Sequências - NS Aulas Particulares
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Sequências
1. (Uem 2013) Seja r um número inteiro positivo fixado. Considere a sequência numérica
a r
definida por 1
e assinale o que for correto.
an1 an a1
01) A soma dos 50 primeiros termos da sequência (a1, a2, a3 , a4, a5, ) é 2500r.
02) A sequência (a1, a2, a4 , a8, a16 , ) é uma progressão geométrica.
04) A sequência (a1, a3 , a5 , a7 , a9 , ) é uma progressão aritmética.
08) O vigésimo termo da sequência (a1, a2, a4 , a8, a16 , ) é 220 r.
16) A soma dos 30 primeiros termos da sequência (a2, a4 , a6 , a8 , a10,
2. (Unesp 2013) A sequência dos números n1, n2, n3 , , ni,
) é 930r .
está definida por
n1 3
ni 1 , para cada inteiro positivo i.
ni1 n 2
i
Determine o valor de n2013 .
3. (Espm 2012) Seja S a1, a2 , a3 , ..., an , ... a sequência definida por
a1 5 e an1 an para n 1. O produto dos infinitos termos dessa sequência é igual a:
a) 1
b) 10
c) 20
d) 25
e) 5
4. (Uftm 2011) Em uma sequência, o termo geral é dado por an 2n k, (n *), sendo k
uma constante.
Determine:
a) O valor do primeiro termo dessa sequência, sabendo-se que o quinto termo é igual a 21.
b) A soma dos cinquenta primeiros termos dessa sequência.
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5. (Uel 2011) Pontes de treliças são formadas por estruturas de barras, geralmente em forma
triangular, com o objetivo de melhor suportar cargas concentradas.
Nas figuras a seguir, há uma sequência com 1, 2 e 3 setores triangulares com as respectivas
quantidades de barras de mesmo comprimento.
Observando nas figuras que o número de barras é função do número de setores triangulares,
qual é o número N de barras para n setores triangulares?
a) N 3 2n1 para n 1
b) N 3n para n 1
c) N 3n2 2n para n 1
d) N 3 2(n2 1) para n 1
e) N 1 2n para n 1
6. (Espm 2011) A soma dos n primeiros termos de uma sequência numérica é dada pela
expressão Sn 8n2 1.
Pode-se afirmar que seu décimo termo é igual a:
a) 128
b) 132
c) 146
d) 150
e) 152
7. (Mackenzie 2011) Em uma sequência numérica, a soma dos n primeiros termos é 3n2 + 2,
com n natural não nulo. O oitavo termo da sequência é
a) 36
b) 39
c) 41
d) 43
e) 45
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8. (G1 - cftmg 2011) A soma dos n primeiros termos de uma sequência e dada pela fórmula
Sn 3n3 2n . Desse modo, a diferença entre o segundo e o primeiro termos dessa
sequencia e igual a
a) 5.
b) 18.
c) 23.
d) 33.
9. (Fgv 2011) Seja a1,a2 ,a3 ,... uma sequência com as seguintes propriedades:
I. a1 1 .
II. a2n n an , para qualquer n inteiro positivo.
III. a2n1 2 , para qualquer n inteiro positivo.
a) Indique os 16 primeiros termos dessa sequência.
b) Calcule o valor de a 2 50 .
10. (Fgv 2011) a) Determine o quarto termo da sequência (a1, a2, a3,
an 2an1 1 e a1 1, com n 1.
, an,
) dada por:
b) O jogo “A torre de Hanói” tem sido jogado desde o século dezenove. É formado por três
hastes de plástico, metal ou madeira, diversos anéis de tamanhos diferentes e consiste em
transferir e reconstruir a torre em torno de uma das duas hastes vazias, mas seguindo as
regras:
1ª Somente um anel pode ser movido de cada vez.
2ª Nenhum anel pode ficar sobre um anel menor.
Para uma torre com dois anéis, o menor número de movimentos necessários para transferila é 3.
Use o desenho abaixo e mostre como transferir uma torre de 3 anéis no menor número
possível de movimentos.
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c) O menor número de movimentos an para transferir uma torre de n anéis, n 1, , satisfaz a
relação: an 1 2(an1 1). Qual é o menor número de movimentos necessários para
transferir uma torre com 6 anéis?
11. (Uem 2011) Considerando a seguinte equação de recorrência de números inteiros,
xn1 xn 5n, em que n é um número inteiro positivo e x1 1 , assinale o que for correto.
1 n
5 1 para todo inteiro n >1.
4
02) xn é um número composto para todo n 2.
01) xn
04)
08)
xn xn1 é divisível por 5, qualquer que seja o inteiro positivo n, n 2.
xn 781 para algum inteiro positivo n, n 2.
16) A sequência x1, x 2 , x 3 ,..., xn ,... é uma progressão aritmética.
12. (Uftm 2011) O quarto termo de uma progressão geométrica descrita pela sequência
an 3 , com n *, é
n
a)
b)
c)
d)
e)
1
.
27
1
.
81
1
.
243
1
.
27
1
.
81
13. (G1 - cp2 2010) Qual é o próximo número da sequência abaixo?
