Transcript 第九回

ダイポールアンテナの入力インピーダンス
起電力法によりダイポール
アンテナの入力インピーダ
電子
ンスを求める。
I
＋
•柱状導体に電流が流れて
―
いるときの境界条件
導体に平行なEz成分は導
体表面で0である
•導体の半径が波長に比べて小さいとき、導体の中央に線状電流が
流れていると近似できる。
•導体中央を流れる電流によって生じる電界が導体表面で0となる
電流分布を求める。
•導体表面での境界条件
g g

0


h

z


, zh

2 2
Ez ( I )  
V
g
 z 


g
2
(1)
ｇは給電点のギャップ幅
Ｖは給電点の電圧
給電点の電圧は0なので，電流が作る電圧を打ち消すような電圧Vを
給電点にかけるとつじつまが合う。
外部電圧が作る電界とアンテナに流れる電流が作る電界の向きは逆．
•起電力法：アンテナを流れる電流によってギャップ作られる電界Ez’を
外部起電力によって生じる電界によってうち消すと考えることにより
入力インピーダンスを求める方法。
(1)式にI(z)を乗じ、区間[-h, h]について積分する。
I

h
h
Ez (I )I z dz  VI 0
(2)
給電点の入力インピーダンス
Zi 
V
1 h
 2  Ez I I z dz
I 0 I 0 h
V
I ( z)dz  V I (0)
g / 2 g

g/2
a
z
(3)
z0
z方向の線状電流による導体表面の電界Ezを円筒座標で表す。
電流源Jによる電磁界
1


E   j A  2   A
k


h
e jkR
A   I z0 
dz
R
h
4R 0
(4)
z  z0 2  a2
(5)
R
z:円筒表面の位置，z0:電流の位置
(5)式のベクトルポテンシャルAを，電流源による電磁界を求める(4)式
に代入する。
1 
1 
A

A  
A  z
円筒座標での発散   A 
 
 
z
(6)


Az

0
,

0


A

導体の半径が小さいことから


z
円筒座標での勾配

1 

  ρ

z
(8)

 
z
2




A
 0,
 0 から   z
  A  2z (9)
z


z
Ez  
h
h
j
1 2  e jkR
1  2 2 
I z0 dz0
4  k z  R
(7)
(10)
アンテナ上の電流分布 I ( z0 )  I0 sink h  z0 
(11)
j 1  2  e jkR
1  2 2 
Ez  
I 0 sink h  z0 dz0
h 4 
 k z  R
h j 
0 j 
1 2  e jkR
1 2  e jkR
1  2 2 
1  2 2 
 
I0 sink h  z0 dz0  
I0 sink h  z0 dz0
0 4 

h
4  k z  R
 k z  R
h
(12)
第2項の積分でz0=-z0とおくと
Ez  
h
0
h j
j
1  2  e jkR
1  2  e jkR'
1  2 2 
1  2 2 
I 0 sink h  z0 dz0  
I sink h  z0 dz0
0
4  k z  R
4  k z  R' 0
R'  ( z  z0 )  a
2
(13)
2
第1項の偏微分項を計算する。
zに関する偏微分は遅延ポテンシャルのみについて行われる。
R
z  z0 2  a2 なのでz→‐z0（z0→‐z）と変数を交換しても同じ



z
z0
の関係を考慮すると
1 h 2 e jkR
1 h   e jkR
I sink h  z0 dz0   2 
I sink h  z0 dz0 (14)
k 2 0 z 2 R 0
k 0 z z0 R 0
部分積分法により
1 h   e jkR
 2
I0 sink h  z0 dz0
0
k
z z0 R
h
 u' v  uv   uv'

1   e jkR
1 h  e jkR
 2 
I 0 sink h  z0   2 
I 0k cosk h  z0 dz0
0
k  z R
z R
0 k
1  e jkr0
1 h  e jkR
 2
I 0 sinkh  
I 0 cosk h  z0 dz0
0
k z r0
k z0 R
h
 jkr0
 jkR
 jkR
he

1  e
1 e
 2
I sinkh  
I cosk h  z0   
I0 sink h  z0 dz0
0
k z r0 0
k R 0
R
0
 jkr0
 jkr0
 jkr1
 he jkR
1  e
I0  e
e
 2
I0 sinkh  

cos(kh)  
I0 sink h  z0 dz0 (15)
0
k z r0
k  r1
r0
R

ただし r0  z 2  a2 r1  z  h  a
(13)式第2項の偏微分項を上と同様に計算する。
R'  z  z0 2  a2 なのでz→z0と変数を交換しても同じ。
2
2



の関係を考慮して積分変数を変更する
z z0
1 h 2 e jkR'
1 h   e jkR'
I0 sink h  z0 dz0  2 
I0 sink h  z0 dz0
2 0
2
0
k z R'
k z z0 R'
第1項と同様に
1 h   e jkR
I 0 sink h  z0 dz0
2 0
k
z z0 R'
'
h
 1 h  e jkR'
1   e jkR'
 2
I0 sink h  z0   
I0 cosk h  z0 dz0
0
k z R'
k z R'
(16)
h
 jkR'
he

