Transcript Lista 9 - Leis de Kirchhoff

FÍSICA 2
Professor: Igor Ken
LISTA 9 – LEIS DE KIRCHHOFF
2
Req = R.2R  2R  2R
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
3R
Os exercícios estão separados por nível de dificuldade
(nível I, nível II e nível III).
Alguns exercícios necessitam de uma atenção especial,
seja por manipulação algébrica mais rigorosa, seja por
uma teoria mais difícil de assimilar ou por adicionarem
algum conceito novo e, por esse motivo, estão
resolvidos.
3R
3
Aplicando a lei das malhas:

2Ri
2Ri
0
3
3
Igualando as duas expressões:
2Ri
 2RI  I  3l
3
Bons estudos!
LEIS DE KIRCHHOFF
Resposta D
Nível I
Exercício resolvido
1. (UFMG 2009) Observe este circuito, constituído de
três resistores de mesma resistência R; um
amperímetro A; uma bateria  ; e um interruptor S:
Considere que a resistência interna da bateria e a do
amperímetro são desprezíveis e que os resistores são
ôhmicos.
Com o interruptor S inicialmente desligado, observa-se
que o amperímetro indica uma corrente elétrica I.
Com base nessas informações, é correto afirmar que,
quando o interruptor S é ligado, o amperímetro passa a
indicar uma corrente elétrica:
2l
a) .
3
l
b) .
2
c) 2l.
d) 3l.
2. (PUCCAMP) No circuito elétrico representado no
esquema a seguir, as fontes de tensão de 12 V e de 6
V são ideais; os dois resistores de 12 ohms, R1 e R2,
são idênticos; os fios de ligação têm resistência
desprezível.
Nesse circuito, a intensidade de corrente elétrica em R 1
é igual a
a) 0,50 A no sentido de X para Y.
b) 0,50 A no sentido de Y para X.
c) 0,75 A no sentido de X para Y.
d) 1,0 A no sentido de X para Y.
e) 1,0 A no sentido de Y ara X.
3. (UFRRJ) Na figura a seguir observa-se um circuito
elétrico com dois geradores (E1 e E2) e alguns
resistores.
a
Utilizando a 1 lei de Kirchhoff ou lei dos nós, pode-se
afirmar que
Resolução
Com a chave S aberta, segundo a lei das malhas de
Kirchhoff:
  R I  R I  0
  2  R  I  0    2RI
Com a chave S fechada, o resistor R que está próximo
à chave ficará em paralelo ao fio de resistência 2R. O
equivalente será igual a
CASD Vestibulares
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1
a) i1 = i2 - i3
b) i2 + i4 = i5
c) i4 + i7 = i6
d) i2 + i3 = i1.
e) i1 + i4 + i6 = 0.
b) Indo do ponto A para o ponto B, no sentido da
corrente:
VA – E’ – r i = VB  VA – VB = E’ + r i
 VA – VB = 11 + 0,1(5)  VA – VB = 11,5 V.
Exercício resolvido
5. (Mackenzie)
4. (UFRJ 2010) Um estudante dispunha de duas
baterias comerciais de mesma resistência interna de
0,10 Ω, mas verificou, por meio de um voltímetro ideal,
que uma delas tinha força eletromotriz de 12 Volts e a
outra, de 11Volts. A fim de avaliar se deveria conectar
em paralelo as baterias para montar uma fonte de
tensão, ele desenhou o circuito indicado na figura a
seguir e calculou a corrente i que passaria pelas
baterias desse circuito.
No circuito anterior, os geradores são ideais. A d.d.p
entre os pontos A e B é:
a) zero
b) 6,0 V
c) 12 V
d) 18 V
e) 36 V
Nível II
Exercício resolvido
a) Calcule o valor encontrado pelo estudante para a
corrente i.
b) Calcule a diferença de potencial V A − VB entre os
pontos A e B indicados no circuito.
6. (UEL 2011) Um circuito de malha dupla é
apresentado na figura a seguir.
Resolução
Dados: A bateria de B1 funciona como gerador (força
eletromotriz: E = 12 V) e a bateria de B2 funciona como
receptor (força contraeletromotriz: E’ = 11 V). Ambas as
resistências internas valem r = 0,10 .
a) O sentido da corrente é mostrado na figura a seguir.
Sabendo-se que R1 = 10Ω, R2 = 15 Ω, ε1 = 12V e ε 2 =
10V , o valor da corrente i é:
a) 10 A
b) 10 mA
c) 1 A
d) 0,7 A
e) 0,4 A
Resolução
Aplicando a lei das malhas a esse circuito de malha
única, percorrendo-a no sentido da corrente, temos:
Dados: R1 = 10 , R2 = 15 , ε1 = 12 V e ε 2 = 10 V.
Sejam as correntes conforme a figura a seguir.
E – r i – E' – r i = 0  12 – 0,1 i – 11 – 0,1 i = 0
 0,2 i = 1  i = 5,0 A.
2
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CASD Vestibulares
Calcule a diferença de potencial VA - VB entre os pontos
terminais A e B em função de ε.
Resolução
Em cada fio de resistência 3R existe uma corrente
Apliquemos as leis de Kirchhoff.
– Malha abcdefa:
i = /(3R)
– Malha defgd:
Multiplicando a equação (I) por -2,5 e montando o
sistema:
50  87,5i  25i'



