Transcript ppt
４．行列の基本変形とその応用
1
行列の行基本変形
2
連立方程式の解法と行列の行基本変形
連立方程式の加減法による解法を考察する。
ìï 2x + y = 3 L (1)
ï
í
ïï 3x - y = 7 L (2)
ïî
(1) + (2)
式を減らすと、
逆方向の計算
ができない。
5x = 10
同値な変形ではない。
3
同値な変形
ìï 2x + y = 3 L (1)
ï
í
ïï 3x - y = 7 L (2)
ïî
(2)' = (1) + (2)
式を減らさずに
変形する。
(2) = (2)'- (1)
ìï 2x + y = 3 L (1)
ï
í
ïï 5x
= 10 L (2) ' = (1) + (2)
ïî
同値な変形
4
同値な変形による連立方程式の解法
ìï 2x + y = 3
ïí
ïï 3x - y = 7
î
ìï 2x + y = 3
ïí
ïï 5x
= 10
î
ìï 2x + y = 3
ïí
ïï x
= 2
î
ìï 2x + y = 3
ïí
ïï 2x
= 4
î
式の加算
ìï
y =-1
ïí
ïï 2x
= 4
î
ìï
y =- 1
ïí
= 2
式のスカラー ïïî x
倍
式の交換
ìï x
= 2
ïí
ïï
y =- 1
î
5
３種類の同値変形１
Ｉ：
ある式をスカラー倍（
k (k ¹ 0) 倍）する。
ＩＩ：
ある式を他の式に加えたり、引いたりする。
ＩＩＩ：
２つの式を交換する。
これでもいいのだが、通常は、
ＩとＩＩを組み合わせたものを
ＩＩ’とすることが多い。
6
３種類の同値変形２
定義（連立方程式の同値変形）
Ｉ：
ある式をスカラー倍（
k
k (k ¹ 0) 倍）する。
ＩＩ：
ある式を他の式
倍して加える。
ＩＩＩ：
２つの式を交換する。
こちらの変換の組を用いることが多い。
7
同値な変形による連立方程式の解法
ìï 2x + y = 3 L (1)
ï
í
ïï 3x - y = 7 L (2)
ïî
(1)' « (2)''
(2)' = (2) + 1´ (1) ìï x
ìï 2x + y = 3 L (1)
ï
í
ïï 5x
= 10 L (2) '
ïî
ìï 2x + y = 3 L (1)
ï
í
ïï x
= 2 L (2) ''
ïî
ïí
ïï
î
(2) '' =
= 2
y =- 1
1
´ (2) '
5
(1)' = (1) - 2 ´ (2)''
ìï
ï
í
ïï x
ïî
y = - 1 L (1) '
= 2
L (2) ''
この一連の変形を
行列を用いて表現する。
8
同値な変形と行列の変換
ìï 2x + y = 3
ïí
ïï 3x - y = 7
î
(2)' = (2) + 1´
ìï 2x + y = 3
ïí
ïï 5x
= 10
î
é3ù
êú
ê7ú
êë úû
(1)
(2)' = (2) + 1´ (1)
é2 1ùéx ù é3 ù
ê
úê ú= ê ú
ê5 0úêy ú ê10ú
êë
ú
ûë û êë ú
û
1
(2) '' = (2) '
5
ìï 2x + y = 3
ïí
ïï x
= 2
î
(1)' = (1) ìï
y =- 1
ïí
ïï x
= 2
î
(1)' «
ìï x
= 2
ïí
ïï
y =- 1
î
é2 1 ùéx ù
ê
úê ú=
ê3 - 1úêy ú
êë
úûë û
(2) '' =
2 ´ (2)''
é2 1ùéx ù é3ù
ê
úê ú= ê ú
ê1 0úêy ú ê2ú
êë
ú
ûë û êë ú
û
(2)''
é0 1ùéx ù é- 1ù
ê
úê ú= ê ú
ê1 0úêy ú ê 2 ú
êë
úûë û êë úû
é1 0ùéx ù é 2 ù
ê
úê ú= ê ú
ê0 1úêy ú ê- 1ú
êë
úûë û êë úû
1
(2) '
5
(1)' = (1) - 2 ´ (2)''
(1)' « (2)''
9
行列の行基本変形
é2 1 ù
ê
ú
ê3 - 1ú
êë
úû
é2 1ù
ê
ú
ê5 0ú
êë
úû
é2 1ù
ê
ú
ê1 0ú
êë
úû
係数行列
2
(2)' = (2) + 1´ (1)
1
(2) '
5
3 -1
2 1
2 1
1 0
(1)' = (1) - 2 ´ (2)''
0 1
(2) + 1´ (1)
1
(2)
5
(1) - 2 ´ (2)
1 0
é0 1ù
ê
ú
ê1 0ú
êë
úû
é1 0ù
ê
ú
ê0 1ú
1
5 0
(2) '' =
変形
1 0
(1)' « (2)''
(1) « (2)
0 1
10
行列の行基本変形
定義（連立方程式の同値変形）
k (k ¹ 0) 倍）する。
Ｉ：
ある行をスカラー倍（
ＩＩ：
ある行を他の行に
ＩＩＩ：
２つの行を交換する。
k 倍して加える。
重要
11
例
次の行列を行基本変形を用いて、単位行列にせよ。
解）
é 2 - 4ù
ê
ú
ê- 3 5 ú
êë
úû
é 2 - 4ù 1´ (1) é 1 - 2ù
(2)+ 3´ (1)
2
ê
ú¾ ¾
ê
ú¾ ¾
¾®
¾ ¾®
ê- 3 5 ú
ê- 3 5 ú
êë
ú
êë
ú
û
û
é1 - 2ù
é1 0ù
(- 1)´ (2)
(1)+ 2´ (2)
ú¾ ¾
ê
ú
¾¾
¾ ¾® êê
¾
¾®
ú
ê0 1ú
0
1
êë
ú
