Transcript Geometria Espacial Métrica - Sólidos

LISTA DE EXERCÍCIOS – GEOM. ESPACIAL MÉTRICA – 2º E. M. – PROF. ROGERINHO
Nome: _____________________________________________________ Nº: _______ Turma: __________
01. Calcule a diagonal, a área total e o volume de um paralelepípedo de dimensões 3cm, 4cm e 6cm.
02. Calcule a diagonal, a área total e o volume de um cubo de 2cm de aresta.
03. Qual é a distância entre os centros de duas faces adjacentes de um cubo de 4cm de aresta?
04. O cubo de vértices ABCDEFGH, indicado na figura, tem arestas de comprimento a. Sabendo-se que M é o ponto médio da
aresta AE , então a distância do ponto M ao centro do quadrado ABCD é igual a
a)
a 3
5
d) a 3
b)
a 3
3
e) 2a 3
c)
a 3
2
05. Calcule a medida da terceira aresta de um paralelepípedo reto-retângulo, sabendo que duas delas medem 4cm e 7cm e que a
sua diagonal mede 3 10cm .
06. Determine a medida da diagonal de um paralelepípedo, sendo 62cm 2 sua área total e 10cm a soma de suas dimensões (obs.:
(a + b + c )
2
= a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ac ).
07. As dimensões de um aquário são de 1m, 0,35m na base e 0,58m na
altura. Ao enchermos este aquário, colocamos água até 8cm abaixo
de sua altura total, para que a água não transborde.
a) Se para cada 5 litros de água devemos acrescentar três gotas de
um desclorificante (produto para eliminar o cloro da água),
quantas gotas desse produto serão adicionadas à água?
b) Ao colocarmos o cascalho no fundo do aquário para decorá-lo,
o nível de água subiu 5cm. Calcule o volume (em
ocupado pelo cascalho no aquário.
8cm
0,58m
cm 3 )
0,35m
1m
08. Um prisma triangular regular tem 4cm de altura e o apótema da base mede
a) a aresta da base;
b) a área da base;
c) a área de uma face lateral;
d) a área lateral;
e) a área total;
f) o volume.
3cm . Calcule, desse prisma:
09. Idem ao exercício anterior para um prisma hexagonal regular de 4cm de altura e 3 3cm de apótema da base.
10. Calcule o volume de um prisma triangular de 6cm de altura, cujas arestas da base medem 5cm , 5cm e 8cm .
11. Calcule o volume de um prisma oblíquo, sabendo que a base é um hexágono regular de lado 2cm e que a aresta lateral,
inclinada a 60° em relação ao plano da base, mede 5cm.
12. Dois blocos de alumínio, em formato cúbico, com arestas medindo 4cm e 6cm são levados juntos à fusão e, em seguida, o
alumínio líquido poderá se moldado:
a)
em uma única pirâmide regular quadrada de aresta da base medindo 2 6cm e altura x. Calcule x.
b) ou em uma quantidade n de paralelepípedos reto-retângulos, com arestas iguais a
quantidade n.
2cm ,
2cm e 2cm. Calcule essa
13. Dois blocos de alumínio, ambos em forma de cubo, com arestas medindo 10cm e 6cm são levados juntos a fusão e, em
seguida, o alumínio líquido é moldado como um paralelepípedo de arestas 8cm, 8cm e x cm. Calcule o valor de x.
F’
14. A figura ao lado apresenta um prisma reto cujas bases são hexágonos regulares. O
apótema da base mede
A’
5 3
cm e a altura do prisma mede 10cm. Calcule o volume do
2
E’
B’
D’
C’
prisma.
F
E
A
D
B
15. Um tanque de criação de peixes tem a forma da figura ao lado,
em que ABCDEFGH representa um paralelepípedo retângulo e
EFGHIJ um prisma cuja base EHI é um triângulo retângulo,
com ângulo reto no vértice H e ângulo α no vértice I, tal que
3
sen α = . A superfície interna do tanque será pintada com
5
material impermeabilizante líquido. Cada metro quadrado
pintado necessita de 2 litros de impermeabilizante, cujo preço é
R$ 2,00 o litro. Sabendo-se que AB = 3m , AE = 6m e
AD = 4m , determine:
a) as medidas de EI e HI ;
b) a área da superfície a ser pintada e quanto será gasto em reais.
