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Study of the tensor correlation
with a beyond-mean-field method
杉本聡
京都大学
イントロダクション
• 強いテンソル力は核子多体系の特徴のひとつ。
• テンソル力（パイオン）は原子核の構造において非常に重要
な役割をしている。
– 結合エネルギー
– ｌｓスプリッティング
• テンソル力の原子核構造における役割を明らかにしたい。
– テンソル力の殻構造の形成における役割
• 殻構造の変化（Shell evolution) (Otsuka, Suzuki, Abe et al.)
– テンソル力による相関が中性子過剰核においてどのように変化する
のか？
• テンソル力による相関は中性子－陽子間に強く働く。
⇒超重元素の殻構造
r過程 etc.
１パイオン交換ポテンシャル
V
(OPEP)
1 fp 2 r r r r r r e- mp r
(r ) = t ×t 2 (s 1 ×Ñ1 )(s 2 ×Ñ 2 )
2 1
4p mp
r
ù
é
ú
ê
ì
ü
m
r
m
r
2
p
p
ï
ï
1 fp r r êr r æ
e
4p r ö
3
3 ïe ú
ï
÷
ç
ú
=
t 1 ×t 2 ês 1 ×s 2 ç
d(r )÷
+ S12 í 1+
+
ý
2
÷
2
ú
ê
÷
çè r
ïï
ï
3 4p
mp
m
r
r
ø
m
r
(
)
p
ï
p
ïî
ïþ 43ú
ê144444444442 4444444443
4 1444444444442
4
44444444444
ú
êë
Central
ú
Tensor
û
r r r r
(0)
r r (2)
3(s 1 ×r )(s 2 ×r ) r r
é
ù
ˆ
S12 =
- s 1 ×s 2 = 24p ê[s 1 ´ s 2 ] ´ Y2 (r)ú
ë
û0
r2
j1
j2
å å
m1= - j1 m2 = - j2
l1 j1m1, l2 j2m2 V (OPEP) l1 j1m1, l2 j2m2 = 0
テンソル力の効果
粒子－空孔相互作用
0d3/2
1s1/2
２粒子２空孔相関
0d3/2
0d3/2
1s1/2
1s1/2
0d5/2
0d5/2
0p1/2
0p1/2
0p3/2
0p3/2
0d5/2
0p1/2
VT
Proton
Proton
Proton
Neutron
0p-0h
0p3/2
Neutron
Neutron
2p-2h
VT
j j VT j j
j j VT j j
平均場計算で取り扱うことが
できる。
->スピン非飽和核（ｊｊ閉殻核）
でｌｓスプリッティングを変化さ
せる。
結合エネルギーに引力的寄与
通常の平均場（ハートリー・フォック）計算では取り
扱うことができない。
->平均場近似を越えた取り扱い（荷電・パリティを
射影したハートリー・フォック法）
どちらの効果も重要！
23Fにおける陽子0d軌道のlsスプ
リッティングにおけるテンソル力
の影響の研究
S. Sugimoto, K. Ikeda, and H. Toki
Phys. Rev. C 76 (2007) 054310
ls splitting in nuclei
• “Is there any indication of spin-orbit coupling?”
Enrico Fermi in Mayer PR 75 (1949) 1969
• “There is not yet a quantitative understanding of the
microscopic origins of the spin-orbit term in the nuclear
Hamiltonian.”
in Schiffer et al. PRL 92 (2004) 162501
• Origins of the ls splitting
–
–
–
–
–
Spin-orbit force
Tensor force
3-body force
Central force and kinetic term
Mean field or correlation?
Schiffer et al. PRL 92 (2004) 162501
Warner NATURE 430 (2004) 519
ｌsスプリッティングとテンソル力
• テンソル力のlsスプリッティングに対する影響
– ハートリー・フォック計算： jj閉殻においてlsスプリッティングを狭める。
Tarbutton et al.(HF),
Bouyssy et al.(Relativistic HF), etc.
– 中性子（陽子数）の変化に伴う殻構造の変化
Otsuka, Suzuki, Abe, Utsuno, etc
– 2p2h 相関: Terasawa and Arima, Andō and Bandō, Myo et al.,
etc.
• lsスプリッティングは中性子過剰核で変化するのか?
– 理研の実験データ
(Michimasa et al. PLB 638 (2006) 146)
D(pd) in 17F(16O+p) ~ 5 MeV
→ D(pd) in 23F(22O+p) ~ 4 MeV
•
23Fにおけるlsスプリッティングをハートリー・フォック計算で調
べた。(Sugimoto et al. PRC 76 (2007) 054310)
Michimasa et al.
(PLB 638 (2006) 146
NPA 787 (2007) 569)
5 MeV
3/2+
p
0d3/2
1s1/2
0d5/2
23F
5/2+
17F
Bohr & Mottelson vol. 1

