Transcript 平均値の差の検定の手順
第１０回授業（6/12）の学習目標 第５章 平均値の差の検定の基本的な考え方を 学ぶ。 平均値の差の検定の一連の手順を学ぶ。 分散の等質性の検定の具体的手順を学ぶ。 分散の等質性の検定の後の、平均値の差の検 定の具体的手順を学ぶ（この途中までで、終了）。 第５章 平均値の差の検定－１ 心理学では、検査や実験により得ら れた得点に、あらかじめ設定した２ つの条件間で差が見られるかどうか を検討することがよくある。 第５章 平均値の差の検定－２ 例えば、ミラーリエル錯視実験の 30度３０mm条件と30度４５mm 条 件の２条件間の錯視量に差がみら れるであろうか。 あるいは、30度３０mmの条件での 錯視量に、男女差は見られるので あろうか。 検定における標本と 検討すべき仮説－１ これらの課題を検討するための１ つの客観的・実証的な方法は、既 に第3章の後半で少し紹介した統 計的仮説検定を行うことである。 検定における標本と 検討すべき仮説－２ これを行うためには、まず第1にそ れぞれの条件下で実験を行い、 それぞれの条件での測定値を得 ることが必要である。統計学では、 これを標本を収集するという。 検定における標本と 検討すべき仮説－３ 標本は漠然と収集するのではなく、 何らかの（統計的）仮説を立て、無 作為に収集する必要がある。 平均値の差の検定での ２群の標本とは？ 例えば、ミラーリエル錯視のある条件下での男 子と女子の錯視量がそれぞれ Nx 人、Ny 人づ つ得られたとすると、２群の標本は、一般的には 、それぞれ x1 , x2 , , x N x （男子） y1 , y2 , , y N y （女子） と書ける。 平均値の差の検定 における帰無仮説 平均値の差の検定における仮説は、帰 無仮説と呼ばれ、両条件の母集団の平 均値 μx, μy に差がない、というものであり、 これを数式で書くとつぎのようになる： H0 : x y 母集団と標本での平均値の差の違い うえの仮説は、両条件での標本の平均値 に差がない、すなわち xy とは異なり、標本が抽出されるもとの母集 団での平均値に差がない、というものであ る点に注意が必要である。 母集団の特徴の違いによる 平均値の差の検定方法の違い－１ ２つの群間で平均値に違いがある かどうかを検討する場合、データが 得られるもとの母集団の特徴の違 いにより、検定方法が異なる。 母集団の特徴の違いによる 平均値の差の検定方法の違い－２ １つの方法は、テキスト p.19 の 5.1 節の 「母集団の分布形が未知だが、母 分散は既知で、標本数が大の場合」 である。 母集団の特徴の違いによる 平均値の差の検定方法の違い－３ 他方は、テキスト p.20 の 5.2 節 の 「母集団の分布が正規分布で、 母分散は未知の場合」 である。 t-統計量とその分布 帰無仮説のもとでは、5.2 節の条件の下 では、テキスト p.23 の (5.9) 式、すなわち 次の量 t がどんな値を取る可能性がどれ ぐらいであるかが理論的にわかっている： t N x N y ( N x N y 2) X Y NxS N yS 2 x 2 y Nx Ny 自由度 v の t-分布の分布とは？ －正規分布に近い y 軸対称な分布 確率 斜線部 １－α t- 分布 ｔ - ｔ Ｎ－１（α/2) ｔ Ｎ－１（α/2) 帰無仮説の棄却とは？－１ つまり、帰無仮説のもとでは、標本 から計算される上記の t の値が上 の図の下限値以下か、上限値以上 の範囲に入る可能性は α である。 この α の値は、統計学では通常 0.05 か 0.01 を考えるのが慣習で ある。 帰無仮説の棄却とは？－２ そこで、もし帰無仮説のもとで標本か ら計算された t-値が下限値以下や上 限値以上の値を取ったならば、われわ れは帰無仮説のもとでは起こりえそう もないことが起こったとして、帰無仮説 を捨てる。統計では、帰無仮説を棄却 するという。 帰無仮説の棄却とは？－３ 平均値の差の検定で、帰無仮説を棄 却することは、両条件の平均値に差 があることを意味する。 なぜならば、この場合の帰無仮説は 先ほど示したように、 H0 : であるから。 x＝ｙ 帰無仮説の採択とは？－１ 一方、帰無仮説のもとでは、標本から 計算される上記の t の値が上の図の 下限値から上限値の範囲に入る可能 性は 1-αである。 通常、ここでの α は 0.05 か 0.01 なの で、1-α の値は、通常 0.95 か 0.99 で ある。 帰無仮説の採択とは？