Transcript ハノイの塔
ハノイの塔 １年９組 馬部 由美絵 動機 数学について研究したことが無かったので、早苗 先生の「数学玉手箱」でネタを探した。そこでこの ハノイの塔というパズルを見つけ、おもしろそうだと 思ったので、このテーマについて研究してみること にした。 調査 ハノイの塔とは パズルの一種であり、すべての円盤を右端の棒に 移動させることができたら完成。 すべての円盤を移動させるには２ⁿ―１回 の手数 がかかる。 インドに建つ６４段の円盤を移し替えたとき、世界 が滅びると言われている！？ 64枚の円盤を移動させるには、最低でも1844京6744兆737億955万 1615回かかり、1枚移動させるのに1秒かかったとして、約5,845億年か かる 実験 目的 実際に自分でパズルをやり、調べた際に書かれて いた手数の回数と一致するか確認する。 実験（１） 写真① 準備 ダンボール・ストロー３本 を使い、写真①のような 「ハノイの塔」を作った。 方法 ルールに従い、「ハノイの塔」を使用して左のストローに 積み重ねられた円盤を右のストローに移動させる。そ の際、移動させた回数を記録し、そこから方程式を証明 する。１段から６段までの各段数をそれぞれ実験する。 結果 段数 １段 ２段 ３段 ４段 ５段 ６段 回数 １ ３ ７ １５ ３１ ６３ 調べた数値と今回の実験（１）の結果を比較し てみると、一致していることが分かった。 次に、棒を４本に増やしてみても数値が同じになるか確かめ てみた。 実験（２） 準備 写真③ 実験（１）で使用した 「ハノイの塔」にストロー をもう一本追加し、棒を四本にした 「ハノイの塔ＮＯ．２」 （写真③） 方法 上記の「ハノイの塔ＮＯ．２」を使用し、実験（１）のよう に１段から６段までの各段数を実験する。 結果 段数 １段 ２段 ３段 ４段 ５段 ６段 回数 １ ３ ５ ９ １３ １７ 調べた数値と今回の実験（２）の結果を比較し てみると、一致していることが分かった。 考察 実験（１）の結果から、求めたい段数の移動回数は、 ひとつ前の段数の移動回数に２をかけて１引いたも のになることがわかる。 Ｍ＝２ｘ－１ 実験（２）の結果から、求めたい段数の移動回数は、 ひとつ前の段数の移動回数に４たしたものになるこ とがわかる。 Ｍ＝４＋ｘ ＊求めたい段数の移動回数をＭ 求めたい段数の一つ前の移動回数をＸとする 発展 ハノイの塔にひそむ規則性① 板の枚数2とスタートとゴールをのぞいた「一時待避 用の棒」の本数1とを用いて「hanoi(2, 1) == 3」と表 現する。 この待避用の棒が1本あることを「スペースが1個あ る」と表現する。 スペースが1個のハノイの塔問題に関しては 「hanoi(n, 1) = 2 * hanoi(n - 1, 1) + 1」が正の整数 nに付いて成り立つ。 スペースが2以上の場合には、 いったいどういう規則性があるのか調べてみた。 発展 ハノイの塔にひそむ規則性② スペースが１つの場合の移動回数 0, 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023, 2047, 4095, 8191, 16383, ... スペースが２つの場合の移動回数 0, 1, 3, 5, 9, 13, 17, 25, 33, 41, 49, 65, 81, 97, 113, 129, ... スペースが３つの場合の移動回数 0, 1, 3, 5, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 39, 47, 55, 63, 71, ... この上３つの数列の隣り合う数字の差（段差数列）を求めると、それぞれ 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192, ... 1, 2, 2, 4, 4, 4, 8, 8, 8, 8, 16, 16, 16, 16, 16, ... 1, 2, 2, 2, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 8, 8, 8, 8, 8, ... そして、同じ数がいくつ続くかを新たな数列にすると、それぞれ 1: 1, 1, 1, 1, 1, ... 2: 1, 2, 3, 4, 5, ... 3: 1, 3, 6, 10, 15, ... この数列の列はパスカルの三角形を45度回転して斜めに読ん だものであることがわかります 発展 ハノイの塔にひそむ規則性③ スペースが3個の場合の数列は三角数と呼ばれる。 つまり、スペースがm個のハノイの塔の移動回数の数列の階差数列は、 m次元の 三角形を用意して、 0段目には1、1段目には2、k段目には2kと書き、小さい順に読 みあげたものである。 階差数列が2になっているのは、1枚板を増やしたときに移動回数が2増えるという こと。 2はスペースがmの時にm個続くが、これはm個スペースがあれば、m枚までの板は 積み重ねずに平たくスペースに並べられるということ。 そして4が続く領域では「一度小さい板を空いているスペースに置いた後、大きい板 を別のスペースに置き、スペースが足りなくなったので小さい板を大きい板の上に 移動する」という作業が行われている。 この時、スペースがm個なら、最初に平たく置くことができたm枚のうち、小さい方の m-1枚は一番大きい板に乗せることができ、残ったスペースはm-1個になる。これ が繰り返されることで三角数が現れる。 感想 数学的に解析するレポートというのは初めてだった ので、きちんと実験によって結果を出し、まとめるこ とができるか不安だったが、考察・発展までまとめて レポートを完成させることができたのでよかった。 ただのパズルだが、自分で実際にやってみることで 規則性がよりよく理解することができた。他にも、数 学の授業や携帯サイトなどで、数学的なゲームをし たこともあります。そのようなゲームにも、何か規則 性が隠れているかもしれないな、と思った。また機 会があれば、いろんなゲームの規則性を見つけて みたい。 参考文献 インターネットサイト 一般化したハノイの塔の問題にひそむ規則性 ハノイの塔 – Wikipedia 本 パズルで算数アタマをみがく本（中学入試攻略編） 著者：秋山仁 発行所：小学館 ご静聴、ありがとうございました！！