Transcript Complex scaling method + CDCC

（直接）核反応で探る
不安定核構造
高階 正彰 (RCNP)
原子核の構造を調べる
調べたい原子核に何らかの刺激を与え、その応答を調べる。
（実験的研究はすべてこの方法で行われる）
刺激を与えるもの(probe)は、加速された次のような粒子達
 原子核（核力 ＋ クーロン力）
 電子（クーロン力）


 etc. ...
今回
核反応研究に
おける３つの柱
核構造
・Neutron halo / skin
・Cluster / Molecular
with
・SM/HF, AMD,
・Few-body models
・etc.
反応機構
・Elastic / Inelastic Scatt.
・Coul./Nucl. breakup
with
・Glauber / Eikonal
・CDCC, ABC,AD
・MCC etc.
密接に関連
（全てが必要）
核間相互作用
・Phenom. Optical Pot.
・Folding models
・Effective interactons
・Medium effects
・etc.
核構造を知り
たい
核構造
?
核構造を
仮定して
核反応分析、
データと比較
今回
反応機構
・Elastic / Inelastic Scatt.
・Coul./Nucl. breakup
with
・Glauber / Eikonal
・CDCC, ABC,AD
・MCC etc.
核間相互作用
・Phenom. Optical Pot.
・Folding models
・Effective interactons
・Medium effects
・etc.
信頼性の高いものを選ぶ
核間相互作用
を知りたい
核構造
・Neutron halo / skin
・Cluster / Molecular
with
・SM/HF, AMD,
・Few-body models
・etc.
反応機構
・Elastic scatt.
(・Inelastic scatt.)
核間相互作用
・現象論的光学ポテンシャル
・核内有効核力の研究
→ 古本氏（次のトーク
核構造の実験的研究でよく使われるのは、
低、中間エネルギー領域の直接反応
低、中間エネルギー領域： E/A = 1～８００ MeV
くらい？
直接反応：比較的少数個の自由度が関与する核反応
 （弾性散乱）
 非弾性散乱 （核の励起）
今回紹介する内容
 二・三体への分解反応
 核子移行反応
など
cf. 複合核、核融合反応、破砕反応
非弾性散乱
励起
調べたい核
T
 原子核の内部励起を引き起こす反応
 内部エネルギー、スピンが変化する
 構成粒子は変化しない
非弾性散乱データからわかること
 角度分布 → 励起状態のスピン （厳密には
Ex (keV)
例：32Mg
いくつかの反応過程を仮定して
反応計算をする
L）
cf. Blair phase rule

2321-keV
QuickTimeý Dz
TIFF (LZW) êLí£ÉvÉçÉOÉâÉÄ
ǙDZÇÃÉsÉNÉ`ÉÉǾå©ÇÈǞǽDžÇÕïKóvÇ­Ç•
ÅB
QuickTimeý Dz
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ÅB
QuickTimeý Dz
TIFF (LZW) êLí£ÉvÉçÉOÉâÉÄ
ǙDZÇÃÉsÉNÉ`ÉÉǾå©ÇÈǞǽDžÇÕïKóvÇ­Ç•
ÅB
0gs  4 
と仮定すると
実験データをよく再現する
知りたい

S. Takeuchi, M.T., et al. PRC 79, 054319 (2009)
2321-keV の状態は 4+状態
非弾性散乱データからわかること
 断面積の絶対値 → 励起強度と関連している
殻模型
など、励起強度を何らかの方法で断面積へ
平均場模型
→ 核構造についての情報を得る。
クラスター模型
実験データと核構造計算の結果を比較する際、
いかに精度良く両者を繋げるかが重要なポイントとなる。
cf. 電子非弾性散乱
非弾性散乱
理論的記述法
 チャネル結合法、DWBA法
 DWIA 法
 Glauber 理論
 時間依存型の理論
 など
標準的に用いられる
チャネル結合方程式
TR U (R)  E   (R)  U (R)  (R)
N
diagonal pot.
(  1 ~ N )
 
coupling pot.

