Transcript TE波
2009年度 電磁波工学
21
平面波の反射と屈折
完全導体面による反射
[定義]
入射角・・・入射波の方向と境界面の法線方向がなす角:qi
入射面・・・入射波の方向と境界面の法線方向を含む平面 TM
• TE波(直交偏波)・・・電界が入射面に垂直なy成分のみを持つ平面波。
• TM波(平行偏波)・・・磁界が入射面に垂直なy成分のみを持つ平面波。
すなわち,電界はxz面(入射面)内にある。
Hy
x
E
TE
Ey
H
注&復) 基準は入射面。偏波は電界の振動方向。
qi
v
y
完全導体表面(x=0)では式(1.43)[導体表面では電界
は法線方向成分のみ]が成立しなければならない。
[ TE波(直交偏波) ]
電界はy方向成分のみで表される。
1) 電磁界の比は界インピーダンスh0
(|Ey/Hz|=±h0)
2) 電界方向(y方向)と波の伝搬方向(u方
向)の双方に垂直な方向はu及びy方
向ベクトルの外積方向(u軸からy軸へ
右ねじを回して進む方向)
入射波のみ
では不可能
→反射波と
の重ね合わ
せで充足
z
z
0
x
完全導体
u
iu
u
Ei yˆ Ei exp jk0u (1)
1ˆ
Ei
i
ˆ
H i u E i u yˆ exp jk0u (2)
i
h0
h0
上付きの iは入射波を表す。 ˆi uは, uˆ 方向の単位ベクトル
x'z' u' (3)
x'i u z'i u u'i u i uは, u方向単位ベクトル
x' cosqi z' cos qi u'
2
x' cosqi z' sin qi u' (3.3) ← 座標変換
k z : k z k 0 sin qi
kx :
k x k 0 cosq i
qi
u
k0
2009年度 電磁波工学
22
E, H であれば接線
方向成分が連続
入射波が完全導体面上に表面電流を誘起→表面電流が二次電界を放射・・・反射波
k z 表面電流,放射電界を順に求める方法・・・反射体形状が複雑な場合には有効
: k z k 0 sin qi
1)
※
2) 入射波を既知とし,反射波を未知数を含む形で仮定し,境界条件を適用して未知数を求める方法
q
i
y方向には構造の変化が無いので
k0
k x : k x k 0 cosqi
y 0 と置き,教科書式(2.43)より次式を得る。
2 2
2 2 k02 Ey 0 (4)
x z
x
2次元ヘルムホルツ方程式
E y x, z X ( x)Z ( z) (5) と置き,変数分離法で解を求めると,
X i exp jkxi x exp jk0 cosqi x (6a)
Z i exp jkzi z exp jk0 sin qi z (6b)
Eiy x, z Eiy exp jk0 cosqi xexp
jk0 sin qi z
-x方向
2 Ey E 2 X 2 Ey
2Z
Z
,
X
Hyx 2
x 2
z 2
z 2
E
2 X y 2Z
Z 2 X qi 2 k02 XZ 0
x H z
v
1 2 X 1 2Z
z
2 2
y 2 k x z k z 0
2
X x
Z z
0
2
X
2Z
2
k
X
0
,
k z2 Z 完全導体
0
x
2
x 2
z
x
u
X A exp( jk x x) B exp( jk x x)
u
Z A' exp( jk z z) Bi'uexp( jk z z)
+z方向
v x z
ここで,反射波の電界成分を以下のように仮定する。
E yr x, z E yr exp jk0 cosqr xexp jk0 sin qr z (7) +x、+z方向
E y Eiy E yr (8) ・・・ 入射波と反射波の重ね合わせが総合電磁界
Aexp jkx ・・・-x方向に進む波動
反射波は,x及びzの正方向へ伝搬するので理にかなっている。また,式(4)も満たす。
Aexp jkx ・・・+x方向に進む波動
変数はE yrと qrである。
境界条件(1.43)より, nˆ E(1) 0 (9)
と式(8)を用いて,電界の境界面(x=0面)での接線成分が0となると置く。
Ei exp jk0 sin qi z E r exp jk0 sin qr z 0 at x 0 (10)
E exp jk0 sin qi z Er exp jk0 sin qr z 0 at x 0 (10) 23
2009年度 電磁波工学 i
式(10)がz=-∞とz=∞で成立するには,同式のz依存性がなくならねばならないので,exp( )
の項が等しくなるように選ぶ。(位相整合)
qi qr (11) ※)境界面上 ( x 0)では入射波と反射波の位相が常に等しい。
← 電界振幅は逆位相
E i E r 0 (12) E i E r
(位相整合条件)