テンソル力のlsスプリッティングに対す
る影響
j>=l+1/2
j<=l-1/2
j<’
VT(p)
j>
p
VT(p)
j>’
j<
j>’
j<
j>

VTはlsスプリッティングを狭める。
j<’
p

VTはlsスプリッティングを広げる。
1. j>-j>’ or j<-j<’: 斥力
2. j<-j>’: 引力
3. j>とj<の軌道が同時に完全に占有され
るとVTは働かない。
4. 中性子－陽子間に強く働く。(T=0)
cf. Bouyssy et al. PRC 36 (1987) 380
Otsuka et al. PRL 95 (2005) 232502
j<’
VT(p)
j>’
j<
j>
p

VTは働かない。
17F(16O+p)
23F(22O+p)
VT(p)
VT(p)
0d3/2
1s1/2
p

0d3/2
1s1/2
0d5/2
0d5/2
0p1/2
0p3/2
0p1/2
0p3/2
0s1/2
テンソル力は働かない。
p

0s1/2
テンソル力はlsスプリッティン
グを狭める。
Hartree-Fock calculation
for 15O, 16O, 17O, 22O, and 23F
• Spherical symmetry is not assumed
– A valence particle breaks the shperical
symmetry
– Each jm orbit has a different radial dependece.
– Resulting wave function has almost good
angular momentum.
ljm (r)  Rljm (r)Ylljm ()
Radial wave function depends on m .
有効相互作用（HF計算）
• 中心力
Modified Volkov No.1, m=0.59
• LS力
d-LS:
iW0 [k 21 
W0=115 MeV fm5

d (r12 )k12 ]
１５OにおけるD(0p -1-0p -1)を再現するように決める。
3/2
1/2
cf. Gogny force D1
• テンソル力
G3RS (Tamagaki, PTP 39 (1968) 91)
– G3RS：現実的核力
– 核物質中のＧ行列から求めた有効テンソル力は自由空間のテンソル
力と同程度の大きさの行列要素を持つ。
15,16,17,22O
ETOT
16O(0+)
VT
Rm
-128.3 (-127.6)
-1.0
0.0 2.58(2.54(02))
17O(5/2+)
-132.3(-131.8)
-4.1
0.0 2.64 (2.59(05))
15O(1/2-)
-110.2(-112.0)
-4.9
-0.1 2.55 (2.44(04))
15O(3/2-)
-104.5
0.9
0.0
5.7 (6.18)
5.8
0.1
-161.8 (-162.0)
-20.8
D(15O(3/2-)- 15O(1/2-))
22O(0+)
•
VLS
15O
2.59
1.9 2.85 (2.88(06))
においてｌｓスプリッティングは主にLS力によって生み出される。
exp: G.Audi et al. NPA 729 (2003) 337.
Bohr & Mottelson Vol. 1
Ozawa et al., NPA 693 (2001) 32.
7.2MeV
3/2+
5MeV
<VLS>~-3MeV
<VLS>~+4.5MeV
4.2MeV
3/2+
<VLS>~-3.3MeV
5/2+
5/2+
17F
23F
23F
VLS+VT
only VLS
VLS+VT
<VT>~-1.8MeV
<VT>~1.3MeV
Exp. 4.06MeV (Michimasa et al. PLB 638 (2006) 146)
• テンソル力はlsスプリッティングを狭める。
c.f. Otsuka et al. PRL 95 (2005) 232502
p
cf. D(0d5/2-0d3/2)= 6~7.5 MeV
in 40Ca
Sugimoto et al. PRC 76 (2007) 054310
VT

