な
る非対称エネルギー、２リング(電
子リング：HER/8GeV、陽電子リン
グ：LER/3.5GeV）型の加速器
重心系のエネルギーは10.58GeV
周長約3kmのトンネル（地下11m）
に２リングが左右に並んで設置
２つのリングは２カ所で交差。その
うち一カ所で衝突実験を行う。もう
一方はリングが上下にすれ違う。
加速器電磁石の例:KEKB リング
ビームパイプが２本見える。
陽電子リング
電子リング
電磁石の数は約
偏向：110台×２
四極：450台×２
六極：100台×２
補正：各四極にV/H
加速器電磁石の種類と役割
電磁石は加速器の重要な要素のひとつである
電磁石はどんなものから出来ているのか？
電磁石システムとしては電磁石本体の他に
1. 電源（コイルに電流を流す）
2. 冷却水システム（コイルを冷却する）
がある。
電磁石の誕生
磁石は紀元前に発見されていた。天然磁石を鉄にこすり
つけて人工磁石を作る方法も古くから知られていた。
しかしコイルに電流を流して磁力を作るという試みは
１９世紀に初めて行われた。
電気の磁気作用の発見
1820年エルスタッド（Oersted）の実験
導線に電流を流すと近くの磁針が動く。
N
やがて鉄にコイルを巻いて電流を流すと
鉄が磁化することがわかった。
問題：左のN/Sは正しいか？
I
S
コイルを２つ置いて
磁力線を戻す『リターン
ヨーク』をつけると
二極電磁石の出来上がり。
コイル巻数、電流値、
磁極間隙（gap）、鉄心の磁気的性質、
で発生する磁場の強さが決まる。
gap
S
N
電磁石設計に必要なもの
タイプ、強さ、磁極間隔（磁極径）等
必要な起磁力を計算する。
コイルに流す必要電流（アンペア×ターン数）
最適な１ターン当たりの電流値と電流密度を決める。
ターン数、コイル面積等が決まるので鉄心の形状を決める。
磁場計算コードを用いて磁極形状詳細を決める。
製作
磁場測定、磁石の評価
起磁力＆磁極形状
磁極形状
必要電流（起磁力）
Maxwellの方程式から磁場を表す式を導
く必要がある。
電磁場を表す式
すべての電磁気現象はMaxwell方程式によって説明できる。
第一の式（電場の源は電荷）
第二の式（磁場には源がない）
第三の式（電磁誘導：磁場の時間変化が電場を生む）
第四の式（電流、電場の時間変化が磁場を生む）
divD  
divB  0
B
rotE    0
t
D
rotH  J 
j
t
ここでは静磁場問題を扱うので必要な式は第二と第四の式

BとHの関係
B-H曲線
H と磁束密度 Bの関係は
B  H  01 mH  0rH
磁界
物質の透磁率 真空中の透磁率
物質の磁化率
物質の比透磁率
磁石に使用するコアの性質
電磁石では、コイルの発生した磁束を集めて少ない
電流で強い磁束密度を出すために、強磁性体の物質
をコアとして使用する。
通常、コアとして鉄または鉄の合金を用いる。
•強磁性体（磁場の方向に強く磁化される物質：Fe, Ni, Coなど）
–永久磁石（方位針）
–電磁石（コイル、永久磁石などを利用して磁石としての役割を果
たすもの
起磁力（アンペアターン）の計算をする

1
rotH  rotB  j

s (rotV ) dA  cV  ds
ストークスの定理
を使って上の第四式を変換すると、

s (rotH) dA  c H  ds  s j  dA  J
1

0
c  B  ds  J
1
r
必要起磁力の計算例：二極電磁石
1

0
c  B  ds  J
1
r
左図の様な積分路を考える。
簡単の為磁束密度は積分路に
沿って一定とする。

コイルに流す電流をI、コイルの
巻数をNとする（J=NI)。
1
1
Bg
1 1
Bl  NI
0 air
0 r
r  air 1
1
0
Bg  NI  B  (NI)
0
g
Bを出すのに必要な起磁力：アンペアターン（NI）が決まった
コイル１ターン当たりの電流値の決定
コイルの発熱を考える
銅の電気抵抗率を、１ターンあたりのコイルの平均長をL、電流
密度をiとする。
Nターンのコイルの抵抗
コイル導体面積は
抵抗は
発熱量は
NL
R
S
I
S
i
NLi
R
I
2
P  RI  i(NI)L
電流密度と起磁力に比例する。

