Transcript I t

オペレーションズリサーチA
第１３回(2011/01/14)
• ロットサイズ決定問題
–
–
–
–
問題紹介、定式化、最適解の特徴
凸集合，凸多面体，端点，凸関数，凹関数
凹関数の（有界）凸多面体上での最適化
動的計画解法
1
3次元3目並べ
Three-dimensional Noughts and Crosses
• 27個の箱が図のように3×3×3の立方体
の形に組まれている。三つの箱が,縦,横,
あるいは斜めの1直線上にあるとき、「線
をなす」という。斜めの線は、縦横の断面
上のものと、立方体の反対の頂点を結ん
だものがある。線は全部で49本ある。
• 13個の白い球(○)と14個の黒い球(●)が
ある。これらの球を立方体を構成する
個々の箱に一つずつ入れる。このとき,同
じ色のボールのみからできている線の数
を最小にしたい。
2
3次元3目並べ
3
• 各マスに1から27まで番号をつける
• 各マスj（j＝1,…,27)に白なら0、黒なら1という
0-1変数xjを定義
• 49本の「線」にも番号をつける
• ｉ 番目の線に関わるマスの番号がi1,i2,i3とする
• ｉ 番目の線が同色ｘi1＋ｘi2＋ｘi3＝0 or 3 →δi＝1
( 対 偶 ） δi ＝ 0→ ｉ 番 目 の 線 が 同 色 で な い
δi＝0→ ｘi1＋ｘi2＋ｘi3≧1 and ｘi1＋ｘi2＋ｘi3≦2
• 0-1変数xjの合計Σj=1,…,27 xj ＝14
• 目的関数はΣi=1,49δiの最小化
動的ロットサイズ決定問題
Wagner-Whitin（WW)モデル
期(月)
需要 dt
変動費 vt
1
40
10
2
35
12
3
50
12
4
20
11
5
30
11
6
35
10
• 計画期間T=6，各期の需要dt
• t期に生産する場合の段取り費（製造固定費）は生産量
に関係なく at＝100（万円），∀t
• t期に生産する場合の製造単価（製造変動費）は製品あ
たり vt（万円），∀t
• t期末の在庫に対する、製品1個当たりの在庫保管費ht
＝2（万円），∀t
• 生産は瞬時； 品切れは不許可
• 総費用を最小にする生産計画を決めたい
4
WWモデルの特徴
• １品種のロットサイズ決定問題
• EOQ（経済発注量）モデル、EOQ公式の動的な拡張
– EOQモデルは、一定スピードの需要を想定した静的モデ
ルであるのに対して、WWモデルでは時間とともに変動す
る動的需要を扱う
• 「期」（月、週など）という概念のある有限期間を想定
した離散時間モデル（EOQは無限期間を想定した連
続時間モデル）
• WWモデルにおいて、需要量が時間とともに変化し
ないものとし、1期の長さを十分短くしていくとEOQモ
デルに一致する（EOQモデルの一般化・拡張）
5
6
経済発注量EOQ
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Economic order quantity
発注費K円/1回
在庫費h円/個・日
1回の発注量q
総費用K+h{q(q/θ)/2}
単位時間あたり
v(q)=Kθ/q+hq/2
v(q)を最小⇒d v(q)/ dq=0
経済発注量q*=√(2Kθ/h)
発注間隔 t*= √(2K/θh)
v(q*)= √(2Kθh)
単位時間（1
日）あたり需要
θ
θ
発注量
q
θ
θ
θ
発注間隔 q/θ
•q*=63.25
•v(q*)=632.5
q
Kθ/q
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
1000
666.6666667
500
400
333.3333333
285.7142857
250
222.2222222
200
181.8181818
166.6666667
153.8461538
142.8571429
133.3333333
hq/2
100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
600
650
700
750
• K=200円
• h=10円/日・個
• θ=100個/日
総費用v(q)
1100
816.66667
700
650
633.33333
635.71429
650
672.22222
700
731.81818
766.66667
803.84615
842.85714
883.33333
1200
発注費用
在庫費用
総費用
1000
800
費用
数値例
7
600
400
200