22  10i  25i'
Adotando que o potencial elétrico na placa positiva da
bateria é  e na placa negativa é zero temos:
 - VA = R./(3R)
  28  77,5i  i  0,36 A.
  - VA = /3  VA = 2/3
No outro fio:
 - VB = 2R. /(3R)
Resposta E
7. (FUVEST-GV) No circuito esquematizado a seguir, o
amperímetro acusa uma corrente de 30 mA.
  - VB = 2/3  VB = /3
Então:
VA – VB = 2/3 – /3 = /3
9. (UFC 2008) Considere o circuito da figura a seguir:
a) Qual o valor da força eletromotriz fornecida pela
fonte E?
b) Qual o valor da corrente que o amperímetro passa a
registrar quando a chave k é fechada?
Exercício resolvido
8. (UFRJ 2009) Uma bateria ideal de força eletromotriz
ε está ligada a um circuito como ilustra a figura a seguir.
CASD Vestibulares
a) Utilize as leis de Kirchhoff para encontrar as
correntes I1, I2, I3
b) Encontre a diferença de potencial VA - VB .
10. (UECE 2007) No circuito, as resistências elétricas
são dadas em ohms.
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3
Se o potencial elétrico no ponto A é 24 V, a razão entre
a corrente i1 no trecho CD e a corrente i2 no trecho AB,
isto é, i1/i2, é
a) 1
b) 0
c)
1
2
Lei dos nós em b:
(i)chegam  (i)saem  i1  i2  i3 (eq 01)
Lei das malhas em abdxa:
R1i1  R2i2  1  0  10i1  15i2  240 (eq 02)
Lei das malhas em bcydb:
R3i3   2  R2i2  0  5i3  100  15i2  0 
15i2  5i3  100 (eq 03)
d) 2
Exercício resolvido
Substituindo 01 em 02,vem:
10(i2  i3 )  15i2  240  25i2  10i3  240 (eq 04)
11. (UEM 2004) Relativamente ao circuito elétrico
representado na figura a seguir, assuma que R1 = 10,0
Ω, R2 = 15,0 Ω, R3 = 5,0 Ω, ε1 = 240,0 mV e ε2 = 100,0
mV. Assinale o que for correto.
Fazendo ((eq 03) x 2) + eq 04, vem:
55i2  440  i2  8,0mA (eq 05)
Substituindo 05 em 04, vem:
25  8  10i3  240  10i3  40  i3  4,0A
Voltando à Lei dos nós, temos:
i1  i2  i3  i1  8  4  12mA
01) No nó b, i2 = i1 - i3.
Certa. Observando a eq 01 concluímos.
01) No nó b, i2 = i1 - i3.
02) A corrente elétrica i2 que atravessa o resistor R2 é
menor do que a corrente i3 que atravessa o resistor
R3.
04) O valor da potência elétrica fornecida ao circuito
pelo dispositivo de força-eletromotriz ε 1 é 2,88 mW.
08) Aplicando a Lei das Malhas (de Kirchhoff) à malha
externa 'abcda' do circuito, obtém-se a equação ε 1
+ ε 2 = R1i1 + R3i3.
16) A diferença de potencial elétrico Vb - Vd entre os
pontos b e d do circuito vale 150,0 mV.
32) A potência dissipada no resistor R2 vale 1,50 mW.
64) O valor da potência elétrica dissipada pelo
dispositivo de força-contra-eletromotriz ε 2‚ é 0,40
mW.
Resolução
02) A corrente elétrica i2 que atravessa o resistor R2 é
menor do que a corrente i3 que atravessa o resistor
R3.
Errada: i2  8,0mA e i3  4,0mA
04) O valor da potência elétrica fornecida ao circuito
pelo dispositivo de força-eletromotriz ε1 é 2,88 mW.
Certa: P1  1i1  240  12  2880 W  2,88mW
08) Aplicando a Lei das Malhas (de Kirchhoff) à malha
externa 'abcda' do circuito, obtém-se a equação
ε1 + ε2 = R1i1 + R3i3.
Errada: Malha externa:
1  R1i1  R3i3   2  0  1   2  R1i1  R3i3
16) A diferença de potencial elétrico Vb - Vd entre os
pontos b e d do circuito vale 150,0 mV.
Errada. VBD  R2i2  15  8  120mV
1 + 4 + 64 = 69
Vamos resolver o circuito na íntegra e depois veremos
as afirmativas.
32) A potência dissipada no resistor R2 vale 1,50 mW.
Errada. P2  R2i22  15  (8)2  960 W  0,96mW
64) O valor da potência elétrica dissipada pelo
dispositivo de força-contra-eletromotriz ε2‚ é 0,40
mW.
4
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Certa. P2   2i3  100  4  400 W  0,4mW
Malha ABDA:
10 i2  10 i3  10  0  i2  i3  1
Nível III
IV .
Exercício resolvido
Somando (III) e (IV):