,  ：チャネル （状態に対応）

これを解いて断面積を計算する

入射
Diagonal, coupling potentials
巨視的
vs.


微視的
実験分析で頻繁に用いられる
放出
巨視的手法
（集団運動模型、振動励起モード、
２チャンネルの場合）
ポテンシャル
 diagonal Udiag. (R)




: Woods-Saxon 型、現象論的、complex
（弾性散乱を再現するもの、もしくは
global optical pot.）

dUdiag. (R) （cf. 集団運動模型
coupling
: Ucoupl. (R)   exp.

Bohr-Mottelson 型）
dR
exp. : 変形長

励起強度
…非弾性散乱データを再現するように決める
集団運動模型を基に導出
Bernstein’s prescription
( )
( )
4 bp M p  bn Mn 
theo. 
3R bp Z  bn N
bp(n) sensitivity parameter
(probe に依る） 
M(p), Mn( ) : nuclear matrix element
（遷移強度振幅）
B(E)/e2 
2
1
M(p)
2I'1
()
( )
構造を仮定してM p , Mn を導出
exp. ）と比較
→ 実験データ（
仮定した構造の検証

Double-Folding Model (DFM)
微視的手法
VNN
ri
ポテンシャル
rj
R
Double-folding model
Projectile
Target
U (i, j )  ( k ,) (R)   ik( P) (r1 )  (jT ) (r2 ) vNN (r1  R  r2 ) dr1dr2
核子・遷移密度
Theoretical wave
function
effective interaction
(DDM3Y, JLM, CEG, etc.)
ik (r )   i( ) (r n r )  k( )
n
陽子、中性子に分け、
さらに多重局展開する
励起強度
M   ik (r) r
()
核内波動関数
 ( )
 2
dr,
targetが陽子のとき
ik (r2 )  (r2 )
(single-folding model)

  p or n
断面積：直接結びつけることができ
微視的手法を使った例
M. T., Y. Kanada-En’yo and Y. Sakuragi, Phys. Rev. C71, 054602 (2005)
16C
AMD （反対称化分子動力学）波動関数を３つ用意
微視的チャネル結合法で断面積を計算
この中では best
実験データと直接比較
することで、波動関数の
検証が可！
（比較できる物理量の対象が
一つ増えた）
巨視的
vs.
微視的（個人的意見）
巨視的
計算が簡単
微視的
メリット
核構造理論（波動関数）
と実験データを直接繋げる
原子核の「形（空間的分布）」
の情報を取り込める
（実際には遷移密度）
不定なパラメータが多い
原子核の「形」の情報が
入らない
デメリット 有効相互作用の精度が心配
巨視的
微視的
H. Iwasaki et al.,
PLB481, 7 (2000)
M. T., Y. Kanada-En’yo、
PRC77, 014604 (2008)
12Be(0 →2+)
gs
非弾性散乱
?
consistent
(2) 2
M
( fm4 )
simple model
consistent
wf = AMD
2
proton
11
neutron
18

inconsistent
M(2) ( fm4 ) proton
neutron
(i) No mixing
15
74
(ii) Original
13
52
(iii)Modified
14
37
矛盾の原因は？
 軽い不安定核では、N  Z
遷移密度が陽子と中性子で大きく異なる。
AMD

