OR-A**3

Transcript OR-A**3

「ORーA」第14回
2012/01/20
• 宿題の定式化（略解）
–
–
–
–
–
–
ハブ＆スポークネットワークの設計（宿題11.2）
本社機能の分散（宿題11.1）
格差最小の議員定数配分（宿題10.2）
3次元3目並べ（宿題10.1）
凹関数の凸多面体上での最小化（宿題13.1）
Wagner－Whitinモデル（宿題13.2）
• 双対単体法
1
ハブ＆スポークネットワークの設計
2
ハブ＆スポーク定式化
所与のデータ
• ｈij ＝点ｉと点ｊ間の輸送需要
• cij ＝ノンハブ点ｉからハブ点ｊにの間の単位
需要当たりの輸送費用
• α＝ハブ間の輸送費用に対するディスカウント
ファクタ
ハブ間の単位需要当たりの輸送費用はα＊ｃij
• p ＝ハブの数
3
ハブ＆スポーク定式化
変数
• zij＝1 ノンハブ点ｉがハブ点ｊに接続して
いるとき（ｉ ≠ｊの場合）
＝0 そうでないとき
• zii＝1 点ｉがハブであるとき
＝0 そうでないとき
4
ハブ＆スポーク定式化
０－１二次計画問題
最小化 z ＝ΣiΣjΣ kΣm hij （cikzik ＋αckmzikzjm＋ cjmzjm ）
制約条件 Σj zij ＝1， ∀i
点iはハブかいずれかのハブに接続
Σi zii ＝p ， ∀i ハブはp個
zij－zjj≦0 ， ∀i，j
ノンハブには接続不可
zij ∈{0,1}, ∀i，j
接続不可制約の代替案 Σi zij－(n-p+1)zjj≦0 ，∀j
5
ハブ＆スポーク線形の定式化
変数の取り方
• zijkm＝1 点i ,点j 間の輸送がハブ点kとハブ
点mを経由するとき
＝0 そうでないとき
• xi ＝1 点i がハブであるとき
＝0 そうでないとき
• この定式化では変数の個数がn4のオーダー
• 定数cijkm＝ cik ＋α ckm＋ cmj を定義
6
ハブ＆スポーク定式化
（線形）整数計画問題
最小化 z ＝ΣiΣjΣ kΣm hij cijkmzijkm
制約条件 Σk Σm zijkm ＝1， ∀i，j
点iは点j間は、ハブkとハブmを経由
xi
Σi xi ＝p ，
∀i ハブはp個
zijkm－xk≦0 ， ∀i，j,k,m
zijkm－xm≦0 ， ∀i，j,k,m
ノンハブには接続不可
zijkm ∈{0,1}, ∀i，j,k,m
xi ∈{0,1},
∀i
7
本社機能分散問題のデータ(1)
• 再配置による利益は以下の通り(単
位:1000万円／年〕
Pij＝部門 i を都市 j に配置したときの
利益 A
B
C
D
E
X
Y
Z
0
10
10
0
15
20
0
10
15
0
20
15
0
5
15
8
本社機能分散問題のデータ(2)
• Cikは部門iと部門kとの間の年間通信量
• Djl は都市jと都市lとの間の単位当たりの
通信費
• 部門i を都市j に配置し、部門kを都市l に
配置したときの通信費はCikDｊl
A
B
C
D
通信量　C ik （単位：1000万円）
A
B
C
D
0.0
1.0
1.5
1.4
1.2
0.0
E
0.0
0.0
2.0
0.7
Y
Z
X
単位通信費　D jl (単位：万円）
Y
Z
X
5
14
13
5
9
10
9
本社機能分散問題の定式化
• 変数：
δij＝1 部門i を都市j に配置するとき
（ただし、i ＝A,B,C,D,E； j ＝X,Y,Z）
δij＝0 部門i を都市j に配置しないとき
• 制約条件：
Σjδij＝1，
Σiδij≦3，
i＝A,B,C,D,E（各部門は1都市に配置）
j ＝X,Y,Z（特定の都市には高々3部門）
