Transcript TE波

2009年度 電磁波工学
21
平面波の反射と屈折
完全導体面による反射
［定義］
入射角･･･入射波の方向と境界面の法線方向がなす角：qｉ
入射面･･･入射波の方向と境界面の法線方向を含む平面 TM
• TE波（直交偏波）・・・電界が入射面に垂直なy成分のみを持つ平面波。
• TM波（平行偏波）・・・磁界が入射面に垂直なy成分のみを持つ平面波。
すなわち，電界はxz面（入射面）内にある。
Hy
x
E
TE
Ey
H
注＆復） 基準は入射面。偏波は電界の振動方向。
qi
v
y
完全導体表面(x=0)では式(1.43)［導体表面では電界
は法線方向成分のみ］が成立しなければならない。
［ TE波（直交偏波） ］
電界はy方向成分のみで表される。
1) 電磁界の比は界インピーダンスh0
（|Ey/Hz|＝±h0）
2) 電界方向(y方向)と波の伝搬方向(u方
向）の双方に垂直な方向はu及びy方
向ベクトルの外積方向（ｕ軸からy軸へ
右ねじを回して進む方向）
入射波のみ
では不可能
→反射波と
の重ね合わ
せで充足
z
z
0
 x
完全導体
u
iu
u
Ei  yˆ Ei exp jk0u  (1)
1ˆ
Ei
i
ˆ
H  i u  E  i u  yˆ exp jk0u   (2)
i
h0
h0
上付きの iは入射波を表す。 ˆi uは， uˆ 方向の単位ベクトル
 x'z'  u'  (3)
 x'i u  z'i u  u'i u  i uは， u方向単位ベクトル


 x' cosqi  z' cos  qi   u'
2

  x' cosqi  z' sin qi  u'  (3.3) ← 座標変換
k z : k z  k 0 sin qi
kx :
 k x   k 0 cosq i
qi
u
k0
2009年度 電磁波工学
22
E, H であれば接線
方向成分が連続
入射波が完全導体面上に表面電流を誘起→表面電流が二次電界を放射・・・反射波
k z 表面電流，放射電界を順に求める方法・・・反射体形状が複雑な場合には有効
: k z  k 0 sin qi
1)
※
2) 入射波を既知とし，反射波を未知数を含む形で仮定し，境界条件を適用して未知数を求める方法
q
i
y方向には構造の変化が無いので
k0
 k x :  k x   k 0 cosqi

y  0 と置き，教科書式(2.43)より次式を得る。
 2 2

 2  2  k02 Ey  0  (4)
 x z

x
２次元ヘルムホルツ方程式
E y x, z   X ( x)Z ( z)  (5)　と置き，変数分離法で解を求めると，
 
 
X i  exp jkxi x  exp jk0 cosqi x  (6a)
Z i  exp  jkzi z  exp jk0 sin qi z   (6b)
 Eiy x, z   Eiy exp jk0 cosqi xexp
jk0 sin qi z 
－ｘ方向
 2 Ey E  2 X  2 Ey
2Z

Z
,

X
Hyx 2
x 2
z 2
z 2
E
2 X y 2Z
Z 2  X qi 2  k02 XZ  0
x H z
v
1 2 X 1 2Z
z
2  2
 y 2  k x z k z  0
2
X x
Z z
0
2
 X
2Z
2

k
X

0
,
 k z2 Z 完全導体
0
x
2
x 2

z

x
u
X  A exp( jk x x)  B exp( jk x x)
u
Z  A' exp( jk z z)  Bi'uexp( jk z z)

＋ｚ方向
v  x  z
ここで，反射波の電界成分を以下のように仮定する。
E yr x, z   E yr exp jk0 cosqr xexp jk0 sin qr z   (7) ＋ｘ、＋ｚ方向
E y  Eiy  E yr  (8) ・・・ 入射波と反射波の重ね合わせが総合電磁界