0d3/2
1s1/2
0d5/2
ls splitting (0p3/2-0p1/2) [MeV]
7
6
5
4
3
proton
neutron
proton with VT
2
neutron with VT
16
18
20
Mass Number
22
24
酸素同位体におけるテンソル力に
よる相関の研究
S. Sugimoto, H. Toki, and K. Ikeda
Phys. Rev. C 75 (2007) 014317
テンソル力の効果
粒子－空孔相互作用
0d3/2
1s1/2
２粒子２空孔相関
0d3/2
0d3/2
1s1/2
1s1/2
0d5/2
0d5/2
0p1/2
0p1/2
0p3/2
0p3/2
0d5/2
0p1/2
VT
Proton
Proton
Proton
Neutron
0p-0h
0p3/2
Neutron
Neutron
2p-2h
VT
j j VT j j
j j VT j j
平均場計算で取り扱うことが
できる。
->スピン非飽和核（ｊｊ閉殻核）
でｌｓスプリッティングを変化さ
せる。
結合エネルギーに引力的寄与
通常の平均場（ハートリー・フォック）計算では取り
扱うことができない。
->平均場近似を越えた取り扱い（荷電・パリティを
射影したハートリー・フォック法）
どちらの効果も重要！
荷電・パリティ射影を行ったハート
リー・フォック(CPPHF)法 １
• １パイオン交換によってテンソル力が生じる。
• 擬スカラー()
– パイオンの擬スカラーという性質を考慮しパリティの
混合した単一粒子軌道を導入する。（over-shell相
関）
• アイソベクター(t)
– パイオンのアイソベクターという性質を考慮し荷電状
態の混合した単一粒子軌道を導入する。（陽子－中
性子相関）
• 荷電・パリティ射影
– 荷電・パリティの良い状態を取り出すために荷電・パ cf. 変形ハートリー・フォック
リティ射影を行う。
計算(QQ相関を取り込むた
-> 荷電・パリティ射影を行ったハートリー・フォック方
めに変形軌道を導入）
程式（Charge and parity-projected HartreeFock equaiton）
References:
Toki, Sugimoto, and Ikeda., Prog. Theor. Phys. 108 (2002) 903（相対論的）
Sugimoto et al., Nucl. Phys. A 740 (2004) 77; PRC 75 (2007) 014317（非相対論的）
Ogawa et al., Prog. Thoer. Phys. 111 (2004) 75; Phys. Rev. C 73 (2006) 034301（相対論的）
CPPHF法で新たに取り込める相関
n
p
-
T
-
T
+
p
荷電交換
n
パリティ変化 +
荷電交換、パリティ変化を伴う２粒子２空孔相関
を自己無撞着に取り扱うことができる！
荷電・パリティ射影を行ったハート
リー・フォック(CPPHF)法 ２
1. 内部波動関数:
1
intr
F =
A Õ y amixjm
A! a jm
2. 射影を行った波動関数:
Y(Z;± ) = P c (zZ )P p (± )F intr
1 2p
1± Pˆ
i ((1+ t 3 ) 2- Z )q
=
dqe
ò
2p 0 42 4444444443 {
2
144444444
charge projection
1
A Õ y amijmx
A! a jm
parity projection
3. 単一粒子軌道に対し て変分:
d
Yintr H Y(Z ;± )
dy amixjm†
Yintr Y(Z ;± )
= 0 ⇒荷電・パリティ射影を行ったハー
トリー・フォック（ＣＰＰＨＦ）方程式
荷電・パリティ射影を行ったハート
リー・フォック方程式
A
é ì
1 2p
- iZ q ê (0) ïï ˆ
dqe ên í t (xa )y a a (xa , q)+ å y a b vˆ (xa1 ) y a b (q) y a a (xa , q)ò
1
0
4p
b= 1
ë ïïî
(
(± ;Z )
- E
å
- E (q) y a a (xa , q)-
b= 1
ü
ï
(0)
hba
(q)y a b (xa , q)ïýï
b= 1
ïþ
å
A
ìïï
P)
(
± n í tˆ(xa )y a a (xa , q)+ å y a b vˆ (xa1 ) y a(Pb ) (q) y a(Pa ) (xa , q)1
ïïî
b= 1
( P)
(
(± ;Z )
- E
)
(P)
A
(P)
- E (q) y a a (xa , q)-
å
(P)
(P)
hba (q)y a b
b= 1
Pˆ º
A
Õ pˆ , Cˆ (q)º
a
(
)
iq 1+ t 3 / 2
ˆ
y a b vˆ (xa1 ) y a a (q) y a b (xa , q)
1
A
)
(0)
A
eiZq , B(0) (q)ab º y a a e
H-F part
A
å
y a b vˆ (xa1 ) y a(Pa ) (q) y a(Pb ) (xa , q)
b= 1
1
A
ü
ïï ù
(± ;Z )
ú
(xa , q)ýï ú= n å eaby a b (xa )
b= 1
ïþû
iq 1+ t 3 / 2
ˆ ( ) y a b (q)
y a b , B(P) (q)ab º y a a pe
a= 1
ˆ ˆ (q) F intr , E(P) (q)º F intr HPC
ˆ ˆ ˆ (q) F intr
n (q)º det B(0) (q), n(P) (q)º det B(P) (q), E(0) (q)º F intr HC
(0)
A
å
y a a (x; q)º
b= 1
y a(Pa ) (x; q)º
A
å
b= 1
(
)
iq 1+ t 3 / 2
e
(
-1
y a b (x) B(0) (q)
)
ba
iq 1+ t 3 / 2
-1
ˆ ( ) y a b (x) B(P) (q)
pe
(
A
(0)
, hab
º y a a tˆ y a b (q) + å y a a y a c vˆ y a b (q)y a c (q)- y a c (q)y a b (q)
c= 1
)
ba
A
,
(P)
hab
º y a a tˆ y a(Pa ) (q) + å y a a y a c vˆ y a(Pb ) (q)y a(Pc ) (q)- y a(Pc ) (q)y a(Pb ) (q)
c= 1
cf. PPHF方程式 (Takami et al., Prog. Theor. Phys. 96 (1996) 407)
単一粒子軌道波動関数
(球対称の場合)
荷電・ パリ ティ 混合し た単一粒子軌道波動関数
y amix
+ f a ljn (rr )Yljm (W)z (n )
a ljp (rr )Yljm (W)z (p )n
jm (r)= f144444444444444444
42 4444444444444444443
positve parity
+ f a ljp (rr )Ylljm (W)z (p )+ f a ljn (rr )Ylljm (W)z (n )
14444444444444444442 4444444444444444443
( j)
negative parity
éêYlm ´ c 1 2 ù
: 全ス ピンの固有関数, j=l + s
ú
ë
ûm
Yljm = σ
grˆ Yljm Þ Yljm と Yljm はjが同じ でl(パリ ティ ） が違う 。.
{
Yljm =
0-
ガウ シアン基底展開:
æ
i
l
f a lj (r )= å Ca lj Nl (ai )r expçççè
i= 1
n
2ö
ær ö
i- 1
÷
çç ÷
÷
,
(
a
=
a
n
(i = 1,...n))
÷÷
i
1
è ai ø
÷
ø
単一粒子軌道波動関数をガウスシアン基底の重ねあわせで記述
Couplings treated in the spherical
CPPHF method
p

