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ボルツマンの分布則
1. はじめに
2. 場合の数・確率と大数の法則
3. ボルツマンの分布則の意味
4. 演習問題
場合の数と確率
多数の古典的粒子からなる系において粒子は
平均的にどのような運動状態にあるか?
頭の体操
N個の同種の古典的粒子を{n1,n2}の組に
分ける分け方は何通り?
n
n
1
2
場合の数と確率
n
n
1
2
N個の粒子の並べ方:
N!
各組の中の並び方は関係ない(重複度
ni!)
N個の同種の古典的粒子を{n1,n2}の組に
分ける場合の数W
N!
W
n1! n2!
場合の数と確率
V
小空間V1内にn1個の気体
分子が,またV2内にn2個の
気体分子が存在する確率P
N n1 n2
N ! n1 n2
P
g1 g 2
n1! n2!
V1
V2
Vi
gi
V
気体分子の分布
V1 1
g1
V 2
V2 1
g2
V 2
N = 1の場合
1
1! 1
P1,0
1! 0! 2
1
P0,1
2
0
1 1
2 2
V
V1
V2
気体分子の分布
V
V1
N = 2の場合
2! 1
P2,0
2! 0! 2
1
2! 1
P1,1
1! 1! 2
1
P0, 2
4
2
0
1 1
2 4
1
1 1
2 2
V2
気体分子の分布
V
V1
N = 4の場合
4! 1
P4,0
4! 0! 2
4! 1
P3,1
3! 1! 2
4
3
4! 1
P2, 2
2! 2! 2
0
1
1
2 16
1
1 1
2 4
2
2
1 3
2 8
V2
気体分子の分布
N = 8の場合
8! 1
P8,0
8! 0! 2
8
8! 1
P7,1
7! 1! 2
1
1
2 256
7
1
1
2 32
6
2
8! 1
P6, 2
6! 2! 2
8! 1
P5,3
5! 3! 2
8! 1
P4, 4
4! 4! 2
0
5
4
1
7
1
2 64
3
7
1
2 32
4
35
1
2 128
気体分子の分布
1
P
N=1
0.5
N=2
N=4
0
N=8
0
0.5
n1/N
1
大数の法則
粒子数が多くなるほど、平均(期待値)
を外れる確率は小さくなる。
粒子数が多いと、確率が最大となる条件が
「常に」実現される。
何度も博打を打つと必ず損をする
ボルツマンの分布の意味
気体分子のエネルギーはε1、ε2 、・・・・εr
のいずれかの値を取るとする。
・ すべての気体分子をr個の組に振り分ける
{n1、n2、・・・・nr}
ε1、ε2、・・・・εr
・各振り分け方に対する確率P を求める
・最も大きな確率を持つ振り分け方
{n1、n2、・・・・nr}の物理的意味?
εr
nr
エ
ネ
ル
ギ
ー
.
.
.
.
ε2
n2
ε1
n1
r個
ボルツマンの分布の意味
・N個の分子が{n1、n2、・・・・nr}の状態を取
る確率
N! 1
P
n1!n2! nr ! r
N
N
1
log P log N!
r
log n1! log n2 ! log nr !
確率が最大となる条件が実現される
P
確
率
LogP
分子数
n
i
ボルツマンの分布の意味
スターリングの公式を使う
log m! m(log m 1)
m 1
N
1
log P log N!
r
n1 (log n1 1) n2 (log n2 1) nr (log nr 1)
log P
1
ni (log ni 1) (log ni 1) ni ( )
ni
ni
ni
log ni
εr
nr nr nr
ε2
.
.
.
.
n2 n2 n2
ε1
n1 n1 n1
エ
ネ
ル
ギ
ー
r個
ボルツマンの分布の意味
P が最大値となる場合、ni ni ni だけ変化
させてものP 値は変化しないはず。 (P は極値!)
log P
log P
log P
n1
n2
n1
n2
log n1 n1 log n2 n2
r
log ni ni 0
i 1
ボルツマンの分布
エネルギー i をもつ粒子の数 ni は
ni n0 exp(
i
kT
1
ここで
kT
r
log n n
i
i 1
i
) exp( i )
n0 exp( )
r
i ni
i 1
r
r
i 1
i 1
ni i ni 0
ボルツマンの分布の意味
粒子数保存則
r
n
0
i
i 1
n1 n2 nr N
エネルギー保存則
r
n
i 1
i
i
0
確率P が最大
n11 n2 2 nr r E
log P 0
ボルツマン因子
ε
(
エ
ネ
ル
ギ
ー
)
p( ) exp(
高温
kT
ε2
ε1
低温
p(確率)
)