・・・ exp( )の項を等しくしたので式(10)からexp( )の項を消去出来る。
以上の条件より,反射 波は下記のように書け る。
Er E i yˆ exp j k0 cosqi x k0 sin qi z (13)
Hr
1
h0
i
ˆ r E i v yˆ exp j k0 cosqi x k0 sin qi z (14)
iv E
h0
従って,総合電磁界は,以下のようになる。
E Ei Er yˆ 2 jEi sin k0 cosqi xexp jk0 sin qi z (15)
H Hi Hr
2E i
h0
xˆ j sin qi sink0 cosqi x zˆ cosqi cosk0 cosqi xexp jk0 sin qi z
(16)
x一定でz変化のみ・・・位相定数k0sinqiの平面波 → 進行波
z一定でx変化のみ・・・極大点,ゼロ点の位置が時間に依存しない。 → 定在波
[ TM波(平行偏波) ]
TE波の場合と同様に解析できる。
[補足-20,21]参照
課 題
1.TM波の場合について,式(15)及び(16)に対応する総合電磁界を求めよ。
領域I : E i exp jk1 cosqi xexp jk1 sin qi z E r exp jk1 cosq r xexp jk1 sin q r z (17)
2009年度 電磁波工学
領域II : E t exp jk2 cosq t xexp jk2 sin q t z (18)
2種類媒質の平面境界における反射と屈折
(+x,+z)
(-x,+z)
完全導体の場合と同様に,境界面(x=0)の領域I及びII側の電界の
接線成分は領域Iでは入射波と反射波,領域IIでは透過波が存在し,
その重ね合わせとして次式のようになる。
x
領域I:(1) e1, m1
H
Ey
uˆ
領域I : E exp jk1 sinqi z E exp jk1 sinqr z at x 0 (17)
領域II : Et exp jk2 sinqt z at x 0 (18)
i
r
qi
qr
y
ˆ
w
qt
(-x,+z)
領域II:(2) e2, m2
EyまたはEz
E i exp jk1 sin qi z E r exp jk1 sin qr z E t exp jk2 sin qt z (19)
境界条件より,
k1 sin qi k1 sin qr k2 sin qt (20)
k n k
k1 e1m1 , k2 e 2 m2 (21) 1 1 0
k2 n2k0
また,式 (20)より次式が成り立つ。 qi qr , n1 sin qi n2 sin qt (23)
vˆ
z
上付き添え字のi, rおよびtは,それぞれ入射,反 射,透過波の成分
であることを示す。
境界条件より,式(17)と(18)が等しいとした次式が,zが(-∞,∞)で等しくなる
にはexp( )の中身が等しくならねばならない。(位相整合の条件)
24
[境界条件]
E, H接線成分
が境界面で連続
D, B法線成分
※屈折率: ni
ki
em
i i
k0
e 0 m0
(22) を定義すると,
式(20)はスネルの法則に一致する。
2009年度 電磁波工学
25
x
領域I:(1) e1, m1
[ TE波(直交偏波) ]
入射(Ei, Hi),反射(Er, Hr)及び透過(Et, Ht)波の電磁界は次式で表される。
q
q
i
r
vˆ
[入射波]
x
uˆ
-
+
領域I:(1) e1, m1
Ei E i yˆ exp jk1 cosqi x k1 sin qi z (23)
y
1
1
Hi E iuˆ yˆ exp jk1 cosqi x k1 sin qi z E i xˆ sin qi zˆ cosqi exp jk1 cosqi x k1 sin qi z (24)
h1
h1
[反射波]
+
uˆ
+
qi
qrˆ
x w
z
vˆ
qt 領域I:(1) e , m
1
1
E RE yˆ exp jk1 cosqi x k1 sin qi z (25)
領域II:(2) e2, m2 y
1
1
Hr REi vˆ yˆ exp jk1 cosqi x k1 sin qi z REi xˆ sin qi zˆ cosqi exp jk1 cosqqi i x k1qsin
r q
ˆ vˆi z (26)
w
r
i
h1
h1
uˆ
z
qt
z
[透過波]
-
+
領域II:(2) e2, m2 y
Et TEi yˆ exp jk2 cosqt x k2 sin qt z (27)
ˆ
w
1
1
ˆ yˆ exp jk2 cosqt x k2 sin qt z TEi xˆ sin qt zˆ cosqt exp jk2 cosqt x k2 sin qt z (28)
Ht TEi w
q