 
Aexp jkx ・・・－x方向に進む波動
反射波は，x及びzの正方向へ伝搬するので理にかなっている。また，式(4)も満たす。
Aexp  jkx ・・・+x方向に進む波動
変数はE yrと qrである。
境界条件(1.43)より， nˆ  E(1)  0  (9)
と式(8)を用いて，電界の境界面（x=0面）での接線成分が０となると置く。
 Ei exp jk0 sin qi z   E r exp jk0 sin qr z   0 at x  0  (10)
E exp jk0 sin qi z  Er exp jk0 sin qr z  0 at x  0  (10) 23
2009年度 電磁波工学 i
式(10)がz=－∞とz=∞で成立するには，同式のz依存性がなくならねばならないので，exp( )
の項が等しくなるように選ぶ。（位相整合）
qi  qr  (11) ※）境界面上 ( x  0)では入射波と反射波の位相が常に等しい。
← 電界振幅は逆位相
E i  E r  0  (12)  E i  E r
（位相整合条件）
･･･ exp( )の項を等しくしたので式(10)からexp( )の項を消去出来る。
以上の条件より，反射 波は下記のように書け る。
Er  E i yˆ exp j k0 cosqi x  k0 sin qi z   (13)
Hr 
1
h0
i
ˆ r   E i v  yˆ exp j k0 cosqi x  k0 sin qi z   (14)
iv E
h0
従って，総合電磁界は，以下のようになる。
E  Ei  Er  yˆ 2 jEi sin k0 cosqi xexp jk0 sin qi z   (15)
H  Hi  Hr  
2E i
h0
xˆ j sin qi sink0 cosqi x  zˆ cosqi cosk0 cosqi xexp jk0 sin qi z 
 (16)
x一定でz変化のみ・・・位相定数k0sinqiの平面波 → 進行波
z一定でx変化のみ･･･極大点，ゼロ点の位置が時間に依存しない。 → 定在波
［ TM波（平行偏波） ］
TE波の場合と同様に解析できる。
［補足－２０，２１］参照
課 題
１．TM波の場合について，式(15)及び(16)に対応する総合電磁界を求めよ。
領域I : E i exp jk1 cosqi xexp jk1 sin qi z   E r exp jk1 cosq r xexp jk1 sin q r z   (17)
2009年度 電磁波工学
領域II : E t exp jk2 cosq t xexp jk2 sin q t z   (18)
２種類媒質の平面境界における反射と屈折
(+x,+z)
(-x,+z)
完全導体の場合と同様に，境界面(x=0)の領域I及びII側の電界の
接線成分は領域Iでは入射波と反射波，領域IIでは透過波が存在し，
その重ね合わせとして次式のようになる。
x
領域I：(1) e1, m1
H
Ey
uˆ
領域I : E exp jk1 sinqi z   E exp jk1 sinqr z  at x  0  (17)
領域II : Et exp jk2 sinqt z  at x  0  (18)
i
r
qi
qr
y
ˆ
w
qt
(-x,+z)
領域II：(2) e2, m2
EyまたはEz
E i exp jk1 sin qi z   E r exp jk1 sin qr z   E t exp jk2 sin qt z   (19)
境界条件より，
k1 sin qi  k1 sin qr  k2 sin qt  (20)
 k  n k
 k1   e1m1 , k2   e 2 m2  (21)   1 1 0
k2  n2k0
また，式 (20)より次式が成り立つ。 qi  qr , n1 sin qi  n2 sin qt  (23)
vˆ
z
上付き添え字のi, rおよびtは，それぞれ入射，反 射，透過波の成分
であることを示す。
境界条件より，式(17)と(18)が等しいとした次式が，zが（-∞，∞）で等しくなる
にはexp（ ）の中身が等しくならねばならない。（位相整合の条件）
24
［境界条件］
E, H接線成分
が境界面で連続

D, B法線成分
※屈折率: ni 
ki
em
 i i
k0
e 0 m0
 (22) を定義すると，
式(20)はスネルの法則に一致する。
2009年度 電磁波工学
25
x
領域I：(1) e1, m1
［ TE波（直交偏波） ］
入射（Ei, Hi)，反射（Er, Hr)及び透過（Et, Ht)波の電磁界は次式で表される。
q
q
i
r
vˆ
[入射波]
x
uˆ
－
＋
領域I：(1) e1, m1
Ei  E i yˆ exp jk1 cosqi x  k1 sin qi z   (23)
y
1
1
Hi  E iuˆ  yˆ exp jk1 cosqi x  k1 sin qi z   E i  xˆ sin qi  zˆ cosqi exp jk1 cosqi x  k1 sin qi z   (24)
h1
h1
[反射波]
＋
uˆ
＋
qi
qrˆ
x w
z
vˆ
qt 領域I：(1) e , m
1
1
E  RE yˆ exp jk1 cosqi x  k1 sin qi z   (25)
領域II：(2) e2, m2 y
1
1
Hr  REi vˆ  yˆ exp jk1 cosqi x  k1 sin qi z   REi  xˆ sin qi  zˆ cosqi exp jk1 cosqqi i x  k1qsin
r q
ˆ vˆi z   (26)
w
r
i
h1
h1
uˆ
z
qt
z
[透過波]
－
＋
領域II：(2) e2, m2 y
Et  TEi yˆ exp jk2 cosqt x  k2 sin qt z   (27)
ˆ
w
1
1
ˆ  yˆ exp jk2 cosqt x  k2 sin qt z   TEi  xˆ sin qt  zˆ cosqt exp jk2 cosqt x  k2 sin qt z   (28)
Ht  TEi w
q
h2
hi 
h2
t
A×B
領域II：(2) e2, m2
mi
, i  1 or 2  (29), R, T は，それぞれ（振幅） 反射係数，（振幅）透
過係数
ei
B
uˆ  xˆ cosqi  zˆ sin qi
A
uˆ  yˆ   xˆ cosqi  zˆ sin qi  yˆ   xˆ cosqi  yˆ  zˆ sin qi  yˆ  zˆ cosqi  xˆ sin qi  (30)
vˆ  xˆ cosqi  zˆ sin qi
vˆ  yˆ  xˆ cosqi  zˆ sin qi  yˆ  xˆ cosqi  yˆ  zˆ sin qi  yˆ  zˆ cosqi  xˆ sin qi  (31)
ˆ  xˆ cosqt  zˆ sin qt
w
ˆ  yˆ   xˆ cosqi  zˆ sin qt  yˆ   xˆ cosqi  yˆ  zˆ sin qt  yˆ  zˆ cosqi  xˆ sin qt  (32)
w
No.23の式(3)から
(3.3)の変換参照
外積A×Bの方向・・・Aベクトル
からBベクトルの方向に右ねじ
を回したときに進む方向
2009年度 電磁波工学
26
領域I内での電磁界(EI , HI )及び領域II内での電磁界(EII , HII )は，次式で表される。
EI  Ei  Er , HI  Hi  Hr (33)
EII  Et , HII  Ht (34)
x=0面での境界条件より，x=0と置いて各領域側での電磁界の接線成分（電界はy成分，磁界はz成分）
が等しいとして ，次式が得られる。