êë
ú
û
û
é1 - 2ù
ê
ú
ê0 - 1ú
êë
ú
û
あくまで変形なので、矢印を用いる。
行列としては等しくないので、
「＝」を用いてはいけない。
12
練習
次の行列を行基本変形を用いて、単位行列にせよ。
（１）
（２）
é2 - 1ù
ê
ú
ê1 2 ú
êë
ú
û
é1 0 1ù
ê
ú
ê
ú
ê1 1 1ú
ê
ú
ê2 1 1ú
êë
úû
13
1次方程式と連立方程式
一次方程式
未知数
5x 3
係数
定数
2元連立１次方程式
2x 3 y 3
x 5 y 7
2 3 x 3
1 5 y 7
2 3 x x , b 3
y
7 として、
A
,
1 5
係数行列
Ax = b
変数ベクトル
（未知数ベクトル）
定数項ベクトル
14
拡大係数行列
連立方程式を定めるには、
変数の名前（ x や y 、あるいは xi ）は重要ではない。
すなわち、その係数行列と定数項ベクトルだけがあれば
連立方程式が一意に定まる。
定義（拡大係数行列）
連立方程式 Ax = b に対して、係数行列 A と
定数項ベクトル b から作られる次の行列
[A | b ]
を拡大係数行列という。
このように、小行列や、ベクトルで定められる
行列をブロック行列という。
15
例１
ìï 2x - y + z
= 5
ïï
ïï 3x + 2y - z = - 2
ïí
ïï - x + y + 2z = 1
ïï
ïï 2x + 3y + z = - 1
î
この連立方程式に対して、係数行列 A 、未知数ベクトル x
定数項ベクトル b 、拡大係数行列 [A | b ]は次のようになる。
é2 - 1 1 ù
ê
ú
ê 3 2 - 1ú
ê
ú
A= ê
ú
ê- 1 1 2 ú
ê
ú
êê 2 3 1 úú
ë
û
é2 - 1 1
5ù
ê
ú
ê 3 2 - 1 - 2ú
ê
ú
[A | b ]= ê
ú
1ú
ê- 1 1 2
ê
ú
êê 2 3 1 - 1úú
ë
û
éx ù
êú
x = êêy úú
êz ú
êë úû
é5 ù
ê ú
ê- 2ú
ê ú
b= ê ú
ê1 ú
ê ú
êê- 1úú
ë û
16
例2
ìï x + 2x + 3x + 4x = 5
2
3
4
ïï 1
ï
+ 2x 4 = 3
í 2x1 - x 2
ïï
ïï - 3x1
+ x 3 + 5x 4 = - 2
îï
この連立方程式に対して、係数行列 A、未知数ベクトル x
定数項ベクトル b 、拡大係数行列 [A | b ]は次のようになる。
é1
2
3 4ùú
ê
ê
ú
A = ê2
- 1 0 2ú
ê
ú
ê- 3 0 1 5ú
êë
úû
éx 1 ù
ê ú
êx 2 ú
x = êêx úú
ê 3ú
êêx 4 úú
ë û
é1
2
3 4 5 ù
ê
ú
ê
ú
[A | b ]= ê2 - 1 0 2 3 ú
ê
ú
ê- 3 0 1 5 - 2ú
êë
ú
û
é3 ù
ê ú
ê ú
b = ê5 ú
ê ú
ê- 2ú
êë úû
17
拡大係数行列と連立方程式の解法
é2 1 ùéx ù
ê
úê ú=
ê3 - 1úêy ú
êë
úûë û
é3ù
êú
ê7ú
êë úû
拡大係数行列
(2)' = (2) + 1´ (1)
é2 1ùéx ù é3 ù
ê
úê ú= ê ú
ê5 0úêy ú ê10ú
êë
ú
ûë û êë ú
û
é2 1ùéx ù é3ù
ê
úê ú= ê ú
ê1 0úêy ú ê5ú
êë
ú
û
ûë û êë ú
3
3 -1 7
2 1 3
1
(2) '' = (2) '
5
(1)' = (1) - 2 ´ (2)''
1 0 2
0 1 -1
1 0 2
(1)' « (2)''
(2) + 1´ (1)
5 0 10
2 1 3
é0 1ùéx ù é- 1ù
ê
úê ú= ê ú
ê1 0úêy ú ê 5 ú
êë
úûë û êë úû
é1 0ùéx ù é 5 ù
ê
úê ú= ê ú
ê0 1úêy ú ê- 1ú
êë
úûë û êë úû
2 1
変形
1 0 2
0 1 -1
1
(2)
5
(1) - 2 ´ (2)
(1) « (2)
18
行列の基本変形と基本変形行列
一般の
n 元１次連立方程式を考える。
ìï a11x1 + a12x 2 + L + a1n x n
ïï
ïï a x + a x + L + a x
22 2
2n n
ï 21 1
í
ïï
M
ïï
ïï am 1x1 + am 2x 2 + L + amn x n
ïî
= b1 L (1)
= b2 L (2)
= bm L (m )
m ´ n の係数行列 A = [a ]
n ´ 1 の未知数（列）ベクトル
m ´ 1 の定数項（列）ベクトル
ij
x = [xi ]
b = [bi ]
とすると、以下のように表せる。
Ax = b
19
式の定数倍に対応する基本変形行列
ある式を定数倍しても、連立方程式の解には変化は無い。
ìï a11x1 + a12x 2 + L + a1n x
=
b
L
(1)
1
ïï
ïï
M
ïï
ïï ka x + ka x + L + ka x = kb L k ´ (i )
í i1 1
i2 2
in n
i
ïï
ïï
M
ïï
ïï am 1x1 + am 2x 2 + L + amn x n = bm
L (m )
ïî
これを行列の積で表現したい。