C
G
J
H
B
I
F
D
3m
C
4m
6m
A
E
16. Uma pequena indústria pretende fabricar caixas de dois tipos – uma em forma de um cubo e outra em forma de um
paralelepípedo reto-retângulo –, feitas de um mesmo material e ambas com a mesma capacidade. Se as dimensões do
paralelepípedo forem 8cm, 27cm e 64cm, qual será a área total da caixa cúbica?
17. A figura ao lado representa um prisma reto cujas bases são hexágonos regulares. Os
lados dos hexágonos medem 5cm cada um e a altura do prisma mede 10cm.
a) Calcule o volume do prisma.
b) Encontre a área da secção plana desse prisma que passa pelos pontos A, A’ e C.
A’
10cm
A
C
5cm
18. Uma amostra de metal é mergulhada em um tanque de água retangular, cuja base tem 15cm por 20cm de dimensões. O nível
de água eleva-se em 0,35cm. Determine, em centímetros cúbicos, o volume do metal.
19. Uma caçamba para recolher entulho, sem tampa, tem a forma de um prisma reto,
conforme mostra a figura, em que o quadrilátero ABCD é um trapézio isósceles.
As dimensões da caçamba, dadas em metros, são AB = 2, CD = 3,2, BC = 1 e CG = 1,5.
a) Calcule a capacidade dessa caçamba, em metros cúbicos.
b) As chapas de aço que compõem a caçamba devem ser protegidas com tinta anticorrosiva, tanto na parte interna quanto na parte externa. Calcule a área a ser pintada,
em metros quadrados.
20. Para aproveitar melhor o espaço do compartimento de carga de um
determinado modelo de avião, os objetos a serem transportados são
acondicionados em contêineres com o formato de um prisma hexagonal,
como mostra a figura (fora de escala). Calcule, em metros cúbicos, o
volume de cada um desses contêineres.
3,7m
2m
1,6m
2m
2m
0,3m
3,1m
0,3m
21. A altura de uma pirâmide triangular regular mede 12cm e o apótema da base mede 5cm. Calcule, dessa pirâmide:
a) a medida de um apótema;
b) a aresta da base;
c) a área da base;
d) a área de uma face lateral;
e) a área lateral;
f) a área total;
g) o volume.
22. Idem ao exercício anterior para uma pirâmide hexagonal regular com 6cm de altura e 2 3cm de apótema da base.
23. O apótema de uma face de um tetraedro regular mede
a) a medida de uma aresta;
b) a área total;
c) a altura;
d) o volume.
3cm . Calcule:
24. Pretende-se construir um obelisco de concreto, de forma piramidal regular, no qual a aresta da base quadrangular mede 6m e a
aresta lateral mede 3 5m . Determine:
a) a área total do obelisco;
b) o volume do obelisco;
c) o ângulo α de inclinação entre cada face lateral e a base do obelisco.
25. A pirâmide da figura é regular. A aresta da base mede 6cm e a altura mede
a) o volume da pirâmide.;
b) a área lateral da pirâmide.
3cm . Calcule:
26. A área da base de uma pirâmide é de 196cm 2 . A 4cm do vértice passa-se um plano paralelo à base, determinando uma secção
de área 64cm 2 . Determine a altura dessa pirâmide.
27. Uma pirâmide com 96cm 3 de volume é cortada em duas partes por um plano paralelo à sua base e que passa pelo ponto
médio da sua altura. Calcule os volumes dessas duas partes.
28. A figura ao lado representa uma pirâmide de base triangular ABC e vértice V.
Sabe-se que ABC e ABV são triângulos eqüiláteros de lado 2cm e que M é o
ponto médio do segmento AB . Se a medida do ângulo VMˆ C é 60º, calcule o
volume da pirâmide.
V
A
C
60º
M
B
29. Quatro dos oito vértices de um cubo de aresta unitária são vértices de um tetraedro
regular. As arestas do tetraedro são diagonais das faces do cubo, conforme mostra a
figura.
a) Obtenha a altura do tetraedro e verifique que ela é igual a dois terços da diagonal do
cubo.
b) Obtenha a razão entre o volume do cubo e o volume do tetraedro.
30. Para compor uma escultura, um artista criou uma peça metálica formada por um prisma
hexagonal regular, cuja aresta da base mede 3cm e a altura 20cm. Sobre esse prisma,
ele moldou uma pirâmide regular, com a mesma base do prisma e com 10cm de altura,
como mostra a figura ao lado. Calcule o volume dessa peça.
10cm
20cm
3cm
figura fora de escala
31. Uma pedra preciosa foi lapidada, ficando com a forma de um octaedro regular de
1
cm de aresta. Determine:
2
a) a área total dessa pedra;
b) o volume dessa pedra.