1
h1
cosqi exp jk1 sin qi z 
R
h1
cosqi exp jk1 sin qi z   
1
h2
T cosqt exp jk2 sin qt z   (35)
exp jk1 sin qi z  R exp jk1 sin qi z   T exp jk2 sin qt z  (36)
式(20)の位相整合条件を適用するとexp（ ）の項は打ち消し合い，次のようになる。
1
h1
1  Rcosqi 
1
h2
T cosqt  (37)
1  R  T  (38)
式(37)と(38)を連立して解くことにより，TE入射波の場合反射係数，透過係数は下記のように求まる。
h2 cosqi h1 cosqt
 (39)
h2 cosqi h1 cosqt
2h2 cosqi
T TE 
 (40)
h2 cosqi h1 cosqt
RTE 
x
Ey
H
qi
v
y
TM偏波は［補足－21,22］参照
z
0
w
z
2009年度 電磁波工学
27
x
各媒質の透磁率はm0に等しく，誘電率は実数 → RTE=0あるいは RTM=0となるための条件（無反射条件）
領域I：(1) e1, m1
m0
m
, h2  0 , n1 
e1 q
e2
qi
r
vˆ
1 m0
1
 h1 
, h2 
n1 e 0
n2
h1 
uˆ
e1m0
em
e
e
 1 , n2  2 0  2
e 0 m0
e0
e 0 m0
e0
m0
 (43)
e0 z
RTE  0の為には，
y
h2 cosqi h1 cosqt  0 n1 cosqi  n2 cosqt  (44)
ˆ
w
TM
R  0の為には，
qt
h2 cosqt h1 cosqi  0 n1 cosqt  n2 cosqi  (45)
h2 cosqi h1 cosqt
 (39)
h2 cosqi h1 cosqt
h cosqt h1 cosqi
RTM  2
スネルの法則
n sin qi  n2 
sin q(t41
) (46)'
h2 cosqt 1h1 cos
qi
RTE 
式(39)及び(41)より
2 ［分子］=0
n 
式(44)より，  1  cos2 q  cos2 q
 n2 1
1
領域II：(2) e2, m2
i
t
また，TM(平行偏波)入射の場合について，式(46)’と(45)をかけ合わせると，反射係数が0となる場合の入射角と透過角の関係が求まる。
cosqi sin qi  cosqt sin qt  0 2 cosqi  qt sin qi  qt   0
sin qi 
sin qt
2
 n1 
2
2
q  q   (47)
式(46)'より， cos qt  1  sin qt  1    sin 2 qi
2
 n2 
ここで， スネルの法則 n sin q  n sin q (46)'を用いて，q を消去すればTM(平行偏波)入射の場合にのみ反射係数が0

i
n1
t
1
i
2
t
となる入射角が存在する。
RTM  0 
「重要」
n2
t
2
 n2 
  (46)
 n1 
qi  tan1

2
式(47)より， q  q n 
 n1 
2
2
21 
  cos

 1
[ブルースター角
] qi  sin qi  



式(45)より， cosq  
cosn2 q    sin q
 n2 
2

n 
RTE  0   1   1 境界が存在しない。
 n2 

t

t
i
i
i
sin qi
n
TE入射では無反射状態は存在しない!!
 (n1 cosq t )n1 sin q i  n2 cosqi ,
 tanqi  2
cosq i
n1
ブルースター角でTE波(直交偏波)およびTM波(平行偏波)が入射した場合，TE波のみが反射される。→［偏光角］
※）無反射はTM偏波のみで存在するので偏波が分離される事に由来する。
スネルの法則 n1 sin qi  n2 sin qt (46)'
2009年度 電磁波工学
28
各媒質の透磁率はm0に等しく，誘電率は実数である → RTE=1， RTM=1となるための条件（全反射条件）
式(39)および(41)の形の類似性に着目 → 複素数:
A  jB
A  jB
A  jB A  jB A2  B2