• 目的関数（＝総費用＝総通信費－利益）：
Σij kl; i < k Cik DjlδijδklーΣij Pij δij
10
本社機能分散問題に対する
整数2次計画問題
最小化 z ＝Σij kl; i < k Cik Djlδijδkl－Σij Bij δij
制約条件 Σjδij＝1，
i＝A,B,C,D,E
（各部門は1都市に配置）
Σiδij≦3，
j ＝X,Y,Z
（特定の都市には高々3部門）
δij∈{0,1}, ∀ｉ，ｊ
δij＝1(0) 部門iを都市jに配置する（しない）
11
特殊な定式化の応用
宿題１０．２以下のシナリオを定式
化せよ
• ある議会の議員定員はM人である
• 議員はN（＜M）個の選挙区から選挙され
る
• 選挙区jの人口（選挙権を持つ人の人口）
ｐjは既知である
• 人口1人当たりの議員数（逆に、議員1人
当たりの人口、でもよい）の最大値と最小
値の差を最小化する議員定数の配分（各
選挙区の議員定数）を決めたい
12
「格差最小」の議員定数配分
Min z = ｕーｖ
s.t. ｘj／ｐj ≦ u，
ｊ＝１，．．．，N
ｘj／ｐj ≧ ｖ，
ｊ＝１，．．．，N
∑ ｘj ＝ M
ｘj ≧ 1 かつ整数
ｘj ＝選挙区ｊの定員
ｕ＝この問題を解くとｘj／ｐjの最大値
ｖ＝この問題を解くとｘj／ｐjの最小値
13
3次元3目並べ（配布資料p.1６）
• 各マスに1から27まで番号をつける
• 各マス j （ j ＝ 1,…,27) に白なら 0 、黒なら 1 という
0-1変数xjを定義
• 「線」に番号をつける（「線」は何本あるか？）
• 同色の線の本数を数え，その本数を最小化する
14
3次元3目並べ
• 各マスに1から27まで番号をつける
• 各マスj（j＝1,…,27)に白なら0、黒なら1という
0-1変数xjを定義
• 49本の「線」にも番号をつける
• ｉ番目の線に関わるマスの番号がi1,i2,i3とする
• ｉ番目の線が同色ｘi1＋ｘi2＋ｘi3＝0 or 3 →δi＝1
(対偶）
δi ＝ 0→ ｉ番目の線が同色でない
δi＝0→ ｘi1＋ｘi2＋ｘi3≧1 and ｘi1＋ｘi2＋ｘi3≦2
• 0-1変数xjの合計Σj=1,…,27 xj ＝14
15
• 目的関数はΣi=1,49δiの最小化
3次元3目並べ（続き）
• ｉ番目の線が同色ｘi1＋ｘi2＋ｘi3＝0 or 3 →δi＝1
(対偶）
δi ＝ 0→ ｉ番目の線が同色でない
δi＝0→ ｘi1＋ｘi2＋ｘi3≧1 and ｘi1＋ｘi2＋ｘi3≦2
• たとえば， δi＝0 → ｘi1＋ｘi2＋ｘi3≦2
は，公式にしたがって，
ｘi1＋ｘi2＋ｘi3ー 2≦0
ｘi1＋ｘi2＋ｘi3ー 2≦ □δi
ｘi1＋ｘi2＋ｘi3ー 2≦ δi
∴ ｘi1＋ｘi2＋ｘi3ー δi≦2
□は左辺の上界＝1
• 同様に， δi＝0 → ｘi1＋ｘi2＋ｘi3≧1 を数式化
16
凹関数の凸多面体上での最小化
端点解に最適解あり（宿題13.1）
宿題13.1 凹関数を有界な凸多面体上で最小化するとき、
凸多面体の端点の中に最適解となるものがある
あるn点x1,...,xn の凸結合で表される x*= ∑i=1nλi xi , ∑i=1nλi
=1
を考える。このとき、f(x)が凹関数であるから、
f(x*)=f(∑i=1nλi xi )≧ ∑i=1nλi f(xi)
となる。Mini f(xi)= f(xk) とすると、
f(x*)=f(∑i=1nλi xi )≧ ∑i=1nλi f(xi) ≧ ∑i=1nλi f(xk) = f(xk)
となる。これより、
f(x*) ≧f(xk)
17