0d3/2
1s1/2
0d5/2
0p1/2
0p3/2
16O
0s1/2
Single particle states with the same j but different l’s are mixed.
Higher node states like 2s1/2, 1p3/2, 1p1/2, etc. are included.
有効相互作用 (CPPHF計算)
• 中心力
Modified Volkov No.1 (Ando et al, PTP 64 (1980)
1608)
• LS力とテンソル力
G3RS (Tamagaki, PTP 39 (1968) 91)
– G3RS: 現実的核力
– 核物質中のＧ行列から求めた有効テンソル力は自由空
間のテンソル力と同程度の大きさの行列要素を持つ。
– 23Fにおける陽子0d軌道のlsスプリッティングを再現。
CPPHF計算（4He，16O）
4He
xTE
HF
1.00
(Volkov No. 1
PPHF
0.96
+G3RS)
CPPHF 0.92
16O
Etot
HF
(MV1
+G3RS) PPHF
CPPHF
Etot
KE
Vtot
VC
VT
Rm
P(D)
-27.9 49.7
-77.6
-77.6
0.0 1.45 0.00
-28.3 52.5
-80.8
-75.1
-5.7 1.45 0.68
-28.7 57.8
-86.5
-73.2
-13.3 1.42 3.22
VT
VLS
KE
VC
VCoul
V3B Rm
-123.4 228.9
-416.9
0.0
-0.2
13.4 51.5 2.57
-126.6 236.5
-423.6
-5.3
-0.2
13.5 52.5 2.55
-133.3 256.5
-440.0
-17.8
-0.2
13.9 54.4 2.52
• パリティ、荷電射影を行うことによりテンソル力に
よる２粒子２空孔相関を取り込むことが可能。
Sugimoto et al., Nucl. Phys. A 740 (2004) 77; PRC 75 (2007) 014317
s1/2 neutorn with original Volkov No. 1
s1/2 proton
s1/2 neutron
P(-)=16%
P(p)=17%
p1/2 proton
p1/2 neutron
Wave function
0
1
2
R (fm)
3
4
-3
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
Wave function squared (fm )
-3
Wave function squared (fm )
単一粒子軌道波動関数(4He)
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
s1/2 Neutron with Original Volkov No. 1
s1/2 Neutron with XT=1.5, XTE=0.81
p1/2 Neutron with XT=1.5, XTE=0.81
0s1/2 HO wf with =1.37
0p1/2 HO wf with =1.37
0
1
2
3
4
R (fm)
テンソル力による相関によってパリティ混合、荷電混合が引き起
こされる。
テンソル力による相関によって混合してきたp軌道の成分はs軌
道の成分に比べて空間的広がりが小さい。⇒高い運動量成分
テンソル力による相関には高い運動量成分が重要！
単一粒子軌道波動関数（１６O)
0p3/2 proton dominant
0.0
P(-): 19.5%
P(): 27.4%
-0.2
-0.4
0
1
2
3
4
5
R (fm)
0p1/2 proton dominant
Proton (+)
Proton (-)
Neutron (+)
Neutron (-)
-3/2
Wave function (fm )
0.4
0.2
0.0
-0.2
P(+): 15.6%
P(): 13.6%
-0.4
0
1
2
3
R (fm)
4
5
0.2
0.0
P(+): 4.1%
P(): 3.5%
-0.2
-0.4
0s
0p
0d
1s
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
0
0
1
2
3
4
2
4
r (fm)
4He
case
5
R (fm)
Opposite parity
components mixed by the
tensor force have small
spatial width. It suggests
that the tensor
correlation needs highmomentum components.
6
s1/2 neutorn with original Volkov No. 1
-3
0.2
0.4
Harmonic oscillator wave function (b=1.6 fm)
1.0
Wave function squared (fm )
-3/2
-3/2
Wave function (fm )
Wave function (fm )
Proton (+)
Proton (-)
Neutron (+)
Neutron (-)
0.4
Proton (+)
Proton (-)
Neutron (+)
Neutron (-)
HO wave function (fm-3/2)
0s1/2 proton dominant
0.8
s1/2 proton
s1/2 neutron
0.6
p1/2 proton
p1/2 neutron
0.4
P(-)=16%
P(p)=17%
0.2
0.0
0
1
2
R (fm)
3
4
酸素同位体におけるテンソル相関
(14O, 16O, 22O, 24O, 28O)
VT/A and VLS/A (MeV)
0.2
VT and VLS
2p2h相関
p
0.0
-0.2
s1/2
-0.4
-0.6
-0.8 p3/2
p1/2
d5/2