－２ そこで、帰無仮説のもとで、標本から 計算された t-値が下限値から上限値 の範囲の値を取ったならば、われわ れは帰無仮説のもとでは起こりえそう なことが起こったとして、帰無仮説を 受け入れる。統計では、帰無仮説を 採択するという。 帰無仮説の採択とは？－３ 平均値の差の検定で、帰無仮説を 採択することは、両条件の平均値に 差がないことを意味する。 なぜならば、この場合の帰無仮説は 先ほど示したように、 H0 : であるから。 x＝ｙ 平均値の差の検定における t-分布の自由度はいくつ？－１ 既に第３章でもふれたように、一般 に t-分布の形を決めるパラメータは、 自由度と呼ばれる量で表される。 ただし、第３章での t-分布の自由度 νはサンプル数 N に対して、 ν=N-1 であった。 平均値の差の検定における t-分布の自由度はいくつ？－２ これに対して、第５章での t-分布の形 は第３章のそれとは異なる。その値は、 つぎに述べる、ある条件の違いにより、 テキスト p.22 末尾の Nx N y 2 となったり、 (5.8) 平均値の差の検定における t-分布の自由度はいくつ？－３ 同 p.23 の下方の (Wx Wy ) 2 W /( N x 1) W ( N y 1) 2 x 2 y となったりするので、注意せよ。 (5.12) t-分布の形を変える、 ある条件とは？－１ 平均値の差の検定では、２群の標本 が抽出される元の集団すなわち母集 団分布に正規分布が仮定される場合 （テキストでは、p.20 からの 5.2 節） には、t-統計量が用いられる。 t-分布の形を変える、 ある条件とは？－２ ただし、この場合、t-統計量そのも のが、２つの母集団の分散（母分 散）が等しいかどうかで、異なるも のになることがわかっている。これ が、t-分布の形を変える「ある条件」 である。 母分散の等質性の検定とは？－１ つまり、２群の母集団が正規分布に 従うとみなされる時、われわれは平均 値の差の検定に先立ち、２つの母集 団の分布の分散が等しいかどうかの 検定を行わないといけないのである。 母分散の等質性の検定とは？－２ この検定は、母分散の等質性の検 定と呼ばれ、つぎに示す、テキスト p.21 の最上部の (5.4) 式がそのた めの統計量であり、F は F-分布に従 うことが知られている。 U x s N x ( N y 1) F U y s N y ( N x 1) 2 x 2 y (5.4) F-分布の形状を決めるパラメータ F-分布の形は、t-分布と異なり２つの自由 度により決まる。テキスト p.21 の (5.4) 式 の F-分布の自由度は、テキスト p.20 の 末尾の下から２行目にあるように、２群の 標本のサンプル数をそれぞれ Nx, Ny とす ると、 x N x 1, y N y 1 F-分布の標準的な形状 F-分布の標準的な形状は、つぎのとおりであ る： F-分布 α/2 α/2 上側α/2％点 F1 2 2 F-統計量の実際の計算方法（１） テキスト p.21 の中ほどに書いたように、実際 のF-統計量の計算には、数表を用いる場合、 (5.4) 式ではなく、(5.5) 式を用いる、すなわち s N1 ( N 2 1) F s N 2 ( N1 1) 2 1 2 2 F-統計量の実際の計算方法（２） この式の分子の分散と分母の分散は、順に 2 1 s , 2 2 s , であるが、前者は、２群の標本での不偏分散の大 きい方に対応する分散でないといけないので、注 意が必要である。 F-統計量の実際の計算方法（３） うえに示した (5.4) 式の F は、両群のサ ンプル数 N1 及び N2 が等しい時、テキ スト p.22 の (5.6) 式、すなわち、 2 1 2 2 s F s (5.6) となり、両群のサンプルでの標本分散の 比の形に書ける。 平均値の差の検定の一連の手順 平均値の差の検定の一連の手順は、つぎのと おり： （１）最初に、分散の等質性の検定を行う。 （２）その結果、両群の分散が等しいと見なさ れる場合は、(5.9) 式の t の値を計算する。 （３）もし、両群の分散が等しいとみなせない 場合は、(5.10) 式の t’ の値を計算する。 分散の等質性の検定の手順 平均値の差の検定に先立つ、分散の等質性の検 定を行うには、テキスト p.26 の上部にあるように、 （１）2組の標本の平均を、それぞれ求める。 （２）2組の標本の分散を、それぞれ求める。 （３）テキスト p.22 の (5.6) 式により F-値を 計算する。 （４）テキスト p.24 の下方の、F-検定の危険率に 対応する棄却点の値と上の F-値を比較する。 