h2
hi
h2
t
A×B
領域II:(2) e2, m2
mi
, i 1 or 2 (29), R, T は,それぞれ(振幅) 反射係数,(振幅)透
過係数
ei
B
uˆ xˆ cosqi zˆ sin qi
A
uˆ yˆ xˆ cosqi zˆ sin qi yˆ xˆ cosqi yˆ zˆ sin qi yˆ zˆ cosqi xˆ sin qi (30)
vˆ xˆ cosqi zˆ sin qi
vˆ yˆ xˆ cosqi zˆ sin qi yˆ xˆ cosqi yˆ zˆ sin qi yˆ zˆ cosqi xˆ sin qi (31)
ˆ xˆ cosqt zˆ sin qt
w
ˆ yˆ xˆ cosqi zˆ sin qt yˆ xˆ cosqi yˆ zˆ sin qt yˆ zˆ cosqi xˆ sin qt (32)
w
No.23の式(3)から
(3.3)の変換参照
外積A×Bの方向・・・Aベクトル
からBベクトルの方向に右ねじ
を回したときに進む方向
2009年度 電磁波工学
26
領域I内での電磁界(EI , HI )及び領域II内での電磁界(EII , HII )は,次式で表される。
EI Ei Er , HI Hi Hr (33)
EII Et , HII Ht (34)
x=0面での境界条件より,x=0と置いて各領域側での電磁界の接線成分(電界はy成分,磁界はz成分)
が等しいとして ,次式が得られる。
1
h1
cosqi exp jk1 sin qi z
R
h1
cosqi exp jk1 sin qi z
1
h2
T cosqt exp jk2 sin qt z (35)
exp jk1 sin qi z R exp jk1 sin qi z T exp jk2 sin qt z (36)
式(20)の位相整合条件を適用するとexp( )の項は打ち消し合い,次のようになる。
1
h1
1 Rcosqi
1
h2
T cosqt (37)
1 R T (38)
式(37)と(38)を連立して解くことにより,TE入射波の場合反射係数,透過係数は下記のように求まる。
h2 cosqi h1 cosqt
(39)
h2 cosqi h1 cosqt
2h2 cosqi
T TE
(40)
h2 cosqi h1 cosqt
RTE
x
Ey
H
qi
v
y
TM偏波は[補足-21,22]参照
z
0
w
z
2009年度 電磁波工学
27
x
各媒質の透磁率はm0に等しく,誘電率は実数 → RTE=0あるいは RTM=0となるための条件(無反射条件)
領域I:(1) e1, m1
m0
m
, h2 0 , n1
e1 q
e2
qi
r
vˆ
1 m0
1
h1
, h2
n1 e 0
n2
h1
uˆ
e1m0
em
e
e
1 , n2 2 0 2
e 0 m0
e0
e 0 m0
e0
m0
(43)
e0 z
RTE 0の為には,
y
h2 cosqi h1 cosqt 0 n1 cosqi n2 cosqt (44)
ˆ
w
TM
R 0の為には,
qt
h2 cosqt h1 cosqi 0 n1 cosqt n2 cosqi (45)
h2 cosqi h1 cosqt
(39)
h2 cosqi h1 cosqt
h cosqt h1 cosqi
RTM 2
スネルの法則
n sin qi n2
sin q(t41
) (46)'
h2 cosqt 1h1 cos
qi
RTE
式(39)及び(41)より
2 [分子]=0
n
式(44)より, 1 cos2 q cos2 q
n2 1
1
領域II:(2) e2, m2
i
t
また,TM(平行偏波)入射の場合について,式(46)’と(45)をかけ合わせると,反射係数が0となる場合の入射角と透過角の関係が求まる。
cosqi sin qi cosqt sin qt 0 2 cosqi qt sin qi qt 0
sin qi
sin qt
2
n1
2
2
q q (47)
式(46)'より, cos qt 1 sin qt 1 sin 2 qi
2
n2
ここで, スネルの法則 n sin q n sin q (46)'を用いて,q を消去すればTM(平行偏波)入射の場合にのみ反射係数が0
i
n1
t
1
i
2
t
となる入射角が存在する。
RTM 0
「重要」
n2
t
2
n2
(46)
n1
qi tan1
2
式(47)より, q q n
n1
2
2
21
cos
1
[ブルースター角
] qi sin qi
式(45)より, cosq
cosn2 q sin q
n2
2
n
RTE 0 1 1 境界が存在しない。
n2
t
t
i
i
i
sin qi
n
TE入射では無反射状態は存在しない!!