0
0
50
100
発注量
150
200
8
WWモデルの定式化１
最小化 z＝Σt=1,…,T（pt(xt)＋htIt）
制約
It-1＋xtーdt ＝ It ， ∀t （流量保存）
It≧0（品切れ不許可）， xt≧0， ∀t
I0＝0， IT＝0
製造費pt(xt)は以下のように表される
pt(xt)＝ at＋vt xt
xt＞0のとき
xt
＝ 0
xt＝0のとき
t
It-1
dt
It
WWモデルの定式化２
最小化 z＝Σt=1,…,T（ at yt＋vtxt＋htIt）
制約 It-1＋xtーdt ＝ It ， ∀t （流量保存）
xt＞0 ⇒ yt＝1
(yt：t期に製造を行うとき1,
製造を行わないとき0）
（対偶をとりyt＝0 ⇒ xt＝0（or xt≦0）を表すよ
うにするには）
xt≦M yt ただしMは十分大きい正数
It≧0（品切れ不許可）， xt≧0， ∀t
I0＝0， IT＝0
9
線形計画問題の実行可能解の
集合は凸集合
10
• 凸集合(convex set)：＜幾何的＞ 2点x,y∈S⊆Rnを結
ぶ線分上のすべて点が集合Sに含まれる集合
• 凸結合(convex combination)
2点x , y∈Rnの凸結合とは、
z ＝ λx ＋ (1－λ)y，λ∈R1，0≦λ≦1
• 凸集合：＜代数的＞ 集合S⊆Rnに対して、2点
x,y∈Sのすべての凸結合が集合Sに含まれる集合
• 例： 線形不等式の共通集合として表わされる解の
集合は凸集合を構成する
凸集合
11
定義 凸集合(convex set)
集合S⊆Rnは、2点x,y∈Sのすべての凸結
合が集合Sに含まれるとき凸集合という
ABJO S1＝｛x＝(x1,x2)： x2≦3，x1+x2≦4，x≧0｝
ODH S2＝ ｛x＝(x1,x2)： ーx1+x2≦0, 3x1ーx2≦8，x≧0｝
KFGO S3＝ ｛x＝(x1,x2)： x2≦1，x1≦5，x≧0｝
x∈ S1 ∩S2∩S3
x∈ S1 ∪S2∪S3
黒の領域
は凸集合
ではな
い！！
有界凸多面体(Convex Polytope) 12
• Ｒnの超平面(hyperplane) は、すべてのａjが０でない
とし、
ａ１ｘ１＋ａ２ｘ２＋…＋ａｎｘｎ＝ｂ
を満たす点の集合である。
• 超平面により、二つの（閉）半空間が定義される
ａ１ｘ１＋ａ２ｘ２＋…＋ａｎｘｎ≧ｂ
ａ１ｘ１＋ａ２ｘ２＋…＋ａｎｘｎ≦ｂ
• 半空間は凸集合； 凸集合の共通集合は凸集合
• 複数の半空間の共通集合が、空でなく、かつ有界で
あるとき、凸多面体(convex polytope)、または、単に
多面体(polytope)と呼ぶ
• 数理計画では、非負象限における凸多面体を考えることが多
い
13
凸関数
定義 凸関数(convex function)
凸集合S⊆Rnに対して、関数ｆ ：S→R1はS
上の2点x, y∈Sに対して
ｆ (λx＋(1－λ)y)≦ λｆ (x)＋(1－λ)ｆ (y)
λ∈R1，0≦λ≦1
f(x)
のときS上の凸関数という
凸関数の和は
凸関数
x
ｆ (λx＋(1－λ)y) ≦ λｆ (x)＋(1－λ)ｆ (y)
14
ｆ (x)
ｆ (y)
ｆ (x)
λｆ (x)＋(1－λ)ｆ (y)
ｆ (λx＋(1－λ)y)
1-λ
x
λx＋(1-λ）y
λ
y
x
15
凹関数
定義 凹関数(concave function)
凸集合S⊆Rn上の関数ｆ は、－ｆ が S上の
凸関数であるとき、凹関数という
ｆ (x)
凹関数の和も
凹関数
ｆ (λx＋(1－λ)y) ≧ λｆ (x)＋(1－λ)ｆ (y)
x
16
凸多面体と頂点（端点）
• 有界な凸多面体に属するすべての点は、そ
の頂点（端点）の凸結合として表現できる
• 有界な凸多面体S∈Rnの頂点をx1, x2 , ．．． ,
xp ∈Rnとすると、凸多面体Sに属する任意の点
zは
z ＝ Σi =1,…,pλi x i，
Σi =1,…,pλi ＝1， 0≦λi≦1， λi∈R1
と表わせる
凹関数の凸多面体上での最小化17
端点の中に最適解あり
• WWモデルの目的関数
は凹関数
• 可能解の集合は有界な
凸多面体
定理4.1 凹関数を有界な
凸多面体上で最小化す
るとき、凸多面体の端
点の中に最適解となる
ものがある
pt
（xt）
xt
LPはどうか？
凹関数最小化：考え方
定理4.1 凹関数を有界な凸多面体上で最小化するとき、
凸多面体の端点の中に最適解となるものがある
証明は各自 （解答は最後のスライド、ppt29を参照のこと）
18
19
