Transcript 直角双曲線上に3頂点をもつ三角形の垂心が同一曲線上にあることの

直角双曲線上に３頂点をもつ三角形
の垂心が同一双曲線上にあることの
幾何的な証明
小野田 啓子
聖徳大学附属聖徳中学校聖徳高等学校
はじめに
B
三角形の頂点を図形や曲線
の上で動かし，内心，外心，
重心，垂心の軌跡を調べた
ことが契機
G
外心
H
内心
A
垂心の軌跡は何故そうなる
のか理由が分からなかった
C
垂心の軌跡
直角双曲線上で３頂点を
動かしたとき，垂心は同
一双曲線上にあることに
気付いた
( )
B b, 1
b
H
上の3点A，B，Cを結んで
1
できる△ABCの垂心は，
( a, )
a
計算によれば簡単に直角
双曲線上にあることが分
かる
(
1 ,
abc
(
C c, 1c
)
)
abc
(
A a, 1
a
)
幾何的な証明を行なおうとした動機
計算による証明で結果を説明する
ことはできたが，何故このような関係
があるのかという疑問が残った
直感的に理由が分かりやすい幾何
的な証明ができれば，三角形の垂心と
直角双曲線との関係が分かるのでは
ないか
直角双曲線の角度に関する性質
『2定点を結んだ直線Lと，その2定点をそれぞれ通る
直線がLとなす角度の差が一定である点の集まりは直
角双曲線となる』
（大阪教育大附属高等学校池田校舎 友田勝久先生よ
り）
y
|∠PAB－∠ PBA|
= 7.2 （一定）
B
P
L
36.2
O
43.4
A
x
直角双曲線の幾何学的性質
直角双曲線 xy=k 上にある，原点対称な2点をA，Dとする。
この双曲線上の2点をP,Qとすれば，座標で計算すると，
傾き(PA) = －傾き(PD)
傾き(QA) = －傾き(QD)
となる。よって，∠PAQ = ∠PDQ が成り立つ。
（大阪教育大附属高等学校池田校舎 友田勝久先生より）
y
P
Q
A
D
O
x
〔証明〕
【直角双曲線上の三角形に成り立つ性質】
直角双曲線上に任意の3点A，B，Cを取り，△ABCを作る。
〔性質ⅰ〕
頂点Aの原点に関して対称な点をD(＝－A)とする。このとき
，頂点Bを双曲線上のどこに取っても，直線ACとx軸とのなす
角をδとすると，
∠BAC－∠BCA＋∠CBD＝2δ・・(ⅰ)
y
が成り立つ。この関係は，他の
B
各頂点と角に対しても同様に成
り立つ。
A'
D
l
A''
C
2
O
B'
A
x
〔性質ⅰ〕の証明
右の図で，∠BAC=α，∠BCA=β，∠CBD=εとおく。
点Bを通るx軸に垂直な直線lに関して，点Aと対称な点をA’とすると，
〔直角双曲線の幾何学的性質〕から，
傾き(AB)＝－傾き(BD)
ゆえに，直線ABとBDは直線lに関して対称な直線であり，点A’は直線BD上
にある。
よって，
y
B
∠BA’B’= ∠BAB’=α
より，
∠BA’’B’=α+ε
直線ACとx軸とのなす角をδとすると，
∠A’’B’C=2δ
より，
β+2δ=α+ε
l
A'
A
よって，
A''
α－β+ε= 2δ・・・(ⅰ)
O
x
2
B'
D
ここで，2δはA，Cが変わらなけれ
C
ば一定となるので， α－β+εの値
は一定である。
〔性質ⅱ〕
直角双曲線上にある点Pに対して，
fAC(P)=∠PAC－∠PCA
と定義するとき， fAC(B)= fAC(H)となる点Hが，同じ双曲線上
に頂点B以外に1点だけ存在する。このとき〔性質ⅰ〕から，
∠BAH＝∠BCH・・・(ⅱ)が成り立つ。
y
B
H
P
A
C
O
x
〔性質ⅱ〕の証明
頂点Bと点Hに対して，(ⅰ)より「 fAC(B)= fAC(H) 」と「∠CBD＝∠CHD」は同値
である。
なぜならば，頂点Bと点Hに対して， α－β= 2δ－ε ・・(ⅰ) は，