20
基本変形行列１（行列の行の定数倍）
T k´ (i )
i 行を k 倍する
m ´ m の正方行列。
é1
ù
ê
ú
ê O
ú
O
ê
ú
ê
ú
1
ê
ú
ê
ú
ú
k
= êê
ú
ê
ú
1
ê
ú
ê
ú
ê O
O ú
ê
ú
ê
ú
1
êë
úû
(i )
正方行列を乗じても、
行列の形が変わらないことに
注意する。
T k´ (i )A x = T k´ (i )b
21
例１
T (- 1)´ (2)
é0
4 - 1ùú
ê
ê
ú
ê- 2 - 3 - 4ú
ê
ú
ê5
ú
0
2
êë
úû
é
ê
êê
ê
ê
ê
êê
ë
1 - 3 3ù
ú
2 - 2 5ú
ú
ú
5
3 4ú
ú
7
2 1ú
ú
û
é1 0 0ù
ê
ú
ê
ú
= ê0 - 1 0ú
ê
ú
ê0 0 1ú
ú
ëê
û
é1 0 0ùé 0
é
ù
4 - 1ù
ê
úê
ú ê0 4 - 1ú
ê
úê
ú ê
ú
ê0 - 1 0úê- 2 - 3 - 4ú= ê2 3 4 ú
ê
úê
ú ê
ú
ê0 0 1úê 5
ú ê5 0 2 ú
0
2
êë
úê
ú
ú
ûë
û êë
û
左から掛ける
T 2´ (3)
é1
ê
ê0
ê
= ê
ê0
ê
êê0
ë
0 0 0ù
ú
1 0 0úú
ú
0 2 0ú
ú
0 0 1úú
û
左から掛ける
é1
ê
ê0
ê
ê
ê0
ê
êê0
ë
0 0 0ùé
úê
1 0 0úê
úêúê
0 2 0úê
úê
0 0 1úê
úê
ûë
1 - 3 3ù
ú
2 - 2 5úú
ú=
5
3 4ú
ú
7
2 1úú
û
é 1 - 3 3ù
ê
ú
ê- 2 - 2 5ú
ê
ú
ê
ú
6 8ú
ê10
ê
ú
êê 7
2 1úú
ë
û
22
練習
é1 7 5 0 - 1ù
ê
ú
ê
ú
A = ê0 1 3 - 1 2 ú
ê
ú
ê0 4 2 0 1 ú
ú
ëê
û
とする。
行列 A の３行目を２倍にする変換行列T 2´ (3) を求め、
積 T
A を計算せよ。
2´ (3)
23
加減法に対応する基本変形行列
ìï
M
ïï
ïï a x + a x + L + a x
i2 2
in n
ïï i 1 1
ïï
M
í
ïï
ïï a j 1x1 + a j 2x 2 + L + a jn x
ïï
ïï
M
ïî
ìï
ïï
ïï (a + ka )x
j1
1
ïï i 1
ï
í
ïï
ïï
a j 1x1
ïï
ïï
ïî
= bi
L (i )
= bj
L (j)
M
+
(ai 2 + ka j 2 )x 2
+
L
+
(ain + ka jn )x n
M
+
a j 2x 2
+
L
+
a jn x n
M
行を他の行へ定数倍して加算しても、
連立方程式は変わらない。
=
bi + kbj
L (i ') = (i ) + k ´ ( j )
=
bj
L (j)
24
基本変形行列２（行の他の行への加算）
i
k
j
é1
ù
ê
ú
ê O
ú
O
ê
ú
ê
ú
1 L k
ê
ú
ê
ú
ú
O M
T (i )+ k´ ( j ) = êê
ú
ê
ú
1
ê
ú
ê
ú
ê O
ú
O
ê
ú
ê
1ú
倍して加算 êë
ú
û
(i )
(j)
行に j 行を
する m ´ m の正方行列。
i
T (i )+ k´ ( j )A x = T (i )+ k´ ( j )b
25
例１
T (2)+ 2´ (3)
é0
4 - 1ùú
ê
ê
ú
ê- 2 - 3 - 4ú
ê
ú
ê5
0
2 úú
ëê
û
左から掛ける
T (4)+ 2´ (2)
é
ê
êê
ê
ê
ê
êê
ë
1 - 3 3ù
ú
2 - 2 5ú
ú
ú
5
3 4ú
ú
7
2 1ú
ú
û
é1 0 0ù
ê
ú
ê
ú
= ê0 1 2ú
ê
ú
ê0 0 1ú
úû
ëê
é1
ê
ê0
ê
= ê
ê0
ê
êê0
ë
0 0 0ù
ú
1 0 0úú
ú
0 1 0ú
ú
2 0 1úú
û
左から掛ける
é1 0 0ùé 0
é
ù
4 - 1ù
ê
úê
ú ê0 4 - 1ú
ê
úê
ú ê
ú
ê0 1 2úê- 2 - 3 - 4ú= ê8 - 3 0 ú
ê
úê
ú ê
ú
ê0 0 1úê 5
ú
ê
0
2 ú ê5 0 2 ú
úê
ú
ëê
ûë
û ë
û
é1
ê
ê0
ê
ê
ê0
ê
êê0
ë
0 0 0ùé
úê
1 0 0úê
úêúê
0 1 0úê
úê
2 0 1úê
úê
ûë
1 - 3 3ù
ú
2 - 2 5ú
ú
ú=
5
3 4ú
ú
7
2 1ú
ú
û
é
ê
êê
ê
ê
ê
êê
ë
1 - 3
3ù
ú
2 - 2 5ú
ú
ú
5
3 4ú
ú
3 - 2 11ú
ú
û
26
練習
é1 7 5 0 - 1ù
ê
ú
ê
ú
A = ê0 1 3 - 1 2 ú
ê
ú
ê0 4 2 0 1 ú
ú
ëê
û
とする。
行列 A の２行目のー１倍を１行目に加算する変換行列T (1)+ (- 1)´ (2)
を求め、積T (1)+ (- 1)´ (2)A を計算せよ。
27
連例方程式での式の交換
ìï
M
ïï
ïï a x + a x + L + a x
i2 2
in n
ïï i 1 1
ïï
M
í
ïï
ïï a j 1x1 + a j 2x 2 + L + a jn x n