通常のホロコンを使った場合の設計では
電流密度は数A/m2から10A/m2程度
P  RI  i(NI)L
2
電流密度が小さい程パワー的には楽
但しコイル面積（コイルサイズには）をやたらに大きく
することは出来ない。電磁石全体のサイズを考える。
電流値を小さくするとその分Nを増やす必要がでる
コイル全長が長くなり冷却水が流れにくくなる。
電源、配線、冷却水等を総合的に考慮し
NIのNとIをどのように振り分けるか決める必要がある。
磁極形状
取り扱う空間内に電流が存在しない場合には
1
rotH  0  rotB  0

B  gradV
rotB  rot(gradV)  0
と表せるとする（Vは磁気スカラー
ポテンシャル）。
Maxwellの第四式も満たしている
のでOK
divB  div(gradV)  2V  0
ラプラス方程式
空間内に電流が存在しない場合は磁気スカラーポテンシャルV
はラプラス方程式を満たす。
ラプラス方程式を円筒座標で表すと
1   V  1  2V  2V
r  2 2  2  0
r r  r  r 
Z
Vをr=0のまわりでTaylor展開して
V(r,,z) 

1
 n!An (z)rnein
n0
２次元磁場を過程するとn次のポテンシャルは

ビームは中心(r=0)近傍を通る。
Vn (r,) 
1
An rnein
n!
或は直交座標系では
Vn (x,y) 
1
An (x  iy)n

n!
通常加速器は水平に設置されるので利用するのはポテンシャル
の虚数部から得られるNormal成分。
Nの値によって二極磁場（n=1）、四極磁場（n=2）、六極磁場（n=3）、、、となる。
磁極形状
前頁のポテンシャルを与える磁極を作ればよい。
コア（鉄）が飽和していない場合、等スカラーポテンシャル面
(Vn(x,y)=const)が磁極形状を表す。
例１：二極電磁石（Dipole magnet)
V(x,y)  Im(A1(x  iy))  cy
例２：四極電磁石（Quadrupole magnet)
V(x,y)  Im(A2 (x  iy)2 )  cxy
鉄心（四極マグネット）の例
コイルの冷却
電流を流すことによりコイルに発生した
熱を取り除くのが目的
冷却の方法
•
•
•
•
自然空冷
強制空冷（ファン等で強制的に空冷する。）
間接水冷（ボビン等を水冷する。）
直接水冷（ホローコンダクターを使用する）
– 加速器電磁石ではよく用いられる
直接水冷式コイルの例
孔があいている。ホロコン
孔のサイズ、等をどうやって決めるか。
考慮すべきもの
電流密度、水の流速、コイル抵抗、
温度上昇、等々
直接水冷（ホロコン）式で作った
コイル（４×８＝３２ターン）の断面
冷却に必要な冷却水の流量 q (l/sec)
発熱量 W (kWatt)
冷却水の温度上昇分 Dt (℃)
W (kW )
3
3
2
q(l /sec) 
10 v AF 10 vFsdh
4.2Dt
ここで、n (m/sec) 流速 ：あまり速いと導体の浸食が起こるので
2-3m/s 位に押さえる。
AF (mm) 穴の面積
Fs
形状因子
dh (mm)
穴の直径
AF
FS  2
dh
4AF
dh (mm) 
C
FS 
C:円周

4
孔が円形の場合
コイルの中の水の流れ
管内の流れ方は流量が増加すると層流から乱流に遷移する。層流か乱流かは
レイノルズ数（Re）を計算するとわかる。Re>2300だと乱流
3 vd
4q
Re 10