宿題13.2 Wagner-Whitinモデル
• ｆt＝ tー1期末在庫It－1が0のときに、 t期以降（T期末まで）を最適に計画した
ときのt期以降の最小費用
• ｆt＝mink=t+1,…,T+1｛ctk ＋ｆk ｝（DPの漸化式）
ただし、ｆT+1 ＝ 0 （境界条件）
• ｆ7＝ 0 （境界条件）
• ｆ6＝ min｛c67 ＋ｆ7 ｝＝100＋0＝100， k*＝7（最適なkの値）
• ｆ5＝ min｛ c56 ＋ｆ6 ，c57 ＋ｆ7 ｝＝min｛100＋100，170＋0｝
＝ min｛200，170｝＝170， k*＝7
• ｆ4＝ min｛ c45 ＋ｆ5 ， c46 ＋ｆ6 ，c47 ＋ｆ7 ｝
＝min｛100＋170，160＋100，300＋0｝
＝ min｛270，260，300｝＝260， k*＝6
• ｆ3＝ min｛ c34 ＋ｆ4 ， c35 ＋ｆ5 ， c36 ＋ｆ6 ，c37 ＋ｆ7 ｝
＝min｛100＋260，140＋170，260＋100，470＋0｝
＝ min｛360，310，360，470｝＝310， k*＝5
• ｆ2＝ min｛ c23 ＋ｆ3 ， c24 ＋ｆ4 ， c25 ＋ｆ5 ， c26 ＋ｆ6 ，c27 ＋ｆ7 ｝
＝min｛ 100＋310， 200＋260，280＋170，460＋100，740＋0｝
＝ min｛410，460，450，560，740｝＝410， k*＝3
• ｆ1＝ min｛ c12 ＋ｆ2 ， c13 ＋ｆ3 ， c14 ＋ｆ4 ， c15 ＋ｆ5 ， c16 ＋ｆ6 ，c17 ＋ｆ7 ｝
＝min｛ 100＋410，170＋310， 370＋260，490＋170，730＋100，1080＋0｝
＝ min｛510，480，630，660，830，1080｝＝480， k*＝3
18
宿題13.2 Wagner-Whitinモデル（続き）
• ｆt＝ tー1期末在庫It－1が0のときに、 t期以降（T期末まで）を最適に計画した
ときのt期以降の最小費用
• ｆt＝mink=t+1,…,T+1｛ctk ＋ｆk ｝（DPの漸化式）
ただし、ｆT+1 ＝ 0 （境界条件）
• ｆ7＝ 0 （境界条件）
• ｆ6＝ min｛c67 ＋ｆ7 ｝＝100＋0＝100， k*＝7（最適なkの値）
• ｆ5＝ min｛ c56 ＋ｆ6 ，c57 ＋ｆ7 ｝＝170， k*＝7
• ｆ4＝ min｛ c45 ＋ｆ5 ， c46 ＋ｆ6 ，c47 ＋ｆ7 ｝＝260， k*＝6
• ｆ3＝ min｛ c34 ＋ｆ4 ， c35 ＋ｆ5 ， c36 ＋ｆ6 ，c37 ＋ｆ7 ｝＝310， k*＝5
• ｆ2＝ min｛ c23 ＋ｆ3 ， c24 ＋ｆ4 ， c25 ＋ｆ5 ， c26 ＋ｆ6 ，c27 ＋ｆ7 ｝＝410， k*＝3
• ｆ1＝ min｛ c12 ＋ｆ2 ， c13 ＋ｆ3 ， c14 ＋ｆ4 ， c15 ＋ｆ5 ， c16 ＋ｆ6 ，c17 ＋ｆ7 ｝
＝min｛ 100＋410，170＋310， 370＋260，490＋170，730＋100，1080＋0｝
＝ min｛510，480，630，660，830，1080｝＝480， k*＝3
• 以上から，最小費用は480．最小費用を達成する最適生産計画は，
1期に（ｆ1を達成するk*=3だから），1期と2期分の需要量75を作る
3期に（ｆ3を達成するk*=5だから），3期と4期分の需要量70を作る
5期に（ｆ5を達成するk*=7だから），5期と6期分の需要量65を作る
19
双対単体法
20
例題を双対単体法で解く
min w = 14 y１ + 8 y２ + 18 y３
s.t.