巨視的手法では、遷移密度の
広がり（形）の違いを取り入れる
ことはできない
微視的手法の有効性
言いたいこと
 不安定核非弾性散乱の分析は微視的に行うべし
（核構造屋さんの協力が必要）
分解反応
調べたい核
T
分解
 軽い不安定核の弱束縛性 （典型的にはハロー核、 11Be, 6He, 11Li etc. ）
核反応において分解過程が重要となる
 破砕片のエネルギー・運動量分布、角度相関などから、核構造に関する
情報が得られると期待される。
 しかし、３体、４体の散乱状態を解くのは難しい。
現在の核反応理論研究における challenging な課題の一つ
分解反応を記述する理論
 摂動論的手法 （昔からよく用いられる）
• DWBA（歪曲波ボルン近似）
古い
 DWIA（歪曲波インパルス近似）
 断熱近似
 Glauber 理論
→ 広く使われている。半古典的
 非摂動・非断熱的手法
• Faddeev 法 → 正統派だが、素人向きではない
• 連続離散化チャネル結合法（CDCC） → 広く原子核反応へ適用できる
• 吸収境界条件法（ABC）
 時間依存型の理論
CDCC method
Review paper :
M. Kamimura et al., Prog. Theor. Phys. Suppl. 89, 1 (1986)
projectile
r
continuum
core+n
R
target
離散化された状態は通常の束縛状態と同様に扱うことができる（非弾性励起）
２体の非弾性散乱（前出）と同様のチャネル結合法で
分解過程のダイナミクスを扱うことができる。
離散化の方法
 Momentum-bin method → old type
 Pseudo-state method
 with complex scaling method
 etc.

離散化の方法
T. Matsumoto et al., PRC68, 064607 (2003)
T. Matsumoto et al., PRC70, 061601(R ) (2004)
 Pseudo-state method
hr : 入射核の内部ハミルトニアン
hr  (r )    (r )
入射核
r,k
R
有限レンジの基底関数で対角化
（連続状態の束縛状態近似）
target

連続状態の離散化
入射核が３体に分解する場合にも適用可
cf. momentum-bin 法(old-type)では不可能だった。
CDCC method
Coupled-channel equation
  (r )  y (Rˆ )
L
 L'
JM

(v  V1  V2 )
T
R V
(J )
 L, L
N
(R)  E   (R)    V(JL,) L' (R)  (J L') (R)
  L' L


V(JL,) L' (R)   (r )  yL (Rˆ )
E  E  
JM
(J L') (R)  0
 (r )
(J )
 L'
where


TR  v  hr  E  (r )  yL' (Rˆ )
JM


V1
V2

 (R)   L (R) yLm(Rˆ )

target
ˆ 

v  (r )  yL' (R)
 : excitation energy
JM
S matrix element
Boundary condition
“0” represents the elastic channel

()
 (R) R



u


0
L0 (K0 R) 


(J )
L


K 
1

v0 (J )
()
S 0 ( ) uL (K R) 
v

PT : reduced mass for P-T
2PT (E   ) : momentum of the
 : excitation energy of P
relative motion

通常の２体の境界条件に繋げることで、S行列を得る。

(J )
ただし、 S 0 ( ) は離散化されたS行列
 分解過程を量子力学的に取り入れることができる。
 Glauber 理論）
（cf.
Example
T. Matsumoto et al., PRC70, 061601(R ) (2004)
Breakup effect of 6He → 4He + n + n
on 6He+12C elastic scattering
QuickTimeý Dz
TIFF (LZW) êLí£ÉvÉçÉOÉâÉÄ
ǙDZÇÃÉsÉNÉ`ÉÉǾå©ÇÈǞǽDžÇÕïKóvÇ­Ç•
ÅB
３体＋target =
4体の分解反応
次の課題
 破砕片のエネルギー・運動量分布、
角度相関などを見たい
離散化された連続状態のS行列を平滑化せよ
CDCCで得られるS行列
QuickTim eý Dz
TIFF (LZW) êLí£ÉvÉçÉOÉâÉÄ
ǙDZÇÃÉsÉNÉ`ÉÉǾå©ÇÈǞǽDžÇÕïKóvÇ­Ç•
ÅB
QuickTim eý Dz
TIFF (LZW) êLí£ÉvÉçÉOÉâÉÄ
ǙDZÇÃÉsÉNÉ`ÉÉǾå©ÇÈǞǽDžÇÕïKóvÇ­Ç•
ÅB
実際には
QuickTim eý Dz
TIFF (LZW) êLí£ÉvÉçÉOÉâÉÄ
ǙDZÇÃÉsÉNÉ`ÉÉǾå©ÇÈǞǽDžÇÕïKóvÇ­Ç•
ÅB
どうする‥？
離散化されたS行列の平滑化
J. A. Tostevin et al., PRC63, 024617 (2001)
T. Matsumoto et al., PRC68, 064607 (2003)
T 行列を考える
T(JL )(k)   (k,r) uL (P,R) YJML (Rˆ ) U JM
(exact)
<
ˆ (r) 
ˆ (r)
1   

