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黒体輻射とプランクの輻射式
1. プランクの輻射式
2. エネルギー量子
プランクの定数（作用量子）ｈ
3. 光量子
4. 固体の比熱
黒体輻射
Rayleigh-Jeansの式
Ｗｉｅｎの輻射公式
λＴが大きい時
良く合う
λＴが小さい時
良く合う
1
1
光
強 0.5
度
0
0
1750K
2
6
4
波長（μｍ）
光
強 0.5
度
0
0
1750K
2
6
4
波長（μｍ）
Ｐｌａｎｃｋの式
Ｗｉｅｎの輻射公式
Rayleigh-Jeansの式
8 3ka a T
u d 
e
d
3
c
8 2kT
u d 
d
3
c
2式をつなぐ
内挿式
8
0
u d  3 0 kT
d
c e
1
2
振動モード
各々の振動モードは、振り子に対応する。
振り子のエネルギーはとびとびの値をとる。
0
2 0
30
30
0
30
0
0
2 0
0
30
2 0
0
4 0
0
2 0
0
2 0
0
空洞中の振動子
熱平衡
熱
浴
（
温
度
Ｔ
）
温度T
相互作用
相互作用
プランクの仮定
・一定の時間が経過すると系の全ての部分の
温度が等しくなる（熱平衡状態）。
・熱平衡状態では、系の全ての部分で光の
放出（輻射）と吸収がつり合う。
・黒体の温度がＴならば、輻射場（光の各モード）
の温度もＴとなる。
・光の各モードは「振り子」に置き換えられる。
・「振り子」のエネルギーは温度Tでのボルツマン
の分布ｐ（ε）に従う。
・ただし「振り子」のエネルギーはε0の倍数
プランクの振り子のエネルギー分布
エ
ネ
ル
ギ
ー
6 0
5 0
4 0
3 0
2 0
0
席の数
n0
)
占有率 p(n0 )  exp(
kT
Ｐｌａｎｃｋの式
ボルツマンの分布則
n0
p(n0 )  Aexp(
)
kT
振り子の平均エネルギー


n
n 0

0
p(n 0 )
 p(n0 )
n 0

0
e
 0
1

0
 0 kT
e


n e
n 0

1
 の計算
 n 0
0
 n 0
e

n 0
n は自然数
1
  と置く
kT



log  en0

n 0
Ｐｌａｎｃｋの式

0
0 kT
e
1
振動数がνからν+ｄνの間にある
輻射のエネルギー
0
8 2
u d  D d  3  0 kT
d
c
e
1
Ｗｉｅｎの変位則と矛盾しないためには
0  h
ここで
h  6.62510 J  s
34
Ｐｌａｎｋの定数（作用量子）
Ｐｌａｎｃｋの式
振動数がνからν+ｄνの間にある
輻射のエネルギー
8h
1
u d  D d 
 h kT
d
3
c
e
1
3
1
光
強 0.5
度
0
0
1750K
2
6
4
波長（μｍ）
Ｐｌａｎｃｋの式
Ｗｉｅｎの輻射公式
Rayleigh-Jeansの式
8h 3 h kT
u d 
e
d
3
c
8 2kT
u d 
d
3
c
h kT  1
h kT  1
の時
の時
8h
1
u d 
d
3
h kT
c
e
1
3
エネルギー量子
Planckの量子仮説
振動子には、最小のエネルギーの単位として
ε0＝ｈνが存在し、振動子のエネルギーは
その整数倍に限られる。
エネルギー量子
最小のエネルギーの単位ε0＝ｈν
光量子
Einsteinの光量子仮説（1905）
振動数がνの光はε0＝ｈνのエネル
ギーをもつ粒子である。
この粒子を光量子（光子）と呼ぶ。
光量子仮説
・光電効果を説明できる。
・コンプトン効果を説明できる。
振り子のエネルギー
Ｐｌａｎｃｋ：振り子のエネルギーはとびとびの値をとる。

h
2h
3h
h
eh kT  1
エネルギーの分配は
振り子の振動数に依存
Ｂｏｌｔｚｍａｎｎ：振り子のエネルギーは任意の値を取り得る。
エネルギー等分配の法則
  kT
エネルギーの分配は
振り子の振動数によらない
ν
周
波
数

モードの数
プランクの定数

エネルギー等分配の法則
h
h kT
e
1
エ
ネ
ル
ギ
ー
  kT
h 0
エ
ネ
ル
ギ
ー
状態密度
連
続
状態密度
ボルツマンの振り子の平均エネルギー
全エネルギー
平均エネルギー＝
振り子の数

i p(i )D
  lim
n1
 0 
 p(i )D
n1




0
-


D  p( )d
0

D p( )d
0

 e kTd

0
-

e kTd
 kT
ボルツマン分布

p   e kT
-
ボーズ・アインシュタイン統計
振動数がνの振り子のエネルギー
3h
h

h
e
h kT
量子1個のエネルギー
1
 h
2h
1
e
h kT
1
温度がＴの場合、振動数νの振り子には
平均して何個のエネルギー量子があるか
ボーズ・アインシュタイン分布
光電管
真空
I
強い光
- -
光
弱い光
0
V
-V0
A
V
光電子の運動エネルギー
E=eV0
光電管
陰極
-
-
V＞0
陽極
-
-
-
陰極
陽極
陰極
V＝0
-
V＜0
陽極
光電効果
・飛び出る光電子のエネルギーは照らす光の
強さに無関係である。
・照らす光の強さを大きくすると電流が増える。
・飛び出る光電子のエネルギーは照らす光の
振動数に関係し、振動数が大きいほど光電
子のエネルギーも大きい。
電
子
の
eV0 エ
ネ
ル
ギ
ー
光の振動数ν
光電効果
Einsteinの考え
運動エネルギー（eV0）
真空
光（ｈν）
- 金属
光はエネルギーｈνを
一挙に電子に与える。
光電効果
古典論
真空
金属
光
コンプトン散乱
光は粒子（光子）として振舞う！
電子
θ
X線（光）
光子のエネルギー： Eph  h
光子の運動量：
p ph 
h

固体の比熱
エネルギー等分配の法則
  kT

h 0
e
h 0 kT
1
ν0：原子の振動（フォノン）の振動数
3つの振り子
固体の比熱
U  3L 
h 0
e
h 0 kT
 0 ：原子のバネの
振動数
1
Q U
e
 h 0 
Cv 

 3R
 h
T T
 kT  e 0
h 0 kT
2

kT

1
2
デュロン・プチの法則
CV/3R
1
h 0

k
0.5
0
Θ（デバイ温度）
T
問題1


 n 0
n

e
 0
n 0

e
n0
 n 0

0
e
 0
1
を証明せよ。
問2
Ｐｌａｎｃｋの式
8h
1
u d 
 h kT
d
3
c
e
1
3
は、Ｗｉｅｎの変位則を満たすことを証明せよ。
問3
Ｐｌａｎｃｋの式は、 h kT  1の時Ｗｉｅｎの輻射式に、
また、 h kT  1 の時Rayleigh-Jeansの輻射式に
一致することを証明せよ。