ïï
ïï
M
ïî
ìï
M
ïï
ïï a x + a x + L + a x
j2 2
jn n
ïï j 1 1
ïï
M
í
ïï
ïï ai 1x1 + ai 2x 2 + L + ain x
ïï
ïï
M
ïî
= bi
L (i )
= bj
L (j)
= bj
L (i ') = ( j )
= bi
L ( j ') = (i )
行を交換しても、連立方程式は変わらない。
28
行列の基本変形３（行の交換）
i
T (i )« ( j )
i 行に j 行を交換する
m ´ m の正方行列。
é1
ê
ê O
ê
ê
1
ê
ê
ê
0 L L L
ê
ê
M 1
ê
ê
M
O
= êê
ê
M
1
ê
ê
ê
1 L L L
ê
ê
ê
ê
ê O
ê
ê
êë
T (i )« ( j )A x = T (i )« ( j )b
j
ù
ú
O úú
ú
ú
ú
ú (i )
1
ú
ú
M
ú
ú
ú
M
ú
ú
M
ú
ú
ú( j )
0
ú
ú
1
ú
ú
O ú
ú
1úú
û
29
例１
T (2)« (3)
é0
4 - 1ùú
ê
ê
ú
ê- 2 - 3 - 4ú
ê
ú
ê5
0
2 úú
ëê
û
左から掛ける
T (1)« (4)
é
ê
êê
ê
ê
ê
êê
ë
1 - 3 3ù
ú
2 - 2 5ú
ú
ú
5
3 4ú
ú
7
2 1ú
ú
û
é1 0 0ù
ê
ú
ê
ú
= ê0 0 1ú
ê
ú
ê0 1 0ú
ú
ëê
û
é0
ê
ê0
ê
= ê
ê0
ê
êê1
ë
0 0 1ù
ú
1 0 0úú
ú
0 1 0ú
ú
0 0 0úú
û
左から掛ける
é1 0 0ùé 0
é
4 - 1ù
4 - 1ù
ê
úê
ú ê0
ú
ê
úê
ú ê
ú
0
2ú
ê0 0 1úê- 2 - 3 - 4ú= ê 5
ê
úê
ú ê
ú
ê0 1 0úê 5
ú
ê
0
2 ú ê- 2 - 3 - 4ú
úê
ú
ëê
ûë
û ë
û
é0
ê
ê0
ê
ê
ê0
ê
êê1
ë
0 0 1ùé
úê
1 0 0úê
úêúê
0 1 0úê
úê
0 0 0úê
úê
ûë
1 - 3 3ù
ú
2 - 2 5ú
ú
ú=
5
3 4ú
ú
7
2 1ú
ú
û
é
ê
êê
ê
ê
ê
êê
ë
2 1ù
ú
2 - 2 5ú
ú
ú
5
3 4ú
ú
1 - 3 3ú
ú
û
7
30
練習
é1 7 5 0 - 1ù
ê
ú
ê
ú
A = ê0 1 3 - 1 2 ú
ê
ú
ê0 4 2 0 1 ú
ú
ëê
û
とする。
行列 A の１行目と３行目に交換する変換行列
を求め、積 T (1)« (3)A を計算せよ。
T (1)« (3)
31
基本変形行列の積
é2 1 ù
ú
A = êê
ú
3
1
êë
ú
û
(2) + 1´ (1)
é2 1ù
ê
ú
ê5 0ú
êë
úû
T (2)+ 1´ (1)A
1
(2)
5
é2 1ù
ê
ú
ê1 0ú
êë
úû
T 1 T (2)+ 1´ (1)A
´ (2)
5
é1 0ùé2 1 ù
ê úê
ú
ê1 1úê3 - 1ú=
êë úê
ú
ûë
û
é2 1ù
ê
ú
ê5 0ú
ú
ëê
û
é1 0 ùé1 0ùé2 1 ù é1 0 ùé2 1ù
ê
ú
ú= êê 1 úúê
ú
ê 1 úêê úê
úê
ú
ê
ê0 úê1 1úê3 - 1ú ê0 úê5 0úú
û
û êë 5 úûë
êë 5 úûë ûë
é2 1ù
ú
= êê
ú
1
0
ëê
ûú
32
(1) - 2 ´ (2)
é0 1ù
ê
ú
ê1 0ú
êë
úû
(1) « (2)
é1 0ù
ê
ú
ê0 1ú
êë
úû
T (1)- 2´ (2)T 1 T (2)+ 1´ (1)A
´ (2)
5
é1 - 2ùéê1 0 ùúé1
ê
úê 1 úê
ê0 1 úê0 úê1
êë
úûê
ê
ë 5 úûë
é1 - 2ùé2 1ù
úê
ú
= êê
úê
1 0úú
êë0 1 úê
ûë
û
é0 1ù
ú
= êê
ú
êë1 0úû
0ùé2 1 ù
úê
ú
1úê
3 - 1úú
úê
ûë
û
é0 1ùé1 - 2ùéê1 0 ùúé1 0ùé2 1 ù
ê
úê
úê 1 úê úê
ú
ê1 0úê0 1 úê0 úê1 1úê3 - 1ú
êë
úê
úûê
ê úê
úû
ûë
ë 5 úûë ûë
é0 1ùé0 1ù
T (1)« (2)T (1)- 2´ (2)T 1 T (2)+ 1´ (1)A
úê
ú
´ (2)
= êê
5
úê
1 0úú
êë1 0úê
ûë
û
é1 0ù
ú
= êê
ú
êë0 1úû
33
基本変形行列の積と逆行列
é2 1 ù
ú に対して、
A = êê
ú
3
1
êë
ú
û
æ
ö
÷
ççT
÷
T
T
T
A
=
E
1
(1)
«
(2)
(1)
2
´
(2)
(2)
+
1
´
(1)
÷
çè
´ (2)
÷
ø
5
が成り立つ。
ここで、
X º T (1)« (2)T (1)- 2´ (2)T 1 T (2)+ 1´ (1)
´ (2)
5
とおく。
XA = E
\ X = A
-1
= T (1)« (2)T (1)- 2´ (2)T 1 T (2)+ 1´ (1)
´ (2)
5
34
基本変形行列の性質１
（基本変形行列の正則性）