離散化された状態が近似的に
完全系を成す
ˆ  (r) 
ˆ  (r) uL (P ,R) YJML (Rˆ ) U JM
T(JL ) (k)  
 (k,r) 

 F (k) T(J,0)CDCC

S行列も同様
離散化されたS行列の平滑化
T. Matsumoto et al., PRC68, 064607 (2003)
S(JL)(k)  F (k) Sˆ(CDCC)
,0

QuickTim eý Dz
TIFF (LZW) êLí£ÉvÉçÉOÉâÉÄ
ǙDZÇÃÉsÉNÉ`ÉÉǾå©ÇÈǞǽDžÇÕïKóvÇ­Ç•
ÅB


QuickTim eý Dz
TIFF (LZW) êLí£ÉvÉçÉOÉâÉÄ
ǙDZÇÃÉsÉNÉ`ÉÉǾå©ÇÈǞǽDžÇÕïKóvÇ­Ç•
ÅB
離散化された S行列
ˆ (r) : smoothing function
F (k)   (k,r) 
exact
k
bound state approx.
 ２体分解の場合 ‥ 簡単
 ３体分解の場合
projectile
‥ 難しい
３体分解の場合の F (k,K)
を導出せよ
一つのやり方
T. Egami, T. Matsumoto, K. Ogata, M. Yahiro,
PTP121, 789 (2009) （九大）
（３体の散乱状態波動関数）
Quic kTimeý Dz
TIFF (LZW) êLí£ÉvÉç ÉOÉâÉÄ
ǙDZÇà ÉsÉNÉ`ÉÉǾå©ÇÈǞǽDžÇÕïKóvÇ­Ç•
ÅB
として、
結果
平滑化したS行列
→ 平滑化した断面積
線形方程式
を解く。ただし、
6He+12C
QuickTimeý Dz
TIFF (LZW) êLí£ÉvÉçÉOÉâÉÄ
ǙDZÇÃÉsÉNÉ`ÉÉǾå©ÇÈǞǽDžÇÕïKóvÇ­Ç•
ÅB
QuickTimeý Dz
TIFF (LZW) êLí£ÉvÉçÉOÉâÉÄ
ǙDZÇÃÉsÉNÉ`ÉÉǾå©ÇÈǞǽDžÇÕïKóvÇ­Ç•
ÅB
(k,K)
ポイント：
をあからさまに
扱う必要がない
ごく最近成功
他の解決法
M. T., T. Myo, Y. Kikuchi, Y. Hirabayashi, K. Kato
Applying complex scaling method to CDCC
r  rexp(i)
予想される利点 1
離散化を施していても、実エネルギー軸上へ射影
k  kexp(i)
することによって、連続量が得られる。
つまり、平滑化関数が不要。
例： 11Be→10Be+n E1 transition strength


離散化された状態
˜ gs (Oˆ M )  
˜  Oˆ M gs 

dB(E1)
1 

  Im

dE
 
E  E

M ,

QuickTimeý Dz
TIFF (LZW) êLí£ÉvÉçÉOÉâÉÄ
ǙDZÇÃÉsÉNÉ`ÉÉǾå©ÇÈǞǽDžÇÕïKóvÇ­Ç•
ÅB
（行列要素の実エネルギー軸上へ