32. A área lateral de um cilindro reto é 150πcm 2 . Calcule seu volume, sabendo que a altura é igual ao triplo do raio da base.
33. Calcule a área lateral e a área total de um cilindro eqüilátero que tem por volume 128πcm 3 .
34. Retirando-se um semicilindro de um paralelepípedo reto-retângulo,
obtivemos um sólido cujas fotografias, em vista frontal e vista
superior, estão indicadas nas figuras.
Se a escala das medidas indicadas na fotografia é 1:100, o volume do
sólido fotografado, em m 3 , é igual a
A) 2(14 + 2π).
B) 2(14 + π).
C) 2(14 – π).
D) 2(21 – π).
E) 2(21 – 2 π).
35. A área de uma secção meridiana de um cilindro de revolução é de 48cm 2 . Calcule a área total e o volume desse cilindro,
2
sabendo-se que o raio da base é
da altura do cilindro.
3
36. Um tanque com a forma de um cilindro circular reto tem 2,40m de altura e raio da
base igual a 2m, estando com a base apoiada num plano horizontal. Ao longo de
uma geratriz (vertical), de baixo para cima, esse tanque possui 3 torneiras iguais,
espaçadas de 60cm, como mostra a figura abaixo. Cada torneira proporciona uma
vazão de 20π litros por minuto. Estando completamente cheio de água e abrindo-se
as 3 torneiras, o tempo necessário para o esgotamento completo do tanque será de:
a) 2h40min
b) 3h20min
c) 3h40min
d) 4h20min
e) 4h40min
37. Uma peça de ferro é formada de um prisma hexagonal regular com um furo
cilíndrico no meio, conforme mostra a figura. A aresta da base do prisma mede 6cm
e a altura, 2cm. O diâmetro do furo mede 4cm. Calcule o volume de ferro utilizado
nesta peça.
38. Num cilindro circular reto de raio da base r e altura 10cm, completamente cheio de água, foi
imersa uma pirâmide quadrangular regular de altura 2πcm , cuja diagonal da base mede
2r . Calcule a razão entre o volume de água que transbordou e o volume do cilindro.
39. Um cone reto tem 8cm de raio da base e 6cm de altura. Calcule desse cone:
a) a medida de uma geratriz;
b) a área lateral;
c) a área total;
d) o volume;
e) a medida, em radianos, do ângulo θ obtido pelo desenvolvimento da superfície lateral sobre um plano.
40. A geratriz de um cone reto mede 10cm e sua área total é 96πcm 2 . Calcule o seu volume.
41. Calcule o volume de um cone eqüilátero cuja área de uma secção meridiana é de 9 3cm 2 .
42. A figura representa o sorvete “choconilha”, cuja embalagem tem a forma de um cone
circular reto. O cone é preenchido com sorvete de chocolate até a altura de 12cm e, o
restante, com sorvete de baunilha. Adotando π = 3 , o número máximo de sorvetes que é
possível embalar, com 2 litros de sorvete de baunilha e 1 litro de sorvete de chocolate, é
a) 21
b) 22
c) 18
d) 17
e) 19
6cm
43. Uma mistura de leite batido com sorvete é servida em uma taça, como na figura.
Se na parte superior do copo há uma camada de espuma de 2cm de altura, calcule o
volume ocupado pela mistura no copo, excluindo-se a espuma (considere π = 3 ).
2cm
12cm
44. No sólido da figura, ABCD é um quadrado de lado 2cm e AE = BE = 10cm . Calcule o volume
desse sólido.
D
C
A
B
E
45. Um plano secante a uma esfera distando 2 5cm do centro dela, determina na esfera um círculo de área 16πcm 2 . Calcule a
área e o volume dessa esfera.
46. Um recipiente cilíndrico reto, com raio da base igual a 12cm, contém água até a metade de sua altura. Uma esfera maciça,
colocada no seu interior, fica totalmente submersa, elevando a altura da água em 2cm. Calcule o raio da esfera.
47. Uma bóia marítima, cuja superfície é coberta por uma determinada liga metálica, tem o
formato de uma gota que, separada em dois sólidos, resulta em um cone reto e uma semi-
r = 0,5m . Se o preço do m 2 da liga metálica é
1200 reais, calcule o custo da liga metálica que cobre a superfície da bóia (adote π = 3 ).
esfera, conforme a figura ao lado, na qual
3r
r
48. Considere o recipiente da figura, formado por um cilindro reto de raio 3cm e altura 10cm, com uma concavidade inferior na
forma de um cone, também reto, de altura 3cm e raio da base 1cm.
a) Calcule o volume de um líquido que ocupa o recipiente até a metade da sua altura.