2
2 i2  i3  3 III
 3 i2  2  i2  A.

3
i

i


1
IV
 

2 3
12. (ITA 2013) Considere o circuito elétrico mostrado na
figura formado por quatro resistores de mesma
resistência, R  10 , e dois geradores ideais cujas
Substituindo em (IV):
2
5
i2  1  i3 
 1  i3  i3  .
3
3
ε1  30 V e
ε2  10 V. Pode-se afirmar que as correntes i1, i2, i3 e i4,
nos trechos indicados na figura, em ampères, são
respectivamente:
respectivas forças eletromotrizes são
Voltando em (I):
i1  i2  i3
 i1 
2 5

3 3
 i1 
7
A.
3
Malha CABC:
10 i4  10  30  0  10 i4  40  i4  4 A.
Resposta B
Exercício resolvido
13. (UFPR 2011) A figura mostra um circuito formado
por uma fonte de força eletromotriz e cinco resistores.
São dados: ε = 36 V, R1 = 2  , R2 = 4  , R3 = 2  , R4
= 4  e R5 = 2  .
a) 2, 2/3, 5/3 e 4.
b) 7/3, 2/3, 5/3 e 4.
c) 4, 4/3, 2/3 e 2.
d) 2, 4/3, 7/3 e 5/3.
e) 2, 2/3, 4/3 e 4.
Resolução
Redesenhando o circuito, já com os dados, temos:
Com base nessas informações determine:
a) A corrente elétrica que passa em cada um dos
resistores.
b) A resistência equivalente do circuito formado pelos
resistores R1 a R5.
Resolução
Dados: ε = 36 V, R1 = 2  , R2 = 4  , R3 = 2  , R4 = 4
 e R5 = 2  .
Aplicando as leis Kirchhoff:
Nó D:
i1  i2  i3
a) Sejam as correntes conforme o circuito a seguir.
I
Malha CDBC (anti-horário):
10 i1  10 i2  30  0  i1  i2  3
(I) em (II):
i2  i3   i2  3  2 i2  i3  3
CASD Vestibulares
II.
III.
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Em (I):
54 36

7
7
zxy

z
18
.
7
Assim:
i1 = i5 = x = 54 A;
7
i2 = i4 = y = 36 A;
Como R1 = R5 e R2 = R4,
o circuito apresenta simetria, ou seja:
7
18
i3 = z =
A.
7
i1 = i5 e i2 = i4.
b) a corrente total é:
Assim, podemos transformar o circuito da Fig. 1 no
circuito da Fig. 2, fazendo:
ixy
i1 = i5 = x;
i2 = i4 = y;
i3 = z.
36 54