基本変形行列は、すべて正則行列である。
（逆行列が存在する。）
証明
（１）
実際に逆行列を示す。
T k´ (i )T 1
k
（２）
（３）
´ (i )
= T 1 T k´ (i ) = E
k
´ (i )
T(i )+ k´ ( j )T(i )- k´ ( j ) = T(i )- k´ ( j )T(i )+ k´ ( j ) = E
T(i )« ( j )T (i )« ( j ) = T(i )« ( j )T (i )« ( j ) = E
QED
35
例
（１）
T 2´ (2)T 1
´ (2)
2
é1 0 0ùéê1
ê
úê
ê
ú
= ê0 2 0úêê0
ê
ú
ê0 0 1úêê0
ú
ëê
ûêë
（２）
T (2)- 2´ (3)T (2)+ 2´ (3)
（３）
T (2)« (4)T (2)« (4)
é1
ê
ê0
ê
ê
= ê0
ê
ê0
ê
ê0
êë
é1
ê
ê0
ê
= ê
ê0
ê
êê0
ë
0 0ù
ú
1 ú
0ú
=
ú
2 ú
0 1ú
ú
û
0ùé1
úê
1 - 2 0úê
úê0
úê
0 1
0úê0
úê
0 0 1 úê
0
úê
ûë
0 0
0 0 0 0ùé1
úê
0 0 1 0úê
úê0
úê
0 1 0 0úê0
úê
1 0 0 0úê0
úê
0 0 0 1úê
0
úê
ûë
é1 0 0ù
ê
ú
ê
ú
0
1
0
ê
ú= E
ê
ú
ê0 0 1ú
ú
ëê
û
0 0 0ù
ú
1 2 0ú
ú
ú=
0 1 0ú
ú
0 0 1ú
ú
û
0 0 0 0ù
ú
0 0 1 0ú
ú
ú
0 1 0 0ú=
ú
1 0 0 0ú
ú
0 0 0 1ú
ú
û
é1
ê
ê0
ê
ê
ê0
ê
ê0
ê
ê0
êë
é1
ê
ê0
ê
ê
ê0
ê
êê0
ë
0 0 0ù
ú
1 0 0ú
ú
ú= E
0 1 0ú
ú
0 0 1ú
ú
û
0 0 0 0ù
ú
1 0 0 0ú
ú
ú
0 1 0 0ú= E
ú
0 0 1 0ú
ú
0 0 0 1ú
ú
û 36
基本変形行列の性質２
（基本変形行列の積）
基本変形行列の積で得られる行列は正則である。
証明
正則行列の積は正則である。
QED
実際、 A , B を正則行列とし、その積 C º AB を考える。
まず、 A は正則なので逆行列 A - 1 が存在する。
同様に、逆行列 B - 1 も存在する。
よって、積 X = B - 1A - 1 が構成できる。
このとき、以下のように計算できる。
X C = (B - 1A - 1 )(A B ) = B - 1(A - 1A )B = B - 1EB = B - 1B = E
CX = (A B ) (B - 1A - 1 ) = A (BB - 1 )A - 1 = A EA - 1 = A A - 1 = E
\ X = C-1
したがって、逆行列が存在するのでC = AB は正則行列。
37
行列の基本変形の応用１
（逆行列を求める）
38
行基本変形による逆行列の求め方
n 次の正方行列とする。
A = [aij ] を
n ´ 2n の行列 [A | E ]
を行基本変形で、[E | B ]
の形に変形できれば、 A は正則行列で、 B = A - 1
である。ここで、 [A | E ] は n 次正方行列 A , E
を横に並べた行列を表す。
éa11 L
ê
êM O
ê
ê
ê
ê
êan 1
êë
0ù
ú
0 1 O Múú
ú
M O O 0ú
ú
0 L 0 1úú
û
a1n 1
ann
0 L
é1
ê
ê0
ê
ê
êM
ê
ê0
êë
0 L
0 b11 L
1 O
MM O
O O
0
L
0 1 bn 1
b1n ù
ú
ú
ú
ú
ú
ú
bnn ú
ú
û
A = [aij ] と B = [bij ] は互いに逆行列。
39
証明
行に関する基本変形を行うことは、いくつかの基本変形行列
を左から掛けることであった。
これらの積を X とすると、 X は正則行列である。
この X を用いて
X [A | E ] = [E | B ]
となる。
これより、
X A = E,
X =B
である。
よって、
X = A - 1,
である。
X =B
QED
40
連立方程式との関係
é2 1 ùéx ù
ê
úê ú=
ê3 - 1úêy ú
êë
úûë û
é3ù
êú
ê7ú
êë úû
é2 1 ùéx ù
ê
úê ú=
ê3 - 1úêy ú
êë
ú
ûë û
é3ù
é2 1 ù
xù
é
ú x = ê ú b = êê úú
A = êê
ú
7ú
yú
ê
3
1
ê
ë
û
ëû
êë
ú
û
Ax = b
é1 0ùé3ù
ê
úê ú
ê0 1úê7ú
êë
úê
ûë ú
û
(2)+ 1´ (1)
é1 0ùé2 1 ùéx ù
ê úê
úê ú=
ê1 1úê3 - 1úêy ú
êë úê
ú
ûë
ûë û
é1 0ùé1 0ùé3ù
ê úê
úê ú
ê1 1úê0 1úê7ú
êë úê
úê
ûë
ûë ú
û
Ax = Eb
(2)+ 1´ (1)
T (2)+ 1´ (1)A x = T (2)+ 1´ (1)Eb
41
1
(2)
5
é1 0 ùé1 0ùé2 1 ù x
é1
é
ù
ê
ú
úê ú= êê
ê 1 úêê úê
êëy ú
ê0 úê1 1úê
ê0
3 - 1ú
û
úê