1  e jkr0
1  e jkR'
 2
I0 sinkh  
I0 cosk h  z0   
I0 sink h  z0 dz0
0
k z r0
k  R'
R'
0
 h e jkR'
1  e jkr0
I0  e jkr2 e jkr0
 2
I0 sinkh  

cos(kh)  
I0 sink h  z0 dz0 (17)
0
k z r0
k  r2
r0
R'

ただし r2  z  h2  a2
(13)式の第1項は(15)式より
j h 
1 2  e jkR
1  2 2 

I0 sink h  z0 dz0

0
4  k z  R
j h e jkR
j h 1 2 e jkR

I0 sink h  z0 dz0 
I0 sink h  z0 dz0
2
2


0
0
4
R
4
k z R

j  1  e jkr0
1 e jkr1 1 e jkr0
(18)

I0  2
sinkh 

cos(kh)
4  k z r0
k r1
k r0

(13)式の第2項は(17)式から
j h 
1  2  e jkR'
1  2 2 

I 0 sink h  z0 dz0

0
4  k z  R'
j h e jkR'
j h 1 2 e jkR'

I0 sink h  z0 dz0 
I0 sink h  z0 dz0
2
2


0
0
4
R'
4
k z R'

j  1  e jkr0
1 e jkr2 1 e jkr0

I 0  2
sinkh 

cos(kh)
4  k z r0
k r2
k r0

(19)
(13)式の結果は
j 1  e jkr1 e jkr2
e jkr0 
Ez  
I

 2 cos(kh)
4 0 k  r1
r2
r0 
(20)
入力インピーダンスは
 jkr1
h e
jZ0 I0
1
e jkr2
e jkr0



 2 cos(kh)
2
2


h
4 I0 sin kh  r1
r2
r0
その解は
k

1 h
Z   2  Ez (I )I z dz
I 0 h
j30 h  e jkr1 e jkr2
e jkr0

 2

 2 cos(kh)


h
sin kh  r1
r2
r0
0

2f0
 f0
2

c
0

f0 
 0  Z0
f
0
 00

I0 sink h  z dz


 sink h  z dz

(21)


60
2
khS (kh)  cos(2kh)S (2kh)  sin(2kh)2C(kh)  C(2kh) (22)
4
cos
2
sin kh
1
j
1
2h j
S (kh)  Si (2kh)  Cin (2kh) C(kh)   Cin (2kh)  ln  Si (2kh)
2
2
2
a 2
Cin ( x)    ln( x)  Ci ( x)
Zi  j
γ＝0.57721はオイラー数である．Si, Ciは次式で定義された正弦積分
と余弦積分である.
2
Si ( x)  
x
0
x cost 1
sin t
dt Ci ( x)  
dt  ln x  
0
t
t
微小ダイポールの場合，
Si ( x)  x, Cin ( x)  0 と近似できる．
入力インピーダンスのリアクタンス
成分は
sin
cos
1.5
1
Si
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
Cin
-2
1
j
S (kh)  Si (2kh)  Cin (2kh)  kh
2
2
S (2kh)  2kh
1
2h j
2h
C(kh)   Cin (2kh)  ln  Si (2kh)  ln  jkh
2
a 2
a
-2.5
-3
0
1
2
3
4
C(2kh)  ln
5
6
2h
 j 2kh
a
7
8
9
10
60 
2h
 2h

2




4
cos
kh

kh

cos(
2
kh
)

(
2
kh
)

sin(
2
kh
)
2
ln

2
jkh

ln

2
jkh


sin 2 kh 
a
a


60 
2h 
2
2




2
cos
2
kh

4
cos
(kh)  2
j 2
kh
(
4
cos
kh

2
cos(
2
kh
))

sin(
2
kh
)
ln
sin kh 
a 
60 
2h 
60
2h 
120  2h 

j 2
2
kh

2
kh
ln

j
2
kh
1

ln


j


 ln  1 (23)
2


sin kh 
a
a
kh  a
kh 

Zi  j
微小ダイポールの放射抵抗は式5.6より
2
2
2 h 
2 kh


Rr  80    80

20
kh
4 2

2
k
2

 
微小ダイポールのインピーダンスは
Zi  20kh2  j
120  2h 
 ln 1
kh  a 
(25)
例 h=0.01λ, a=0.001λのときZi=0.08-j2487Ω
2
k
(24)
Scilabによるインピーダンス計算プログラム
h=0.25;
a=0.001;
k=2*%pi;
d=0.001;
s=0;
for z=-h:d:h
r0=sqrt(z^2+a^2);
r1=sqrt((z-h)^2+a^2);
r2=sqrt((z+h)^2+a^2); s=s+%i*30*sin(k*(h-abs(z)))
*(exp(-%i*k*r1)/r1+exp(-%i*k*r2)/r2-2*cos(k*h)
*exp(-%i*k*r0)/r0)*d;
end
zi=s/(sin(k*h))^2
--> zi =
73.128812 + 42.134259i