VT dVT
VT(m2/s):T ℃における動粘度 …~1×10-6@20℃
v(m/s):流速

d(mm)冷却チャンネルの直径
q(liter/s):流量
（例）V=2m/s, d=6mmではRe>2300
多くの場合加速器電磁石冷却水システムは乱流領域である。
流体が管内を通過する時、流体の摩擦などによって圧力低下が起こる。
これを圧力損失という。ホロコンの中に冷却水を流す場合に圧力損失を考慮しな
いといけない。
コイル（一冷却水路）の圧力損失 DPw (kg/cm2)は乱流領域の場合、
D Pw (kg/cm2 )  0.18 LC v1.75
LC (m)
1
FS1.75 d1.25
h
コイルまたは冷却水路の長さ
 穴が円形である時、dhをm単位で表すと、圧力損失は
v1.75
D PW (kg/cm )  510 LC 1.25
dh
2
5

冷却に必要な冷却水の流量
q (l/sec)と圧力損失から
適切なdhを選べばよい。
冷却水による銅の導体の浸食、腐食
流れが急激な変化をしている所や、流れの乱れの部分が
局所的に浸食されて銅の部分が薄くなって、その周辺に
酸化銅等が付着することが起こる。
→ 水漏れ、コイルの異常な温度上昇 → コイルの破壊
冷却水管の表面皮膜（銅の酸化物）の機械的、化学的剥離
損傷速度は物理的作用と、水の性質（気泡、溶存酸素濃度
、温度、pH等）に依存する。
鉄心（コア）
コイルが発生した磁束（flux）を集めて磁束密度を上げる
四極電磁石１／８モデル（poisson計算例）
どのような鉄を選ぶか
• 一般に鉄と呼ばれているのは鉄と炭素の合金。
炭素含有量が~0.02%以下のもの（軟鉄）が電磁
石に使用される。
• 軟鉄にもいろいろあるので電磁石のタイプにより
適切なものを選ぶ。
– 直流電磁石
– 交流電磁石
– パルス電磁石、e.t.c.
• また発生磁場によっても鉄心の最適化が必要
電磁石のタイプ
• 直流電磁石
– コイルの電流を変えない。発生させる磁場を
変えない（敢えて言うなら秒の単位では、の
話）。例：KEKBリングマグネット
• 交流電磁石、パルス電磁石
– 磁場を時間変化（周期的あるいはパルス的）
させる。例：KEKBキッカーマグネット
要求される鉄の性質
•
•
•
•
機械加工性がよい
経年変化がない
応答性がよい
渦電流（Eddy current)損失が少ない（鉄損が少
ない）
– ケイ素を入れることにより電気抵抗が上がり渦電流損
失が小さくなる
• ヒステリシス損失が少ない（保持力が小さい）
• 飽和磁束密度が高い
• その他
設計
• 磁極形状
– マグネットタイプ（偏向／四極／六極、、、）で決まる。
• リターンヨークの太さ
– あまり細いとfluxが回りにくくなる
• 全体の大きさ
– 実際の加速器ではマグネットを置けるスペースに限り
があることが多い
– 無駄に大きくすると必要な鉄の量も増える
• コスト
• 設置、アライメント
• コイルスロットの大きさ
– 必要ターン数のコイルが無理無く入るか。
磁場計算の計算機コード
•
•
•
•
•
Poisson 二次元、静磁場
Opera2d 二次元、静磁場、AC、TR
Opera3d(TOSCA) 三次元、静磁場
ELEKTRA 三次元、AC、TR
ANSYS 二次元、三次元、静磁場、AC、TR
等
計算例（四極電磁石：Poisson )
通常計算モデルに入れるのは
四極電磁石の場合全体の１／８
（対称性）
（注）このモデルと写真は異なっています
磁場分布は主にここで決まる
理想的な磁極形状は双曲線
xy=r2/2
計算結果
g
どこまで、
どの程度
『平ら』にするか？
四極磁場の特徴
水平軸の座標xに於ける垂直方向の磁場成分By
By＝gx
gは磁場勾配
計算例
リターンヨークの太さにも気をつける。細すぎると
fluxがまわりにくくなり発生する磁場も弱くなる。
磁場のquality, 強さが加速器設計グルー
プからの要請を満たすことを計算で確認す
る。
磁場測定 （電磁石の評価）
• 磁場測定の目的
– 加速器に据え付ける前に磁場性能を確認す
る必要がある。
• 設計通りの磁場が出ているか。
– 強さ、多極成分
• 不具合はないか？（コイル短絡とか）
• 同じタイプの電磁石を何台も製作する場合
（大型加速器では何十台、或は１００台オー
ダー）の個々のバラツキ。
• 測定される電磁石のパラメタはデータベー
ス化され加速器の運転に反映される。
磁場測定 （電磁石の評価）
• 加速器用の電磁石磁場測定には高精度が（〜
10-4）要求される。
– 測定方法（原理）だけではなく測定環境（測定する部
屋の温度、冷却水温度、電源の安定度等）に注意す
る必要がある。
• 磁場測定方法
– ホール効果
– 核磁気共鳴
– サーチコイル（導体ループに誘導される電圧の測定）
ホール効果
外部磁場中で金属板に電流を
流した時、電流に直角な方向に
磁場に比例する電位差が現れる
（Hall effect）。
いわゆる市販の『ガウスメーター』
はホール素子をセンサーに組み込んで
あるもの。
半導体（InAs、Ge、GaAs）が
主にホール素子として使われる。
温度依存性（ホール電圧の温度変化）
プローブのアライメント
ホール素子を並べてマッピングすることも出来る
核磁気共鳴（Nuclear Magnetic Resonance）