ú
ë
ûë
û
êë 5 ú
êë
û
(1) é1 - 2ùéê1 0 ù
é1
ú
ê
ú
ê
ê0 1 úêê0 1 ú
úêê1
êë
ú
ûêë 5 ú
ûë
é1 - 2ùéê1
úê
= êê
úê0
0
1
úê
ëê
û
ë
0 ùé1 0ùé1 0ùé3ù
úê úê
úê ú
1ú
ê
úê
úê1 1úê0 1úê
7ú
úê
ûë ú
û
5ú
ûë ûë
T 1 T (2)+ 1´ (1)A x = T 1 T (2)+ 1´ (1)Eb
´ (2)
5
´ (2)
5
2 ´ (2)
0ùé2 1 ùéx ù
úê
úê ú
úê
êëy ú
1úê3 - 1ú
ú
ûë
û û
0 ùé1 0ùé1 0ùé3ù
úê úê
úê ú
1ú
ê
úê
ú
úê1 1úê0 1úê
7
úê û
ú
ûë
5ú
ûë ûë
(1) « (2)
é0 1ùé1 - 2ùéê1 0 ù
é1
ê
úê
úê 1 ú
ê
ê1 0úê0 1 úê0 ú
úêê1
êë
úê
ú
ûë
ûêë 5 ú
ûë
é0 1ùé1 - 2ùéê1
úê
úê
= êê
úê
ê
0 1ú
êë1 0úê
ú
ûë
ûêë0
1
(2)
5
0ùé2 1 ùéx ù
úê
úê ú
úê
êëy ú
1úê3 - 1ú
ú
ûë
û û
0 ùé1 0ùé1 0ùé3ù
úê úê
úê ú
1ú
ê
úê
úê1 1úê0 1úê
7ú
úê
ûë ú
û
5ú
ûë ûë
(1) - 2 ´ (2)
T (1)- 2´ (2)T 1 T (2)+ 1´ (1)A x
´ (2)
5
= T (1)- 2´ (2)T 1 T (2)+ 1´ (1)Eb
´ (2)
5
(1) « (2)
T (1)« (2)T (1)- 2´ (2)T 1 T (2)+ 1´ (1)A x
´ (2)
5
= T (1)« (2)T (1)- 2´ (2)T 1 T (2)+ 1´ (1)Eb
´ (2)
5
42
X º T (1)« (2)T (1)- 2´ (2)T 1 T (2)+ 1´ (1)
´ (2)
5
é0 1ùé1 - 2ùéê1 0 ù
úéê1 0ù
ê
úê
ú
ê 1 úê ú
= ê
úê
ú
0 1 úê0 úê1 1ú
êë1 0úê
ú
ûë
ûêë 5 ú
ûë û
X A x = X Eb
é1 0ùéx ù
ê
ú =
ê0 1úêêy ú
ú
êë
ú
ûë û
é1 1 ù
ê
ú
ê5 5 úéê3ù
ú
ê3
ú
ê
ê - 2 úêë7ú
ú
û
êë5
ú
5û
QXA = E
x = Xb
= A - 1b
\ X = A- 1
43
掃きだし法
逆行列を作るときには、
対角成分に注目する。
• 系統的な行基本変形
– （１）ある要素を１にする。（スカラー倍の基本
変形 T k´ (i ) ）
– （２）その列の（１）の要素以外を０にする。（加
減法の基本変形 T ( j )- s´ (i ) ）
– これらを左から順に全ての列に行う。
44
j 列における掃き出し
A = [aij ] を m
éa11
ê
êM
ê
êai 1
ê
ê
êM
ê
êêam 1
ë
´ n 行列とする。
L a1j L a1n ù
ú
O M
Mú
ú
L aij L ain úú
ú
M O Mú
ú
L amj L amn úú
û
同様に、繰り返し
aij ¹ 0 のとき、
T1
aij
´ (i )
T(k )- akj ´ (i )
éa '11
ê
êM
ê
êa
ê i1
êa
ê ij
ê
êM
ê
êa 'm 1
êë
を左からかける。
éa11
ê
êM
ê
êai 1
ê
êaij
ê
êM
ê
êa
êêë m 1
a1n ù
ú
O M
Mú
ú
ain ú
ú
L 1 L
aij ú
ú
M O Mú
ú
L amj L amn ú
ú
ú
û
L
a1j
L
を左からかける。
a '1n ù
ú
O M
Mú
ú
ain ú
ú
L 1 L
aij ú
ú
ú
MO
Mú
ú
L 0 L a 'mn ú
ú
û
L
0 L
このように、 j列で (i, j )成分以外を０にできる。
この一連の操作を j 列の (i, j ) 成分による掃きだしという。
45
例
é1 1 0ù
ê
ú
ê
ú
A
=
1
0
1
ê
ú の逆行列を求めよ。 １列目の掃きだし
行列
ê
ú
ê0 1 1ú
終了
êë
úû
解
é1 1 0 1 0 0ù
ê
ú
ê
ú
ê1 0 1 0 1 0ú
ê
ú
ê0 1 1 0 0 1ú
êë
ú
û
T (2)- 1´ (1)
é1 1 0 1 0 0ù
ê
ú
ê
ú
ê0 1 - 1 1 - 1 0ú
ê
ú
ê0 1 1 0 0 1ú
êë
ú
û
T (1)- 1´ (2)
é1 1 0 1 0 0ù
ê
ú
ê
ú
ê0 - 1 1 - 1 1 0ú
ê
ú
ê0 1 1 0 0 1ú
êë
ú
û
é1 0 1 0 1 0ù
ê
ú
ê
ú
ê0 1 - 1 1 - 1 0ú
ê
ú
ê0 1 1 0 0 1ú
êë
ú
û
T - 1´ (2)
é1 0 1 0 1 0ù
ê
ú
ê
ú
ê0 1 - 1 1 - 1 0ú
ê
ú
ê0 0 2 - 1 1 1ú
êë
ú
û
T(3)- 1´ (2)
46
é
ê
ê1 0 1 0
1
ê
ê0 1 - 1 1 - 1
ê
ê
ê
1 1