y１ + y２ + 3 y３ ≧ 2
2 y１ + y２ + y３ ≧ 3
y１≧0, y2≧0, y3≧0
（P＝） min w = 14 y１ + 8 y2 + 18 y3
s.t.
y１ + y2 + 3 y3 － y4
＝2
2 y１ +
y2 + y3
－ y5 ＝ 3
y１≧0, y2≧0, y3≧0, y4≧0, y5≧0
（P＝）’ min w = 14 y１ + 8 y2 + 18 y3
s.t.
ー y１ー y2 ー 3 y3 ＋ y4
＝ー 2
ー2 y１ー y2 ー y3
＋y５＝ー3
y１≧0, y2≧0, y3≧0, y4≧0, y5≧0
（P）
問題（P＝）’を双対単体法で解く
目的関数行は最小化に
関して最適を示している
元問題を双対単体法で解く
w
1
0
0
w
1
0
0
w
1
0
0
y1
-14
-1
-2
y2
-8
-1
-1
y3
-18
-3
-1
↓
y1
y2
y3
0
-1 -11
0 -1/2 -5/2
1 1/2 1/2
y1
0
0
1
y2
0
1
0
y3
-6
5
-2
y4
0
1
0
y5
0
0
1
右辺基底 No.0
定数変数
0
w
-2
y4
-3
y5
解は実行可能解でない
１）軸の行の決定：基
底変数の値が負の行
y4
y5
0
-7
1 -1/2
0 -1/2
右辺基底 No.1
定数変数
21
w
-1/2 y4 ←
3/2 y1
２）軸の列の決定：「比
の計算」（ただし、軸の行の
y4
-2
-2
1
右辺基底 No.2
定数変数
22
w
1
y2
1
y1
３）軸演算（今までと同
じ）
終了判定：ステップ１で
負の値をとる基底変数
が見つからないとき
y5
-6
1
-1
要素の値が負の列だけが対
象）
問題（P）の双対問題（D）
min w = 14 y１ + 8 y２ + 18 y３
s.t.
y１ + y２ + 3 y３ ≧ 2
2 y１ + y２ +
y３ ≧ 3
y１≧0, y２≧0, y３≧0
（D）
max z = 2 x１ + 3 x２
s.t.
x１ + 2 x２ ≦ 14
x１ +
x２ ≦ 8
3 x１ +
x２ ≦ 18
x１≧0, x２≧0
（D＝） max z = 2 x１ + 3 x２
s.t.
x１ + 2 x２＋ x３
＝ 14
x１ +
x２
＋x４
＝ 8
3 x１ +
x２
＋x５＝ 18
x１≧0, x２≧0, x３≧0, x４≧0, x５≧0
（P）
元問題を双対単体法で解く
w
1
0
0
w
1
0
0
w
1
0
0
↓
y1
-14
-1
(-2)
y2
-8
-1
-1
y1
0
0
1
↓
y2
-1
(-1/2)
1/2
y1
0
0
1
y2
0
1
0
y3
-18
-3
-1
y3
-11
-5/2
1/2
y3
-6
5
-2
y4
0
1
0
双対問題を主単体法で解く
y5
0
0
1
y4
y5
0
-7
1 -1/2
0 -1/2
y4
-2
-2
1
y5
-6
1
-1
右辺基底
定数変数
0
w
-2
y4
-3
y5 ←
z
1
0
0
0
右辺基底
定数変数
z
21
w
1
-1/2 y4 ← 0
3/2 y1
0
0
右辺基底
定数変数
22
w
1
y2
1
y1
z
1
0
0
0
x1
-2
1
1
3
↓
x1
-1/2
1/2
(1/2)
5/2
x1
0
0
1
0
↓
x2
-3
(2)
1
1
x3
0
1
0
0
x2
x3
0 3/2
1 1/2
0 -1/2
0 -1/2
x2
0
1
0
0
x3
1
1
-1
2
x4
0
0
1
0
x4
0
0
1
0
x4
1
-1
2
-5
x5
0
0
1
0
右辺基底
定数変数
0
z
14
x3 ←
8
x4
18
x5
x5
0
0
0
1
右辺基底
定数変数
21
z
7
x2
1
x4 ←
11
x5
x5
0
0
0
1
右辺基底
定数変数
22
z
6
x2
2
x1
6
x5
（Bを基底とする）基底形式表現
min z = ｃx
s.t.