1
A  jB A  jB A2  B2
の絶対値は1である。
常に！
反射係数が上記の形になる場合の条件を求めれば，その絶対値は１となる。→cos qtが純虚数になれば良い！
・スネルの法則(46)’より
n

qt h1 cosqi
h2 cosqi h1cos
cos
TM
x
TE
qq
t 1   sin q  
(48) h2 cos
（平方根の中身が）＜０
R

(
41
)
R 

(
39
)
n

h2 cosqt h1 cosqi
領域I：(1) e1, m1
h2 cosqi h1 cosqt 
負
なので，純虚数になる条件は以下のように求まる。
2h2 cosqt
TM全反射時の透過波電界（TE波；直交偏波の場合）
2
h
cos
q
TE
2
i
T

 (42)
n
 (49)
 (40)
sinqi  T2 
h
cos
q

h
cos
q
q
q
t i
1
i
h2 cosqi h1 cosqt
n1
 jk2 cos
Et 2 yˆ T TE E
exp
qt x i k2 sinqt zr vˆ 式(27)より
2
1
t
i
2
uˆ
n 
2

 
 
qc  sin1 2 　[臨界角]  (50)

n

TE i
1
 k   sinq   1x exp jk sinq zz 
ˆ

y
T
E
exp
n
i
2
t
 1
 2   n2

y 

として， qi  qcの時，反射係数が1，すなわち全反射とな る。

 

エバネッセント波
n
ˆ
w
 sinqi  1なので， 2  1，すなわち n2  n1でなければならない。
n1
qt
無反射条件：
領域II：(2) e2, m2
n 
TM波（平行偏波）入射　 qi  tan1 2 　[ブルースター角]
 n1 
全反射条件：
n 
n2  n1　 qi  qc , qc  sin1 2 　[臨界角]
 n1 
指数関数的に減衰
2009年度 電磁波工学
29
領域IIが良導体（sが十分大きい時）の場合のMaxwellの方程式（m2=m0）
s 0
H

  E  m0 t   jm0 H (51)

E
E
No.12より
  H  i  e 2
 sE  e 2
 sE  je2 E  s  je2 E (52)
t
t

 伝導電流はi  sE
ベクトル恒等式
式(51)の両辺の回転(rot)をとって次式が得られる。
    A   A  2 A
    E   jm0  H (53)
式(53)の右辺に式(52)を代入し，ベクトル恒等式を用いると次の様な波動方程式が得られる。
2E  jm0 s  ie2 E  0 (54)
一般の波動方程式：2E  k02E  0
k22   jm0s   2e 2 m0   jm0s (55)
※）式 (55)の第２項は変位電流の項で，良導体中では変位電流は無視できる為。
波動方程式(54)の一般解（ベクトルの成分）は次のように書ける。
  A exp[  j x] exp jk1 sin qi z   A exp jxexp jk1 sin qi z expx(56)
  
m0s
2
(57)
下方向はｘは負の方向なので，金属内に入ると減衰
上式は領域ＩＩ中で-x方向に減衰定数で減衰する関数である。特に電磁界が1/eまで減衰する
深さ方向距離，すなわちx=1となる距離を表皮深さ（Skin Depth)と呼ぶ。
x 
m0s
2
x  1より，
表皮深さ; d 
2
m0s
(58)　となる。
2009年度 電磁波工学
30
偏波の基準は何に対
する何の方向？？
課 題
誘電率はe=ere0
１．携帯電話の電波(1.8GHz)が空気中から比誘電率er=3.0の媒質へ30°の角度
で入射する。電磁波の電界が入射面内にある場合と磁界が入射面内にある場
合について，それぞれ，反射係数を求めなさい。また，それぞれの入射波が何
偏波であるかを答えなさい。
２．周波数が5GHzの電波に対する銅の表皮の深さ（表皮厚さ）を求めなさい。
※）導電率は教科書の付録にある。
x
 
 
 j  cos    j sin    e
 2
 2
j
 j e

2
j
e

4
j
領域I：(1) e1, m1

Eは入射面に垂直
2
qi
qr
ˆ
v
 
  1
1z  j 
 cos    j sin   
2
 4
 4
uˆ
y
ˆ
w
qt
領域II：(2) e2, m2