WWモデルの端点解の性質(1)
定理4.2 WWモデル
の可能解集合の端
点解は、 It－1 xt ＝0
という性質を満足す
る．すなわち、tー1
期末在庫It－1、また
は、t期生産量 xtの
少なくともいずれか
一方が0．
x
x＝(1/2)x+ + (1/2) x－
よって、 xは端点解ではない
端点解の図示
20
• It－1 xt ＝0： 2通りの場合がある
• 第t-1期末においてIt－1=0かつxt ＞0
• 第t-1期末においてIt－1＞0かつxt ＝0
It-1
xt
t
It
dt
It－1=0かつxt ＞0
It-1
xt
t
It
dt
It－1=0かつxt ＞0
WWモデルの端点解の性質(2)
Zero－Inventory Property
21
• 性質１ t期に生産する（xt＞0）ということは、
t ー1期末在庫が0 （It－1＝0）である．
• 性質２ t期に生産する場合、t期の生産量
xtはt期に始まり、向こう何期分かの需要に
見合う量である．
– t期の生産量xtはdt ，dt +dt+1， dt +dt+1+dt+2，
．．．， dt +dt+1+dt+2 +･･･ +dTのいずれか（ただ
し、Tは計画期間の長さ）
WWモデルの
22
動的計画法（DP）による解法
• t期の生産量xtはdt ，dt +dt+1， dt +dt+1+dt+2，
．．．， dt +dt+1+dt+2 +･･･ +dTのいずれか
• ctk＝t期からk-1期の需要に見合う量をt期の生産量
xt ＝ dt +dt+1+dt+2 +･･･ +dk-1としたときのt期からk-1
期の総費用（ctkはあらかじめ計算可能）
• ｆt＝ tー1期末在庫It－1が0のときに、 t期以降
（T期末まで）を最適に計画したときのt期以降
の最小費用
• ｆt＝mink=t+1,…,T+1｛ctk ＋ｆk ｝ （DPの漸化式）
ただし、ｆT+1 ＝ 0 （境界条件）
動的計画法（DP）の漸化式
23
• ctk＝t 期からk-1期の需要に見合う量を t 期の生
産量xt としたときの t 期から k-1 期の総費用
c  a  v (d  d  d )
 h (d    d )  h (d
 a  v d  h d
tk
t
t
t 1
t
t 1
t
k 1
k 1
t
t
j t
k 1
k 2
t
i t
t 1
t 2
   d k 1)    hk 2 (d k 1)
k 1
i
j i 1
j
•ｆt＝mink=t+1,…,T+1｛ctk ＋ｆk ｝ （DPの漸化式）
ただし、ｆT+1 ＝ 0 （境界条件）
t
k
T
動的計画法（DP）の漸化式
授業とは異なるバージョン
24
ｆｔ（Iｔ-1）： ｔ －１期末の在庫がIｔ-1のときの、ｔ 期からT 期
末までの最小費用
ｆｔ（Iｔ-1 ）＝
ｍｉｎｘ｛100＋2*（Iｔ-1 ＋ｘ－dt）＋ｆt+1（ It-1 ＋ｘ－dt）, x>0；
2*（It-1 －dt）＋ｆt+1（ It-1 －dt）, x＝0｝
25
最適解
26
1620
1
2
710
3
4
450
5
6
700
920
430
980
7
動的ロットサイズ決定問題
の拡張
27
• １品種問題から多品種問題への拡張
• 多品種になった場合には、品種間の競合（ど
の品種をどういう順番で生産するかの順序づ
け）を考慮するか否か
– 品種間のスケジューリングを考慮しないモデル
多品種ロットサイズ決定問題
– 品種間のスケジューリングを考慮するモデル
ロットスケジューリング決定問題
（段取り時間を考慮しない／するモデル）
28
宿題１３
１３．１ スライド18の定理4.1（凹関数の凸多
面体上での最小化は、凸多面体の端点で
達成）を証明せよ。
１３．２ スライド4のWagner-Whitinモデルを
動的計画法によって解け。ただし、製造費
として、製造固定費のみを考慮し、製造変
動費は考慮しないものとする。
凹関数最小化：考え方
定理4.1 凹関数を有界な凸多面体上で最小化するとき、
凸多面体の端点の中に最適解となるものがある
あるn点x1,...,xn の凸結合で表される x*= ∑i=1nλi xi , ∑i=1nλi
=1
を考える。このとき、f(x)が凹関数であるから、
f(x*)=f(∑i=1nλi xi )≧ ∑i=1nλi f(xi)
となる。min f(xi)= f(xk) とすると、
f(x*)=f(∑i=1nλi xi )≧ ∑i=1nλi f(xi) ≧ ∑i=1nλi f(xk) = f(xk)
となる。これより、
f(x*) ≧f(xk)
29