Transcript Document
線 形 代 数 (linear algebra) linear ・・・ line(直線)の形容詞形 直線的な、線形の、一次の algebra・・・代数 数の代わりに記号を用い て演算を行うこと ａ＋２ｂ＝ｃ ， ｙ＝ａｘ＋ｂ 数学 －－－＞ 抽象化、一般化 一次関数 ｙ＝ａｘ＋ｂ 要素 ｘ ｘ1 ｘ2 ・ ・ ｘn より複雑な関係ー＞解析学 より多くの要素ー＞線形代数 関係 ｆ（ｘ） 要素 ｙ ｙ1 ｙ2 線形 ・ ・ ｙm 線形代数の重要性 • 理系、文系を問わず、幅広い分野の基礎 自然科学、工学、経済学、等 • 計算機の出現ー＞情報化 大量のデータの高速な計算 • 実社会での幅広い応用 情報技術の基礎 行 列 複数の要素を、縦と横に表の形に 並べたもの。 行列の例： 買い物 値段 購入数 みかん りんご 佐藤 果物屋 スー パー バナナ ２ ３ ３ ２ みかん ３０ 25 田中 １ ２ りんご ８０ 70 鈴木 ３ ０ １ バナナ 120 100 行列の例： 物を作る 工場での生産 原料の使用量 製品の生産量 製品A 製品B 原料ｐ 2 2.5 原料ｑ 1.5 1 原料ｒ 3 4 今週 来週 製品A 10 12 製品B 16 20 行 列 ａ11 ａ12 Ａ＝ ａ21 ａ22 ・・・・・ ・・・・・ ａ1n ａ2n ・・・・・・・・・・・・ ａm1 ａm2 ・・・・・ ａmn ｍ行ｎ列の行列 ｍ×ｎ型の行列 ｍ×ｎ行列 ａij：行列Ａの (i , j) 成分 [ ａi1 ａi2 ・・・・・ ａin ] Ａの行 ａ1j ａ2j ・ ・ ａmj Ａの列 Ａ＝[ ａij ]， Ａ＝[ ａij ]ｍ×ｎ， Ａ＝[ ａij ] ｍ×ｎ 零行列：全ての成分が0であるような行列 O＝ 0 0 0 0 0 0 正方行列：行と列の数が等しい行列 ｎ次正方行列：ｎ×ｎ行列 対角成分：正方行列の成分のうち、対角線上 に並ぶ成分 ａ11 ａ12 Ａ＝ a21 ａ22 ・・・ ・・・ ・ ・ ａii ・ an1 ａn2 ａ1n ａ2n ・ ・ ・ ・・・ ａnn 対角行列 2 0 0 0 3 0 0 0 4 対角行列：正方行列のうち、対角成分以外の 成分は全て０である行列 単位行列：対角成分が全て１で、それ以外の 成分は全て０である行列 1 0 0 E＝ E3＝ 0 1 0 0 0 1 スカラー行列：対角成分が全て等しい対角行列 2 0 0 0 2 0 0 0 2 転置行列：行と列を入れ替えた行列 tＡ：行列Ａの転置行列 ａ11 ａ12 Ａ＝ ａ21 ａ22 ・・・・・ ・・・・・ ａ1n ａ2n ａ11 ａ21 tＡ＝ ａ12 ａ22 ・・・・・・・・・・・・ ａm1 ａm2 Ａ＝ 1 3 -2 4 5 2 ・・・・・ ・・・・・ ・・・・・ ａm1 ａm2 ・・・・・・・・・・・・ ａmn 1 4 tＡ＝ 3 5 -2 2 ａ1n ａ2n ・・・・・ ａmn ｎ次の行ベクトル：１×ｎ行列 m次の列ベクトル：m×1行列 1 5 3 [0 2 0 1] 4次の行ベクトル 3次の列ベクトル クロネッカーのデルタ：δij δij ＝｛ 1 0 ( i=j ) ( i≠j ) En＝[δij ] n×n 行列の演算 行列の和と差 行列の型が等しいときに限って定義される 