7
7
 i
90
A.
7
Aplicando a lei de Ohm-Pouillet ao circuito:
  Req i

Req 

36

i 90
7
 Req  2,8 .
14. (ITA 2007)
Aplicando a lei dos nós em B:
x = y + z  z = x – y (I).
Aplicando a lei das malhas:
Malha MABCNM  R1 x + R2 y –  = 0
 2 x + 4 y = 36 (II).
No circuito da figura, têm-se as resistências R, R1, R2 e
as fontes V1 e V2 aterradas, A corrente i é igual a:
Malha ABEFA  R1 X + R3 z – R4 y = 0
 2 x + 2 z – 4 y = 0 (III).
a)
Substituindo (I) em (III):
b)
2 x + 2(x – y) – 4 y = 0  2 x + 2 x – 2 y – 4 y = 0
 4 x – 6 y = 0  -2 x + 3 y = 0 (IV).
c)
Montando o sistema com (II) e (IV) e somando:
d)
2 x  4 y  36

2x  3 y  0
 7 y  36  y 
36
7
e)
 V1R2  V2R1 
R1R2  RR2  RR1 
 V1R1  V2R2 
R1R2  RR2  RR1 
 V1R1  V2R2 
R
R
 1 2  RR2  RR1 
 V1R2 
V2R1 
R1R2  RR2  RR1 
 V2R1  V1R2 
R1R2  RR2  RR1 
Substituindo em (II):
Exercício resolvido
15. (UEG 2009) O esquema representa uma rede de
distribuição de energia elétrica que consta de:
- geradores G1 e G2 de fem E1 = E2 = ε e resistências
internas r1 = r2 = R;
6
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CASD Vestibulares
- motor M de fcem E3=
3ε
e resistência interna r3 = 2R;
10
- resistores de resistências internas R1 = R2 = R; R3 = 6R
e R4 = 2R.
2ª Lei (Lei das malhas)
Malha da esquerda (ABEFA), a partir do ponto A, no
sentido horário.
R i1 – R i2 +  – R i2 + 2 R i1 –  + R i1 = 0. Fazendo os
cancelamentos, vem:
i1 – i2 – i2 + 2 i1 + i1 = 0  4 i1 – 2 i2 = 0 
2 i1 – i2 = 0 (equação I).
Malha da direita (BCDEB), a partir do ponto B, no
sentido horário.
6 R (i1 + i2) +
3
10

+ 2 R (i1 + i2) + R i2 –  + R i2 = 0 
6 R i1 + 6 R i2 + 2 R i1 + 2 R i2 + R i2 + R i2 +
3
10
 –
= 0.
Simplificando, vem:
8 R i1 + 10 R i2 =
7
10

(equação II).
Montando o sistema com as equações (I) e (II):
Tendo em vista as informações, responda ao que se
pede.
a) Obtenha a equação matricial que permite calcular as
correntes i1 e i2.
b) Sendo R = 0,5 Ω e  = 20 V, calcule as correntes i1, i2
e i3.
2i1  i2  0


7
8Ri1  10Ri2  10 

Colocando na forma matricial:
Resolução
0 
1   i1   
2

8R 10R  i   7ε 

  2  
10 
a) De acordo com os dados, podemos montar o circuito
da figura a seguir.
b) Dados: R = 0,5 Ω e  = 20 V. Substituindo esses
valores nas equações (I) e (II), o sistema torna-se:
(I)
2i1  i2  0

4i1  5i2  14 (II)
Multiplicando a equação (I) por 5
10i1  5i2  0
 
4i1  5i2  14
Somando membro a membro:
14 i1 = 14  i1 = 1 A.
Substituindo em (II):
4 (1) + 5 i2 = 14  5 i2 = 10  i2 = 2 A.
Como i3 = i1 + i2  i3 = 3 A.
GABARITO
Apliquemos as leis de Kirchhoff ao circuito.
1ª Lei (Lei dos nós)
Nó B: i3 = i1 + i2.
CASD Vestibulares
1. Exercício resolvido
2. b
3. d
4. Exercício resolvido
5. c
6. Exercício resolvido
7. a) 12 V
b) 24 mA
8. Exercício resolvido
FÍSICA 2
7
9. a) I1 = 1A;
I2 = 0,5 A;
I3 = 1,5 A .
b) VA - VB = 8 V
10. b
11. Exercício resolvido
12. Exercício resolvido
13. Exercício resolvido
14. d
15. Exercício resolvido
8
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