ˆ  : E1 operator, z=M component
O
M
by T. Myo, http://www.rcnp.osaka-u.ac.jp/~myo/fig.html
他の解決法
M. T., T. Myo, Y. Kikuchi, Y. Hirabayashi, K. Kato
Applying complex scaling method to CDCC
r  rexp(i)
予想される利点 2
k  kexp(i)
共鳴状態が厳密に連続状態から分離される
ので、反応機構の分析に有利。


   exp(2i)
QuickTimeý Dz
TIFF (LZW) êLí£ÉvÉçÉOÉâÉÄ
ǙDZÇÃÉsÉNÉ`ÉÉǾå©ÇÈǞǽDžÇÕïKóvÇ­Ç•
ÅB

Fig. from R. Suzuki, Doctor Thesis

Complex scaling method + CDCC
まずは入射核が２体分解する場合を考える
 内部座標、運動量 (r, k) のみスケールする
Projectile
r, k
Operator U()
R, K
r  rexp(i)
k  kexp(i)



hr () (r )    (r )
1
U
 () U() 1 

hr ()
hr () U() hr U1()
 (r )  U() (r )
 (r )
を有限レンジの基底関数で対角化して

→ 連続状態の離散化

 R, K はスケーリングしない

を得る。
cf. pseudo-state method
Target
Complex scaling method + CDCC
Coupled-channel equation
  (r )  y (Rˆ )
L
JM
 L'

 L'

(Rˆ )

T
(J )
 L, L
R V
where

L
JM
JM
(J L') (R)  0
1 U1() U()
1 U1() U()
 ˜ (r )  y

TR  v  hr  E  (r )  yL' (Rˆ )


TR  U()vU1()  hr ()  E  (r )  yL' (Rˆ )



(R)  E


(J )
L
E  E   ← complex
  (J L') (R)  0
(R)  
N
 V
(J )
L, L'
(R)  (J L') (R)
 L' L

˜  (r )  yL (Rˆ )
V(JL,) L' (R)  
JM
JM


U()vU1()  (r )  yL' (Rˆ )
JM
Complex scaling method + CDCC
Boundary condition

(J )
L




K 
“0” represents the elastic channel

()
(R) R



u


0
L0 (K0 R) 


1
v0 (J )  ()  
 S 0 ( ) uL (K R) 
v

PT : Reduced mass of P-T
2PT (E   ) : momentum of


the relative motion  : Excitation energy of P



スケーリングされたS行列が得られる

S行列の実エネルギー軸上への射影
T. Myo et al., PRC63, 054313 (2001)
(J )* 
(J ) 


˜
S
(

)
S
(J )
0

 0 ( )
S ()   Im 


  
  

2
1
 : real energy


コーシーの積分公式より

 この処方は、B(E
テスト計算
d=p+n
d+
58Ni
@ Ed = 80 MeV
p
n
k
簡単のため
 クーロンポテンシャルを無視
p-n 相対運動は、s 波のみ取り入れる
p-58Ni, n-58Ni 間の虚数ポテンシャルを無視
( W( R ) = 0 )
p-n 間の相対波数 k
58Ni
の関数として S 行列を見る。
k
Result
p
n
58Ni
2 2
k
 
2


k
Result
p
n
58Ni
2 2
k
 
2


CS-CDCC
 Pseudo-state CDCC と比べて、平滑化関数が不要で
あるので、ひと手間省ける。
今後、入射核が３体に分解する反応に適用すれば、
その威力を大いに発揮することが期待される。
Pseudo-state CDCC (九大）
Complex-scaled CDCC
分解反応に関する種々の物理量
の導出が可能となりつつある。
今後の不安定核構造の研究に大きく貢献できそう
である。
（もちろん、核反応機構の研究も行いたい）