0d3/2
1s1/2
d3/2
VT HF
VT CPPHF
VLS CPPHF
-1.0
12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
16O
Mass number
• テンソル力による１核子あたりのポテンシャル・エネルギーは中性子
数とともに減少。
• sd殻に陽子が存在しないため16Oのまわりの過剰中性子はテンソル
力による２粒子２空孔相関にほとんど寄与しない。
0d5/2
0p1/2
0p3/2
0s1/2
単一粒子軌道のパリティ混合の割合
0d5/2
0p1/2
0s1/2'

0p3/2'
0.2
1s1/2
Pmix
p
0p1/2'
0d5/2'
0.1
1s1/2'
0d3/2'
0.0
14
16
18
20
22
24
26
28
16O
Mass Number
 パリティ混合の割合はテンソル相関への寄与の強さに対応。
 0d5/2軌道はテンソル力による相関にほとんど寄与していない。
 1s1/2軌道に中性子が詰まると16Oの部分のパリティ混合の割合が
大きく変化。
 ブロッキング効果によって16Oの部分の波動関数が大きく変化
0d3/2
1s1/2
0d5/2
0p1/2
0p3/2
0s1/2
まとめ
• テンソル力は23Fにおける陽子0d軌道のlsスプ
リッティングを狭めるように働き、その効果が実
験データを再現するためには重要。
• テンソル力による２粒子２空孔相関を自己無撞
着に取り扱うことができる荷電・パリティ射影を
行ったハートリー・フォック法を定式化。
• 中性子過剰酸素同位体においてテンソル力によ
る相関は中性子数とともに弱まる傾向がある。
• 今後の課題
– 質量数の大きい原子核への適用
– 単一粒子的状態への２粒子２空孔相関の影響
– 有効相互作用の改善（現実的核力に基づいたもの）