4
b) Mergulhando-se no líquido desse recipiente uma esfera impermeável, o nível do líquido sobe
cm . Determine o raio da
27
esfera.
Figura fora de escala
Figura fora de escala
49. Na figura, temos um recipiente cônico reto cheio de água (I), um recipiente cilíndrico reto (II) e uma esfera de aço dentro do
recipiente cilíndrico (III).
15cm
9 cm
4
h
4cm
(I)
4cm
(II)
4cm
(III)
a) Calcule o volume de água contida no cone (I).
b) Ao despejarmos o volume de (I) em (II), a água atinge uma altura h. Calcule h.
9
c) Em (III), mergulha-se a esfera na água e o líquido eleva-se em cm . Calcule o raio dessa esfera.
4
50. Um troféu para um campeonato de futebol tem a forma de uma esfera de raio
R=10cm cortada por um plano situado a uma distância de 5 3cm do centro
da esfera, determinando uma circunferência de raio r cm, e sobreposta a um
cilindro circular reto de 20cm de altura e raio r cm, como na figura (não em
escala).
O volume do cilindro, em cm 3 , é
a) 100π.
b) 200π .
c) 250π .
d)500π .
e)750π.
GABARITO
01.
d = 61cm ; A = 108cm 2 ; V = 72cm3
24.
a) At = 108cm 2
b) V = 36 3cm 3
02.
d = 2 3cm ; A = 24cm 2 ; V = 8cm3
25.
a) V = 54cm 3
b) Al = 18 30 cm 2
03.
2 2 cm
26.
7cm
04.
alternativa c
27.
12cm 3 e 84cm 3
05.
5cm
28.
V=
06.
38cm
3
cm 3
2
2 3
;d = 3
3
07.
a) 105 gotas
b) 17500cm 3
29.
a) h =
08.
a) l = 6cm
b) Ab = 9 3cm 2
30.
V = 315 3cm 3
31.
a) At =
32.
375πcm 3
33.
Al = 64πcm 2 ; At = 96πcm 2
c) Af = 24cm
2
d) Al = 72cm
)
(
09.
2
e) At = 18 3 + 4 cm 2
f) V = 36 3cm3
a) l = 6cm
b) Ab = 54 3cm 2
c) A f = 24cm
2
d) Al = 144cm
)
(
e) At = 36 3 3 + 4 cm 2
10.
72cm3
11.
45cm 3
12.
a) 35cm
13.
b) 3
2
f) V = 216 3cm 3
34.
35.
3
cm 2
2
b) V =
2
cm 3
24
alternativa e
At = 80πcm 2 ; V = 96πcm 3
36.
alternativa d
x = 19cm
37.
V = 4 27 3 − 2π cm 3
14.
V = 375 3cm 3
38.
2
15
15.
a) EI = 5m ; HI = 4m
39.
a) g = 10cm
b) Al = 80πcm 2
c) At = 144πcm 2
d) V = 128πcm 3
b) 70 paralelepípedos
b) A = 104m 2 ; R$ 416,00
16.
3456cm 2
e) θ =
17.
18.
a) V = 375 3cm 3
a) 3,12
20.
14,56m 3
b) 20,32
a) m = 13cm
c) Ab = 75 3cm
d) A f = 65 3cm
2
f) At = 270 3cm 2
g) V = 300 3cm 3
a) m = 4 3cm
b) l = 4cm
c) Ab = 24 3cm 2
d) A f = 8 3cm 2
e) Al = 48 3cm
2
96πcm 3
41.
9 3πcm 3
42.
alternativa d
43.
250cm 3
44.
V = 3πcm 3
45.
A = 144πcm 2 ; V = 288πcm 3
46.
R = 6cm
47.
R$ = 4500,00
48.
a) V = 44πcm 3
f) At = 72 3cm
49.
a) V = 80πcm 3
b) h = 5cm
c) r = 3cm
50.
alternativa d
2
g) V = 48 3cm 3
23.
40.
b) l = 10 3cm
2
e) Al = 195 3cm 2
22.
8π
rad
5
105cm 3
19.
21.
b) As = 50 3cm 2
)
(
a) l = 6cm
b) At = 36 3cm 2
c) h = 2 6 cm
d) V = 18 2 cm 3
b) R = 1cm
c) 60°