ê0 0 1 êê
2 2
ë
T1
ù
ú
0 úú
0 úú
ú
1ú
ú
2 úúû
é
ù
ê
ú
1
0
1
ê
0
1 0ú
ê
ú
ê
ú
1
1
1
ê0 1 0
ú
ê
2
2 2ú
ê
ú
ê
1 1 1ú
ê0 0 1 ú
ê
2 2 2ú
êë
ú
û
T(2)+ 1´ (3)
´ (3)
2
よって、
A- 1
é
ù
1
1ú
ê1 0 0 1
- ú
ê
2
2
2ú
ê
ê
ú
1
1
1
ê0 1 0
ú
ê
2
2 2 ú
ê
ú
ê
1 1
1 ú
ê0 0 1 ú
ê
2 2
2 ú
êë
ú
û
T(1)- 1´ (3)
é1
1
1ù
- ú
ê
2
2ú
ê2
ê1
ú
1
1
ú
= êê
ú
2
2
2
ê
ú
ê 1 1
ú
1
êú
êë 2 2
2 ú
û
この計算手順に従えば、一般のｎ次の正則行列に対する
逆行列を求めることができる。
47
掃き出し方のイメージ
１
１
１
0
掃き出し
１
１
未処理
a ii
0
48
練習
次の行列の逆行列を求めよ。
é 1 2 - 1ù
ê
ú
ê
ú
ê- 1 - 1 2 ú
ê
ú
ê2 - 1 1 ú
êë
ú
û
49
行列の基本変形の応用２
（行列の階数（rank)）
50
連立方程式と階数
例
ìï 3x + 2y
ïï
ïï 6x + 4y
ï
í
ïï 5x + 3y
ïï
ïï 15x + 9y
ïî
= 8 L (2)
(2) = 2 ´ (1)
(4) = 3 ´ (3)
= 3 L (3)
の関係に注目する。
= 4 L (1)
= 9 L (4)
4本の方程式があるが、意味のある方程式は２本である。
このようなとき、連立方程式中に意味のある方程式の本数
を調べたい。
é3
ê
ê6
ê
ê
ê5
ê
êê15
ë
2ù
ú
4úúéx ù
úêêy úú=
3úë û
ú
9úú
û
é4ù
êú
ê8ú
êú
êú
ê3ú
êú
êê9úú
ëû
51
例２
ìï 2x - x + 3x + x = 2
2
3
4
ïï 1
ï
í x1 + x 2 - 2x 3 + 3x 4 = 1
ïï
ïï 4x1 + x 2 - x 3 + 7x 4 = 4
îï
（１）
（２）
（3）
このような方程式においても、
(3) (1) (2) 2 と表せるので、
本質的な方程式の本数は２本である。
é2 - 1 3 1ùéêx1 ù
é2ù
ú
ê
úêx ú ê ú
ê
úê 2 ú ê ú
ê1 1 - 2 3úêx ú= ê1ú
ê
úê 3 ú ê ú
ê4 1 - 1 7úêx ú ê4ú
êë
ú
ûêë 4 ú
û
û êë ú
52
一般的に、
ìï a11x 1 + a12x 2 + L + a1n x n
ïï
ïï a21x1 + a22x 2 + L + a2n x n
ï
í
ïï
M
ïï
ïï am 1x1 + am 2x 2 + L + amn x n
î
= b1
= b2
= bm
のような連立方程式では、その係数行列に本質的な方程式の本数
が隠れている。
éa11 a12 L
ê
êa21 O
ê
êM
ê
ê
êêëam 1 L
係数行列
a1n ù
úéx 1 ù
Múê ú
úêMú=
úê ú
úê ú
úêëx n ú
û
amn ú
ú
û
éb1 ù
ê ú
êb ú
ê2ú
ê ú
êMú
ê ú
êbm ú
êë ú
û
53
éa11 a12 L
ê
êa21 O
ê
êM
ê
ê
êêëam 1 L
a1n ù
úéx 1 ù
Múê ú
úêMú=
úê ú
úê ú
úêëx n ú
û
amn ú
ú
û
éb1 ù
ê ú
êb ú
ê2ú
ê ú
êMú
ê ú
êbm ú
êë ú
û
係数行列
連立方程式の本質的な本数は、
係数行列の階数（ランク、rank）と等しい。
係数行列の階数を求めるためには、
係数行列を行基本変形することで、
階段行列に変形することで調べることができる。
54
階段行列
定義（階段行列）
次のような形の行列を階段行列とよぶ。
0 0 a1 j1
0 0 0
0 0 0
ただし、
a1 j '1
0
a2 j2
a2 j '2
0
0
arjr
0
arj 'r
0
a1 j1 0, a2 j2 0, , arjr 0
55
階段行列のイメージ
値
値
O
注意：
（１）全ての行で、値のある列数は異なる。
（２）行ごとに２列以上の違いがあってもよい。
56
階段行列の例
1 2 3 4
0 1 2 3
0 0 0 0
1
0
0
0
2
1
0
0
3 1 4
9 7 1
0 49 10
0 0
0
階段状でない
0 2 3 4
2 1 2 3
0 0 0 0
1
0
0
0
2 3 1 4
1 9 7 1
3 56 49 10
0 0 0
0
同じ列数の行
がある。
57
練習
次の行列が階段行列であるか答えよ。
（１）
（３）
0
0
0
0
1
0
0
0
0 3 1
0 9 3
0 0 3
0 0 0
3
1
9
0
（２）
0 3
0 2
0 0
0 0
3
2
9
0
1
0
（４）
0
0
7
3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
3
0
0
0
0
1
0
0 3 1 3
0 9 3 1
3 1 49 9
0 0 0 0
58
行基本変形と階段行列
（行列の階段行列化）
任意の行列 A = [a 1 L a n ] は、
