Transcript 一次システムの時定 数(11/26 ppt file update)

［説明］
１次システムの時定数は
-1/aである
教科書のp.50-51
事例を２つ出し、ともに時定数が-1/aであるこ
とを証明する。
最初は入力がステップ関数のとき、
２番目は入力がインパルス関数のときである。
１次システム時定数の事例（１）
単位ステップ入力
１次システムの応答は
x(t )  e
a
at
e
bu
(

)
d


e
x(0)

at t
0
で表される。（式３．１３）
入力u(τ）が単位ステップ入力のとき
t
 1  a
x(t )  be  e d  e x(0)   e
beat  eat x(0)
0
 a
0
 1  at
 1 
at
at
  (e 1)be  e x(0)   (1  eat )b  eat x(0)
 a
 a
at t
a
at
 b  at
  (e 1)  eat x(0)
a
出力は
 bc  at
y(t )  cx(t )   (e 1)  ceat x(0)
a
ここで安定であるためには、
a<0
ちなみに最終値は
bc
y(t ) t   
a



eat t   0
一次システムの時定数は一定
y(t )
以下その証明
は下の図の赤線である。
 bc  at0
y(t0 )   (e 1)  ceat0 x(0)
a
dy(t )
傾きは
 bceat  aceat x(0)  ceat (b  ax(0))
dt
at0
ce
(b  ax(0)) である。
であるから、t = t0における傾きは
 bc  at0
y(t0 )   (e 1)  ceat0 x(0)
y(t)
a
t=t0のyの値は
t
t0
t１ この間隔が時定数