F-統計量の実際の計算方法（１） テキスト p.21 の中ほどに書いたように、実際 のF-統計量の計算には、数表を用いる場合、 (5.4) 式ではなく、(5.5) 式を用いる、すなわち s N1 ( N 2 1) F s N 2 ( N1 1) 2 1 2 2 F-統計量の実際の計算方法 この式の分子の分散と分母の分散は、順に 2 1 s , 2 2 s , であるが、前者は、２群の標本での不偏分散の 大きい方に対応する分散でないといけないので 、注意が必要である。ただし、２群のサンプル数 が等しい場合は、単純に分散の大きい方を分子 に、小さい方を分母に取ればよい。 F-統計量の実際の計算方法（３） 前回、既に見たように、結局 F は両群のサン プル数 N1 及び N2 が等しい時、テキスト p.22 の (5.6) 式、すなわち、 2 1 2 2 s F s (5.6) となり、両群のサンプルでの標本分散の比の形 に書けるので、この式の値を求めればよい。 平均値の差の一連の検定 の危険率（１） 平均値の差の検定では、多くの場合分散 の等質性の有無が不明であるので、平均 値の差の検定に先立ち、分散の等質性の 検定を行う必要がある。 この時、両母集団の分散が等しい場合に は、分散の等質性の検定統計量 F と、平 均値の差の通常の検定統計量 t とは、互 いに独立であることが知られている（Hogg, 1961)、 平均値の差の一連の検定 の危険率（２） この時、両検定をそれぞれ危険率αで行う と、全体的な危険率α*は、テキスト p.24 の (5.14) 式のようになる。すなわち、 1 (1 ) , * となる。 2 平均値の差の一連の検定 の危険率（３） 例えば、それぞれの検定の危険率を 0.01 とすると、 * 1 (1 ) 2 , 1 (1 0.01) 0.0199 2 0.02 となり、危険率のインフレをまねく。 平均値の差の一連の検定 の危険率（４） これを避けるには、個々の検定の危険率 α は、全体の危険率を α* として、 1 1 * , にすればよい。これを実現するには、全体 の危険率α* =0.05 ならば、個々の危険率を およそ 0.025 に、α*=0.01 ならば、個々の 危険率をおよそ 0.005 に取ればよい。 分散の等質性の検定の手順 （１） もし諸君の標本での F-値が、演習時に指定され た危険率に対応する棄却点の値（テキスト p.24, 中程） 0.05 F (0.025 / 2) 2.9021, * 19 19 ( 0.01 F19 (0.005 / 2) 3.8616) * 19 未満ならば、等分散仮説を採択する。こ の場合、分散は等しいとみなされる。 分散の等質性の検定の手順 （２） それに対して、もし諸君の標本での F-値が、演 習時に指定された危険率に対応する棄却点の 値 0.05 F (0.025 / 2) 2.9021, * 19 19 ( 0.01 F19 (0.005 / 2) 3.8616) * 19 以上ならば、等分散仮説を棄却する。こ の場合、分散は異なるとみなされる。 両群の分散が等しいとみなされる時の、 平均値の差の検定の手順（１） 両群での分散が等しいとみなされる場合は、テ キスト pp.22-23 の t-統計量と対応する自由度 を計算する。すなわち、 t N x N y ( N x N y 2) X Y NxS N yS 2 x 2 y また、自由度は、 N x N y 2. Nx Ny , 両群の分散が等しいとみなされる時の、 平均値の差の検定の手順（2） t-統計量を計算し、自由度を計算 したら、最後にテキスト p.24 の下 方の、授業中に指定された危険 率に対応する「分散が等しいとき の t-検定の危険率と棄却点の値」 を見る。すなわち、 両群の分散が等しいとみなされる時の、 平均値の差の検定の手順（３） 標本での t-値がこの棄却点の値 0.05 t38 (0.025 / 2) 2.3337, * ( 0.01 t38 (0.005 / 2) 2.9803) * 未満ならば、等平均仮説を採択する。この 場合、平均値の差がないことを意味する。 両群の分散が等しいとみなされる時の、 平均値の差の検定の手順（４） 一方、授業中に指定された危険率に対応する 「分散が等しいときの t-検定の危険率と棄却点 の値」を見て、標本での t-値がこの棄却点の値 0.05 t38 (0.025 / 2) 2.3337, * ( 0.01 t38 (0.005 / 2) 2.9803) * 以上ならば、等平均仮説を棄却する。この 場合、両群の平均値に差があることを意味す る。