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統計解析 第6回
第5章 順列と組合せ
再来週の中間テストの注意
• 定規を持参
• 電卓を持参(携帯電話は不可)
• 教科書参照不可
今日学ぶこと
• 順列
• 組合せ
• 組合せと確率
すべての結果が同じくらい起こりそうな場合
事象の大きさ
事象の確率
標本空間の大きさ
偶数の個数
さいころの目が偶数に
なる確率
すべての目の個数
2,4,6
3 1
1,2,3,4,5,6 6 2
さいころを10個同時に投げたとき、1が2個出る確率は?
1が2個出るすべての場合を列挙
出る目のすべての組合せを列挙
順列や組合せの計算方法を知る
順列
A,B,C,Dの4人がリレーで走る順番
4×3×2×1 = 24通り
n! = n×(n – 1)×・・・×1
nの階乗
4! = 4×3×2×1
10人の中から4人選んで、リレーで走る順番
10×9×8×7 = 5040通り
nPr
nからr
選んだときの
順列
= n×(n-1)×・・・×(n-r+1)
10P4
n!
n Pr
n r !
= 10×(10-1)×・・・×(10-4+1)
= 10×9×・・・×7
組合せ
10人から4人選ぶ組合せ
10 9 8 7 10 3 7
4 3 2 1
1
n
nCrあるいは であらわす
r
10 C4
10 10 9 8 7
4 4 3 2 1
n
n!
C
n r
r r!n r !
ちょっと練習問題
27人の学生から3人選ぶやり方は何通り?
27 27 26 25
27 C3
3 3 2 1 9 13 25 2925
?
確率と組合せ
さいころを10個同時に投げたとき、1が2個出る確率は?
3
1
4
1
5
3
2
6
5
1
3
1
4
1
5
3
2
6
5
4
目の出方 = 6×6×・・・×6 = 610
1が2個出る組合せ = 10C2×58=45×58
さいころを10個同時に投げたとき、1が2個出る確率
8
45 5
10
6
同種のものを選ぶ場合
袋の中に52個の玉
48個が黒
4個が白
ランダムに5個取り出すときに2個が白い確率は?
2個が白で3個が黒の場合の数
52個から5個選ぶ組合せ
4個から2個選ぶ組合せ 48個から3個選ぶ組合せ
52個から5個選ぶ組合せ
4 3 48 47 46
C
C
47 46
2
1
3
2
1
4 2 48 3
52 51 50 49 48 4917 13 5
52 C5
5 4 3 2 1
ちょっと練習問題
13個の玉
8個が白で5個が黒
ランダムに4個選ぶとき、白が2個、黒が2個となる確率は?
4個が白になる確率は?
8 7 5 4
7 4 2 56
8 C2 5 C2
2
1
2
1
13121110 1311 143
13C4
4 3 2 1
?
8 7 6 5
2 7
14
4
3
2
1
8 C4
13121110 1311 143
13C4
4 3 2 1
?
確率と直感の話
あなたはクイズ番組の優勝者
3つの扉のうち1つが当たり(2つはハズレ)
あなたが1つの扉を選ぶと、司会者が別の扉を
「ちなみにこれはハズレです。」
と言ってあける。そして
「もう一度選びなおしますか?」
と聞いてくる。
どうするか?
選択肢は3つ
•そのまま
•もう一つの扉を選ぶ
•どっちでもいい
確率と直感の話
必ずそのまま→当たる確率1/3
どっちでもいい→当たる確率1/2
必ずもう1つの扉を選ぶ
最初に当たりを選ぶ→最終的にはハズレ
最初にハズレを選ぶ→最終的には当たり
必ずもう1つの扉を選ぶ→当たる確率2/3