• 陽子、重陽子の磁気モーメント
を利用する方法
• 磁気モーメントは外部磁場のまわりを磁場強度に比例す
Lamor周波数で歳差運動する。
• 磁気モーメントだけに依存するので正確。
E   z B0  gN mB0

gN B0
n0 
h
水素の原子核（g=5.58554)で、
磁場が1Tの時、
n042.57629MHz
NMR法はサンプルを覆う範囲で<10-3程度
の磁場の一様性がないと、吸収線が見えない。
二極電磁石の中心付近等でfield qualityのよい
ところでは使える。
四極電磁石ではダメ。
サーチコイル、ハーモニックコイル
誘導電圧を測定する方法
d
E 
dt
ファラデーの法則を利用
磁場中でコイルを動かして誘導電圧を測定する。

２次元の場合の磁気ポテンシャルVが満たす
ラプラス方程式は
2
2


1 V  V 1  V
  2  2 2  0
r r  r
r 
解は

V(r,)  an sin(n)  bn cos(n)r n
n1
磁場成分は


V
Hr  
r
1 V
H  
r 
サーチコイルの例
Mapping coil/ Twin coil
小さなボビンに巻かれた
コイルを磁場中で反転
させ誘導電圧を積分する
ことによりコイル巻き線
を通過する全磁束を求める
サーチコイルの例：ハーモニックコイル
ハーモニックコイル（radial coilの例）
コイルの回転中心を磁場中心に
合わせて回転させる.
コイルに誘導される電圧はコイルが
横切る磁束の変化率に比例
四極電磁石の中でコイルを一回転
させた時の電圧（時系列）
磁場成分の
周波数解析を
すれば
周波数成分と
位相がわかる
ハーモニックコイルによる磁場測定で
不具合マグネットが判明した例
製作段階で品質管理を行いチェックを入れる。
これは主にコイル抵抗などの電気的性能チェック、
磁極のサイズ等の機械工作精度が出ているかどうかの
測定である。
加速器に組み込む前に最終的な『磁場性能』の測定を
行う。→磁場測定
実際工場試験では合格したマグネットの不具合が磁場測定
で判明したこともある。
不良品の例 （層間短絡）
ここ
生産ラインにフィードバック
をかけて修正
KEKB建設
まとめ
• 磁石の基本構成（コイル、鉄心、、）
– 起磁力の計算、アンペアターン
• （電流値とターン数の最適化）
•
•
•
•
•
– 冷却水（流量、流速に注意）
– 鉄心（直流、交流によって材質を選ぶ）
設計
– 磁極形状（加速器概論Iでもう少し触れる予定）
– リターンヨーク
計算
– 強さ，磁場qualityの確認
磁場測定（製品評価）
– 強さ，磁場qualityの現物確認
設置、アライメント
ビーム運転