(n1 cosq t )n1 sin q i n2 cosqi ,
tanqi 2
cosq i
n1
ブルースター角でTE波(直交偏波)およびTM波(平行偏波)が入射した場合,TE波のみが反射される。→[偏光角]
※)無反射はTM偏波のみで存在するので偏波が分離される事に由来する。
スネルの法則 n1 sin qi n2 sin qt (46)'
2009年度 電磁波工学
28
各媒質の透磁率はm0に等しく,誘電率は実数である → RTE=1, RTM=1となるための条件(全反射条件)
式(39)および(41)の形の類似性に着目 → 複素数:
A jB
A jB
A jB A jB A2 B2
1
A jB A jB A2 B2
の絶対値は1である。
常に!
反射係数が上記の形になる場合の条件を求めれば,その絶対値は1となる。→cos qtが純虚数になれば良い!
・スネルの法則(46)’より
n
qt h1 cosqi
h2 cosqi h1cos
cos
TM
x
TE
qq
t 1 sin q
(48) h2 cos
(平方根の中身が)<0
R
(
41
)
R
(
39
)
n
h2 cosqt h1 cosqi
領域I:(1) e1, m1
h2 cosqi h1 cosqt
負
なので,純虚数になる条件は以下のように求まる。
2h2 cosqt
TM全反射時の透過波電界(TE波;直交偏波の場合)
2
h
cos
q
TE
2
i
T
(42)
n
(49)
(40)
sinqi T2
h
cos
q
h
cos
q
q
q
t i
1
i
h2 cosqi h1 cosqt
n1
jk2 cos
Et 2 yˆ T TE E
exp
qt x i k2 sinqt zr vˆ 式(27)より
2
1
t
i
2
uˆ
n
2
qc sin1 2 [臨界角] (50)
n
TE i
1
k sinq 1x exp jk sinq zz
ˆ
y
T
E
exp
n
i
2
t
1
2 n2
y
として, qi qcの時,反射係数が1,すなわち全反射とな る。
エバネッセント波
n
ˆ
w
sinqi 1なので, 2 1,すなわち n2 n1でなければならない。
n1
qt
無反射条件:
領域II:(2) e2, m2
n
TM波(平行偏波)入射 qi tan1 2 [ブルースター角]
n1
全反射条件:
n
n2 n1 qi qc , qc sin1 2 [臨界角]
n1
指数関数的に減衰
2009年度 電磁波工学
29
領域IIが良導体(sが十分大きい時)の場合のMaxwellの方程式(m2=m0)
s 0
H
E m0 t jm0 H (51)
E
E
No.12より
H i e 2
sE e 2
sE je2 E s je2 E (52)
t
t
伝導電流はi sE
ベクトル恒等式
式(51)の両辺の回転(rot)をとって次式が得られる。
A A 2 A
E jm0 H (53)
式(53)の右辺に式(52)を代入し,ベクトル恒等式を用いると次の様な波動方程式が得られる。
2E jm0 s ie2 E 0 (54)
一般の波動方程式:2E k02E 0
k22 jm0s 2e 2 m0 jm0s (55)
※)式 (55)の第2項は変位電流の項で,良導体中では変位電流は無視できる為。
波動方程式(54)の一般解(ベクトルの成分)は次のように書ける。
A exp[ j x] exp jk1 sin qi z A exp jxexp jk1 sin qi z expx(56)
m0s
2
(57)
下方向はxは負の方向なので,金属内に入ると減衰
上式は領域II中で-x方向に減衰定数で減衰する関数である。特に電磁界が1/eまで減衰する
深さ方向距離,すなわちx=1となる距離を表皮深さ(Skin Depth)と呼ぶ。
x
m0s
2
x 1より,
表皮深さ; d
2
m0s
(58) となる。
2009年度 電磁波工学
30
偏波の基準は何に対
する何の方向??
課 題
誘電率はe=ere0
1.携帯電話の電波(1.8GHz)が空気中から比誘電率er=3.0の媒質へ30°の角度
で入射する。電磁波の電界が入射面内にある場合と磁界が入射面内にある場
合について,それぞれ,反射係数を求めなさい。また,それぞれの入射波が何
偏波であるかを答えなさい。
2.周波数が5GHzの電波に対する銅の表皮の深さ(表皮厚さ)を求めなさい。
※)導電率は教科書の付録にある。
x
j cos j sin e
2
2
j
j e
2
j
e
4
j
領域I:(1) e1, m1
Eは入射面に垂直
2
qi
qr
ˆ
v
1
1z j
cos j sin
2
4
4
uˆ
y
ˆ
w
qt
領域II:(2) e2, m2