1 -2 8 ＋ 2 5 -1 -2 5 1 ＝ 3 -1 2 -1 3 9 5 4 1 行列のスカラー倍 1 -2 8 3 ＝ 2 5 -1 3 -6 24 9 15 -3 2 1 2a a a ＝ 4 3 4a 3a 行 列 の 積 買い物の例： 値段 購入数 みかん りんご 佐藤 果物屋 スー パー バナナ ２ ３ ３ ２ みかん ３０ 25 田中 １ ２ りんご ８０ 70 鈴木 ３ ０ １ バナナ 120 100 果物屋 スーパー 佐藤 550 465 30×１＋８０×２＋１２０×３＝550 田中 540 460 鈴木 210 175 田中，スーパー 25×2＋7０×3＋１0０×2＝460 佐藤，果物屋 行 列 の 積 原料の使用量 生産の例： 製品の生産量 製品A 製品B 原料ｐ 原料ｑ 原料ｒ 2 2.5 1.5 1 3 4 今週 来週 原料ｐ 60 74 原料ｑ 31 38 原料ｒ 94 116 今週 来週 製品A 10 12 製品B 16 20 原料ｐの今週の使用量 2×10＋2.5×16 ＝60 原料ｒの来週の使用量 3×12＋4×20 ＝116 行列の積 行列Aと行列Bの積は Aの列の個数とBの行の個数が等しいとき に限って定義される B：ｎ×ｒ行列 A：ｍ×ｎ行列 Ａ＝[ ａij ]， Ｂ＝[ bj k] AB＝ [ ａij ] [ bj k] ＝ [ ci k] ｍ×ｎ ｃik ＝ ａi1 ｂ1k ｎ×ｒ ＋ ｍ×ｒ ａi2 ｂ2k ＋・・・・・＋ (1≦i ≦m, 1 ≦ k ≦ r) ａin ｂnk 行列の積 k列 ｉ行 ａ11 ａ12 ・・・・・・・・ ａ1n ・・・・・・・・・・・・・ ａi1 ａi2 ・・・・・・・・ ａin ・・・・・・・・・・・・・ ａm1 ａm2 ・・・・・・・ ａmn ｍ行ｎ列 k列 ｂ11・・ｂ1k ・・ ｂ1r ｃ11 ・・ ｃ12 ・ ｃ1r ・・・・・・・・・・・・・ ｂ21・・ｂ2k ・・ b2r ・・・・・・・・・・・・・ ・・・・・・・・・ = ・・・・・・・・・ ｂn1・・ｂnk ・・・ ｂnr ｃi1 ・・ ｃiｊ ・ ｃir ・・・・・・・・・・・・・ ｃm1 ・・ｃm2 ・ ｃmr ｍ行ｒ列 ｎ行ｒ列 n ｃik＝ ａi1 ｂ1k ＋ ａi2 ｂ2k ＋・・・・・＋ ａin ｂnk ＝ ∑ ａij j=1 ｂjk ｉ行 2 1 -3 1 -5 2 3 1 0 11 -10 -4 2 0 -1 ＝ -9 9 7 -1 4 1 1 3 2 1 -1 [ 1 3 2 ] ＝ -1 -3 -2 2 6 4 2 1 [ 1 3 2 ] -1 2 ＝2 行列の演算に関する性質 正方行列 Ａ，Ｂ ＡＢ＝ＢＡ －＞ 行列ＡとＢは可換である ＜和の性質＞ Ａ＋Ｂ＝Ｂ＋Ａ ［ａｉｊ＋ｂｉｊ］＝［ｂｉｊ＋ａｉｊ］ Ａ＋Ｏ ＝Ａ ［ａｉｊ＋０］＝［ａｉｊ］ （Ａ＋Ｂ）＋Ｃ＝Ａ＋（Ｂ＋Ｃ） （和の結合律） ［ａｉｊ＋ｂｉｊ］ ＋［ｃｉｊ］ ＝［ａｉｊ＋ｂｉｊ＋ｃｉｊ］ ［ａｉｊ］＋［ｂｉｊ＋ｃｉｊ］＝［ａｉｊ＋ｂｉｊ＋ｃｉｊ］ ＜積の性質＞ ＡＥ＝ＥＡ＝Ａ Ａ０＝０， ０Ａ＝０ （ＡＢ）Ｃ＝Ａ（ＢＣ） （積の結合律） ＜スカラー倍＞ 0Ａ＝０， １Ａ＝Ａ (ab)Ａ＝a(bＡ)， (aＡ)Ｂ＝a(ＡＢ) ＜分配律＞ ａ（Ａ＋Ｂ）＝ａＡ＋ａＢ， （ａ＋ｂ）Ａ＝ａＡ＋ｂＡ A(B+C)=AB+AC, (A+B)C=AC+BC Ａ1＋Ａ2＋・・・＋Ａn すべてのＡｉの型が等しければ定義され、和をとる順によらず決まる Ａ1Ａ2・・・Ａn 隣り合う行列の積が定義されるならば定義され、積をとる順 によらず決まる Ａのべき乗Ａn＝ＡＡ・・・Ａ n個 行列の和、積と転置 t(Ａ＋Ｂ)＝ tＡ＋ tＢ t(ＡＢ)＝ tＢ tＡ べき零行列 Ａm＝o 行列の分割 A11 A12 Ａ＝ A21 A22 ・・・・・ ・・・・・ A1t A2t ・・・・・・・・・・・・・・・ As1 As2 ・・・・・ 2 3 0 1 -2 0 ＝ A11 A12 A21 A22 5 3 -9 Ast 2 3 ＝ A11 0 ＝ A12 A21 ＝ [ 5 3 ] A22 ＝ [ -9 ] 1 -2 0 n1 n2 A11 A12 Ａ＝ A21 A22 nt ・・・・・ ・・・・・ n1 B11 B12 B＝ n2 B21 B22 A1t A2t ・・・・・・・・・・・・・・・ As1 As2 ・・・・・ C11 C12 ＡB＝ C21 C22 Cij ＝ Ai1 B1j Ast nt Bt1 ・・・・・ ・・・・・ ・・・・・ ＋ B1u B2u ・・・・・・・・・・・・・・・ Bt2 C1u C2u ・・・・・・・・・・・・・・・ Cs1 Cs2 ・・・・・ ・・・・・ Csu Ai2 B2j ＋・・・・・＋ (1≦i ≦s, 1 ≦ j≦ u) Ait Btj ・・・・・ Btu 数ベクトル a,b,・・・,u,v,x,y アルファベットの小文字の太字 列ベクトルへの分割 Ａ＝ １ 3 4 4 ２ 1 0 -1 １ 0 5 0 ＝[ a1 a2 a3 a4 ] １ 3 4 4 a1 ＝ ２ , a2 ＝ 1 , a3 ＝ 0 , a4 ＝ -1 １ 0 5 0 行列の積の数ベクトルを用いた表現 a1 Ａ＝ a2 ・ B＝[ b1 b2 ・・・ br ] am a1 B a1 b1 ・・・・・ a1 br ＡB＝ a2 b1 ・・・・・ a2 br ＝[Ａb1 ・・・Ａbr ] ＝ a2B ・・・・・・・・・・・・・・・ am b1 ・・・・ am br ・ am B 行列と連立１次方程式 ａ11ｘ1＋ａ12ｘ2＋・・・・・＋ａ1nｘn＝ｂ１ ａ21ｘ1＋ａ22ｘ2＋・・・・・＋ａ2nｘn＝ｂ2 ・・・・・・・・・・・・ ａm1ｘ1＋ａm2ｘ2＋・・・・・＋ａmnｘn＝ｂm Ａｘ＝ｂ 係数行列 ａ11 ａ12 ・・・・・ ａ1n Ａ＝ ａ21 ａ22 ・・・・・ ａ2n ・・・・・・・・・・・・ ａm1 ａm2 ・・・・・ ａmn ｘ1 ｂ１ ｘ＝ ｘ2 ｂ＝ ｂ2 ・ ・ ｘn ・ ・ ｂm 拡大係数行列 ａ11 ａ12 Ａ ｂ ＝ ａ21 ａ22 ・・・・・ ・・・・・ ａ1n ａ2n ｂ１ ｂ2 ・・・・・・・・・・・・ ａm1 ａm2 ・・・・・ ａmn 数ベクトルの１次結合 ｃ1ａ1＋ｃ2ａ2＋・・・＋ｃmａm 2 1 0 ＝2 ＋3 3 0 1 ｂm Ａｘ＝ｂ ｘ1 Ax＝［ａ1 ａ2・・・ａn］ ・ ・ n ＝ｘ1ａ1＋ｘ2ａ2＋・・・＋ｘｎａｎ ｘ ｘ1ａ1＋ｘ2ａ2＋・・・＋ｘｎａｎ ＝ｂ