Ax＝b
x ≧0
（P２） min ｚ＝ cBxB＋cNxN
s.t.
BxB＋NxN ＝ｂ
xB≧0，xN≧0
基底B（基底変数ｘＢ）によって定まる基底形式
ｚ
－(cN－cBＢ－１N )xN ＝ cBＢ－１b
xB＋
Ｂ－１NxN ＝Ｂ－１ｂ
（P１）
双対可能基底(dual feasible basis)
（主問題は最小化を想定）
基底B（基底変数ｘＢ）によって定まる基底形式（単体表）
ｚ
－(cN－cBＢ－１N )xN ＝ cBＢ－１b
xB ＋
Ｂ－１NxN ＝Ｂ－１ｂ
xB ＝Ｂ－１ｂ ≧0である基底 →（主）可能基底
xB ＝Ｂ－１ｂ ≧0、かつ、 cN － cB Ｂ－１ N ≧0である基底
→（主）最適基底
cN － cB Ｂ－１ N ≧0 である基底 → 双対可能基底
（最小化問題なら「最適」を示す）
（最小化問題に対して）
B －１ ≧0である基底を
c N－ c Ｂ
N
なぜ双対可能基底と呼ぶか
（P2）の双対問題（D2）：
（D２） max ｗ＝ｙｂ
s.t.
ｙB ≦cB
ｙN ≦cN
①
②
ｙ＝π＝cBＢ－１は双対問題（D2）の実行可能解！
∵①はcB≦cBで常時成立； ②は双対可能基底だから
元問題を双対単体法で解く
w
1
0
0
w
1
0
0
w
1
0
0
↓
y1
-14
-1
(-2)
y2
-8
-1
-1
y1
0
0
1
↓
y2
-1
(-1/2)
1/2
y1
0
0
1
y2
0
1
0
y3
-18
-3
-1
y3
-11
-5/2
1/2
y3
-6
5
-2
y4
0
1
0
双対問題を主単体法で解く
y5
0
0
1
右辺基底
定数変数
0
w
-2
y4
-3
y5 ←
y4
y5
0
-7
1 -1/2
0 -1/2
右辺基底
定数変数
21
w
-1/2 y4 ←
3/2 y1
y4
-2
-2
1
右辺基底
定数変数
22
w
1
y2
1
y1
y5
-6
1
-1
z
1
0
0
0
x1
-2
1
1
3
z
1
0
0
0
↓
x1
-1/2
1/2
(1/2)
5/2
z
1
0
0
0
x1
0
0
1
0
↓
x2
-3
(2)
1
1
x3
0
1
0
0
x2
x3
0 3/2
1 1/2
0 -1/2
0 -1/2
x2
0
1
0
0
x3
1
1
-1
2
x4
0
0
1
0
x4
0
0
1
0
x4
1
-1
2
-5
x5
0
0
1
0
右辺基底
定数変数
0
z
14
x3 ←
8
x4
18
x5
x5
0
0
0
1
右辺基底
定数変数
21
z
7
x2
1
x4 ←
11
x5
x5
0
0
0
1
右辺基底
定数変数
22
z
6
x2
2
x1
6
x5