有限回の行基本変形だけを行うことにより、
階段行列に変形できる。
証明
次のような手順を踏めばよい。
（１）第１列から順に、0 ベクトルでない列 a j1 探す。
（２） A の行を入れ替えて、 (1, j1 ) 成分が0で無いようにする。
（３）第１行に適当なスカラーを掛けて、(1, j1 ) 成分を１にする。
（４） 2 £ i £ m に対して、 (1, j1 ) 成分で掃き出して、
(i, j1) 成分をすべて0 にする。
59
同様に、
（１）第 j1 + 1列から順に、2行目以降が 0 でない列ベクトル
を探す。
a j2
（２） 行を（ 2 : m 行で）入れ替えて、(2, j2 )成分が0で無いようにする。
（３）第2行に適当なスカラーを掛けて、 (2, j2 ) 成分を１にする。
（４） 3 £ i £ m に対して、 (2, j2 ) 成分で掃き出して、
(i, j2 ) 成分をすべて0にする。
以下,同様に行なえば、階段行列にできる。
QED
60
例１
1 2 3 4
A 5 6 7 8
9 10 11 12
を階段行列に変形せよ。
基本変形には
「＝」と書かな
いこと。
解）
1 2 3 4
5 6 7 8 T
9 10 11 12
T
1
- ´ (2)
4
(2)- 5´ (1)
4
1 2 3
0 4 8 12
9 10 11 12
3
4
1 2
0 1
2
3
0 8 16 24
T (3)- 8´ (2)
T
(2)- 9´ (1)
3
4
1 2
0 4 8 12
0 8 16 24
1 2 3 4
0 1 2 3
0 0 0 0
61
例２
解）
1
2
1
4
1
2
B
1
4
2 3 1 4
3 1 2 5
5 4 1 1
2 14 3 12
1 2
0 7
0 0
0 6
T
2 3 1 4
3 1 2 5
5 4 1 1
2 14 3 12
(3)+ 6´ (2)
(1,1)による掃出し
3 1 4
T
7 0 3
0 0 0
2 7 4
1
0
0
0
を階段行列に変形せよ。
(2)+ 1´ (4)
2 3 1 4
1 9 7 1
0 56 49 10
0 0 0
0
1 2
0 1
0 0
0 6
1 2
0 7
0 7
0 6
3 1 4
T
9 7 1
0 0 0
2 7 4
3 1 4 T
7 0 3
7 0 3
2 7 4
(3)« (4)
1 2
0 1
0 6
0 0
(3)- 1´ (2)
3 1 4
9 7 1
2 7 4
0 0 0
62
練習
次の行列を階段行列にせよ。
（１）
1 2 1 4
2 4 3 5
1 2 6 7
（２）
1
2
3
4
2
3
4
5
3
4
5
6
4
5
6
7
5
6
7
8
63
階数（rank)
定義（行列の階数）
s
r
行列 A を行基本変形で階段行列
に変形したとき、
A
s
階段行列 A の段数を、元の行列 A の階数といい、
と表す。
rank(A )
もちろん、
s
rank(A ) = rank(A )
であり、そのうえ
変形途中で現れる全ての行列は、
同じ階数を持つ。
64
練習
次の行列の階数を求めよ。
（１）
é8 - 1 5 - 8ù
êë
ú
û
(3)
（2）
é1
ê
ê1
ê
ê
ê1
ê
ê
1
ê
ë
1 1ù
ú
1 1ú
ú
ú
1 1ú
ú
1 1ú
ú
û
é1
ù
2
1
4
ê
ú
ê
ú
2
4
3
5
ê
ú
ê
ú
ê- 1 - 2 6 - 7ú
ê
ú
ë
û
65
階数の性質１
定理（階数と転置）
行列 A の階数は、転置しても変わらない。
すなわち、
t
rank(A ) = rank( A )
定理（階数と行数、列数の関係）
行列
A を m ´ n 行列とするとき、
rank(A ) £ min{m, n }
66
例
1 2 3 4
A 5 6 7 8
9 10 11 12
1
2
t
A
3
4
1
1
1
0
5
6
7
8
5
1
1
0
1 2 3 4
0 1 2 3
0 0 0 0
9
10
11
12
9
1
1
0
1
2
3
1
1
1
0
0
5
1
0
0
5
6
7
1
9
10
11
1
9
1
0
0
1
2
1
1
1
0
0
0
5
4
0
0
5
6
1
1
9
10
1
1
1
1
1
1
5
1
1
1
9
8
0
0
67
9
1
1
1
階数の性質２
定理（階数と正則行列の積）
行列 A の階数は、正則行列を掛けてもかわらない。
すなわち、 B ,C を積の定義できる正則行列すると、
次式が成り立つ。
（１）
rank(BA ) = rank(A )
（２）
rank(A C ) = rank(A )
（３）
rank(BA C ) = rank(A )
A
自身は正則行列でなくてもかまわない
ことに注意する。さらに、A は正方行列
でなくてもかまわない。
68
階数の性質３
定理（行列の積と階数）
行列 A と行列 B の積では、階数は変わらないか、
あるいは減少する。
すなわち、
（１）
rank(A B ) £ rank(A )
これは、次のようにも記述できる。
（２）
rank(A B ) £ min{rank(A ), rank(B )}
69
階数の性質４
定理（階数と正則行列）
n 次の正方行列 A
が正則行列であるための
必要十分条件は、
rank(A ) = n
である。
これまでの、性質は正方行列以外でも成り立つ。
この性質だけ、正方行列と階数の関係を示して
いる。
70