Transcript 空間図形の取り扱いについて

空間図形の取り扱いについて
平面の定義（１）
• 法線ベクトル（基本ベクトル）U（３次元）と原点
と平面との距離Lで表される。
– ※ 法線ベクトルの長さは１
• 固有ベクトルV（３次元）
– 計算に便利
– 原点を通る平面（L=0）の場合は使用できない（解
が無限になる）
– V=U÷L
平面の定義（２）
C点＝原点からの距離が最も近い点
Z
平面
☆平面の求め方
点Q
法線ベクトルU
C点
L
Y
X
Q・V＝１ ：QとVとの内積
※ Q＝通過点で、３点あれば
平面が求まる。
平面の求め方（例）
Z
２ ０ ０
０ ３ ０
（０，０，５）
０ ０ ５
法線ベクトルU
平面
C点
（０，３，０）
Y
X
（２，０，０）
・V＝
１
１
１
で求まる
直線の定義
• 直線は通過点と方向ベクトルU（３次元）で表され
る
通過点
法線ベクトルU
２平面から直線を求める
通過点を求める式
平面１：U1、L1
U1X U1Y U1Z
U2X U2Y U2Z
1
1
L1
・Q＝
L2
１
1
平面２：U2、L2
※ 第３行は0,0,0以外何でもよい
通過点
Q
方向ベクトルを求める式
方向ベクトルU
U1X U1Y U1Z
U2X U2Y U2Z
1
1
0
・U＝
1
※ 第３行は0,0,0以外何でもよい
0
１
平面と点の距離 （hの長さを求める）
点P
平面
法線ベクトルU
C点
h
L
点Pを通りベクトルUに垂直な
平面の式から
L+h＝U・P
∴ h＝U・P－L
※ 点Pのほうが原点から遠
いなら、ｈは＋になる
直線と点の距離
方向ベクトルV
通過点Q
|QP|・cosθ＝QP・V
r
|QP|・sinθ＝ｒ
両辺を二乗して加えると
|QP|＾２＝（QP・V）＾２＋ｒ＾２
点P
∴ ｒ＝
|QP|＾２ー（QP・V）＾２
直線と直線の距離
Q1
２直線に直交する方向ベクトルV３を求める
V２
V1X V1Y V1Z
V2X V2Y V2Z
h
1
1
0
・ V3 ＝
1
0
１
※ 第３行は0,0,0以外何でもよい
V3を求めた後、V3を正規化する。
V1
V3を法線ベクトルとしＱ１を通る平面は
Q2
V３
Q１・V3＝L１ で表される
同様にＱ２を通る平面は
Q２・V3＝L２ で表される
∴ h＝｜L1ーL2｜＝| Q１・V3ー Q２・V3|
点群の平面近似
• 最小二乗法とは
– Σ（近似値誤差）＾２を最小にする方法
点群
h（誤差）
以下の式で求めることができる
Σ｛Pi1*Pi1｝、 Σ｛Pi2*Pi1｝、 Σ｛Pi3*Pi1｝
Σ｛Pi1｝
Σ｛Pi1*Pi2｝、 Σ｛Pi2*Pi2｝、 Σ｛Pi3*Pi2｝ ・ V
= Σ｛Pi2｝
Σ｛Pi1*Pi3｝、 Σ｛Pi2*Pi3｝、 Σ｛Pi3*Pi3｝
Σ｛Pi3｝
※ i ＝ 1～点群の数
点群の球面近似
まず、点群の任意の２点が面対称になる平面Siを求める。
平面Siは球面中心近くを通るので次式で球面の中心Cを求めることができる
Pi
Pi+1
P2
P1
焦点C
以下の式で求めることができる
Σ｛Ui1*Ui1｝、 Σ｛Ui2*Ui1｝、 Σ｛Ui3*Ui1｝
Σ｛Li*Ui1｝
Σ｛Ui1*Ui2｝、 Σ｛Ui2*Ui2｝、 Σ｛Ui3*Ui2｝ ・ C = Σ｛Li*Ui2｝
Σ｛Ui1*Ui3｝、 Σ｛Ui2*Ui3｝、 Σ｛Ui3*Ui3｝
Σ｛Li*Ui3｝
※ i ＝ 1～点群の数（数が多いほど精度がよくなる）
参考：ガウスの消去法（線形一次連立方程式の解法）
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
X
・
Y
＝
Z
C1
C2
C3
a11 a12 a13 C1
a21 a22 a23 C2
a31 a32 a33 C3
手順１：１行全体を１行１列目で割ることで１行１列目を１にする
※１行１列目が０の場合は、他の行と入れ替える
手順２：２行目全体－１行目全体＊a21を行い、２行１列
目を０にする。３行目も同様
手順３：手順１と同様に、２行２列目を１にする
手順４：３行目全体－２行目全体＊a32を行い、２行１列
目を０にする。１行目も同様
手順５：手順１と同様に、３行３列目を１にする
手順６：１行目全体－３行目全体＊a13を行い、１行３列
目を０にする。２行目も同様