fAC(B)=2δ－∠CBD
fAC(H)=2δ－∠CHD
となるが，2δは点A，Cが変わらなければ一定であるから，
「 fAC(B)= fAC(H) 」⇔「∠CBD＝∠CHD」
いま，頂点Bに対して，△BCDの外接円を描くと，双曲線との交点は点B，
C，D以外に1個存在する。
y
この点をHとすると，円周角の定理より，
∠CBD＝∠CHD
B
よって，
fAC(B)= fAC(H)
すなわち，
H
∠BAC－∠BCA＝∠HAC－∠HCA
ゆえに，
A
∠BAH＝∠BCH・・・(ⅱ)
O
x
D
〔性質の証明終〕
C
直角双曲線上にある△ABCの垂心が同じ双曲線上にあることの証明
直角双曲線上に頂点がある△ABCにおいて，頂点Aの原点に関して対称
な点をD(＝－A)とする。
このとき，△BCDの外接円と双曲線の４つの交点のうち点B，C，D以
外の点をHとすると， 〔性質ⅱ〕より，
∠BAH=∠BCH・・・①
y
頂点BとCを入れ替えても成り立つので，
∠CAH=∠CBH ・・・②
B
●
直線AHとBC，直線BHとAC，直線CH
とABの交点を，それぞれL，M，Nと
L
する。
H
②と円周角の定理の逆から，4点A，M，
×
×
L，Bは同一円周上にある。
O
M
よって，円周角の定理および①から，
D
C
∠BAL=∠BML=∠HML=∠HCL
ゆえに，4点L，C，M，Hは，同一円周
上にあり，円に内接する四角形LCMHの対角の和から，
∠HLC+∠HMC=180°・・・③
N
×
●
A
x
また，
△ABL∽△CBN （①より２角相等）
△AHM∽△BHL（②より２角相等）
より，
∠ALB=∠CNB=∠BMA・・・④
④より，
∠HLC=∠HMC・・・⑤
③，⑤より，∠HLC=∠HMC=90°
よって，AL⊥BC，BM⊥AC，④か
らCN⊥ABであるから，点Hは△ABC
の垂心である。
y
B
●
N
L
H
×
×
D
O
C
×
●
M
以上から，直角双曲線上にある△ABCに対して，①，②を満たす点Hが
同じ双曲線上にただ１つ存在して，点Hは△ABCの垂心であるから，直角
双曲線上にある△ABCの垂心は，同じ直角双曲線上にある。
〔証明終〕
A
x
授業後の生徒の感想
興味を持った性質をかいてください。
・モアレの図（2名）
・いろいろな図形の垂心，外心，内心，重心の軌跡。
・直角双曲線上の三角形の垂心は，その曲線上にあること。
感じたこと思ったことなどの感想を自由に書いてください。
・いかにも入試問題のようなものにも，美しい図形的性質がかくされて
いてとてもおもしろいと思いました。
・とてもおもしろかった。図形の性質につながるところが，やはり数学
の知識の奥深く，おもしろいところだと思った。単に「こういう性質
です。」ということじゃなくて，応用・発展していくところが，数学
はすごい！それに改めて気づいて，より数学に興味が湧いた。
・図形的な性質がいろいろあることが分かった。
・頂点が対辺に平行に動くときの垂心が，一定の動きをするのが不思議
でした。
研究のまとめ
直角双曲線と三角形の垂心の幾何的な関係を考え
たことで，直角双曲線上の点の興味深い角度に関す
る性質を知ることができた。
生徒が曲線のさまざまな性質に出会って心を動か
される経験は，数学への興味・関心を高めることに
つながるのではないかと思う。今後も，このような
きれいな性質の探求を続け，授業に取り入れて行き
たい。
〔謝辞〕 大阪教育大学附属高等学校池田校舎 友田勝久先生には，直角双曲線の幾
何的性質に関すること，および証明を見通しのよいものにするために数々の貴重なご
助言をいただきました。心から感謝を申し上げます。