18, 15, 30, 26, 42, 37, 54, _____
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14. (Ufba 2010) Considerando-se as sequências (an) e (bn) definidas por
b1 1
n2
an 1 2
e
n2
n 1
bn1 n 1 bn,
01) O produto de dois termos consecutivos quaisquer da sequência (a n) é um número negativo.
02) Para qualquer n, tem-se −1 < an < 1.
04) A sequência (bn) é crescente.
1
08) Existe n tal que an = .
2
16) A sequência (bn) é uma progressão aritmética.
32) A sequência (an) é uma progressão geométrica de razão negativa.
n
15. (Ufrgs 2010) Na sequência 1, 3, 7,15..., cada termo, a partir do segundo, é obtido
adicionando-se uma unidade ao dobro do termo anterior. O 13º termo dessa sequência é
a) 211-1.
11
b) 2 +1.
12
c) 2 -1.
d) 212+1.
e) 213-1.
16. (Fgv 2007) Considere a sequência cujo termo geral é a n = (-1)n (2 + 3n), onde n = 1, 2, 3, ...
.
a) Escreva os seis primeiros termos dessa sequência.
b) Calcule a soma dos 2007 primeiros termos dessa sequência.
17. (Fgv 2007) Duas sequências: (x1, x2, x3, ..., xn,...) e (y1, y2, y3, ..., yn, ...) são tais que:
y1 1; y 2 4
xn yn / y n 1
A sequência x1, x 2 , x 3 ,..., x n, ... é uma progressão geométrica de razão 2.
Escreva os 6 primeiros termos da sequência (y1, y2, y3, ..., yn, ...).
18. (Fuvest 2005) Uma sequência de números reais a1, a2, a3, ... satisfaz à lei de formação
an+1 = 6an , se n é ímpar
an+1 = (
1
) an, se n é par.
3
Sabendo-se que a1 = 2 ,
a) escreva os oito primeiros termos da sequência.
b) determine a37 e a38.
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19. (Pucsp 2004) Na sequência de termo geral an = 5n + sen (n . ð/2), com n ∈ N*, a soma dos
20 primeiros termos de ordem ímpar é igual a
a) 1800
b) 1874
c) 1896
d) 2000
e) 2024
20. (Unifesp 2003) A soma dos termos que são números primos da sequência cujo termo geral
é dado por an=3n+2, para n natural, variando de 1 a 5, é
a) 10.
b) 16.
c) 28.
d) 33.
e) 36.
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Gabarito:
Resposta da questão 1:
02 + 04 + 16 = 22.
[01] Incorreto. Temos
a1 a2 a3
a50 r 2r 3r
50r
r 50r
50
2
1275r
2500r.
[02] Correto. De acordo com a lei de formação, vem
) (r, 2r, 4r, 8r, 16r,
(a1, a2, a4 , a8, a16,
),
ou seja, a sequência (a1, a2, a4 , a8, a16 ,
termo igual a r e razão
) é uma progressão geométrica com primeiro
2r
2.
r
[04] Correto. De fato,
) (r, 3r, 5r, 7r, 9r,
(a1, a3 , a5 , a7 , a9,
)
é uma progressão aritmética com primeiro termo igual a r e razão 3r r 2r.
[08] Incorreto. Conforme [02], vem a20 r 2201 219 r 220 r.
[16] Correto. Com efeito,
a2 a 4 a6
a60 2r 4r 6r
60r
2r 60r
30
2
930r.
Resposta da questão 2:
Temos n6k 1 3, n6k 2
k natural. Portanto, n2013
1
5
7
2
4
, n6k 3 , n6k 4 , n6k 5 e n6k 6 , para todo
4
7
2
5
3
1
n6335 3 .
4
Resposta da questão 3:
[E]
1
1
Sabendo que a1 5 5 2 e an1 an an1 an 2 , temos que a sequência S é igual a
1
1
1
(5 2 , 5 4 , 5 8 ,
).
Portanto, o produto dos infinitos termos de S é dado por
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1
2
1
2
5
1
4
5
1
8
5
1 1 1
2
4 8
5
5
1
1
2
5.
Resposta da questão 4:
a) Sabendo que o quinto termo é igual a 21, temos:
a5 21 21 2 5 k k 10.
Logo, o primeiro termo é:
a1 2 1 10 12.
b) Como an1 an 2(n 1) k (2n k) 2, para todo n natural positivo, temos que a
sequência é uma progressão aritmética de razão igual a 2. Desse modo,
a50 2 50 10 110
e, portanto, a soma dos cinquenta primeiros termos dessa sequência é dada por
S50
a1 a50
50 (12 110) 25 3050.
2
Resposta da questão 5:
[E]
Observa-se que cada figura tem duas barras a mais que a anterior, temos então uma P.A de
razão 2:
(3, 5, 7, ..)
Portanto, a figura n, terá número de barras igual a:
N 3 2 n 1
N 2n 1 para n 1
Resposta da questão 6:
[E]
Seja a10 o décimo termo da sequência. Como a soma dos dez primeiros termos é igual à soma
do décimo termo com a soma dos nove primeiros termos, temos que,
a10 S9 S10 a10 8 92 1 8 102 1 a10 800 648 152 .
Resposta da questão 7:
[E]
a8 S8 S7 3.82 2 (3.72 2) 45
Resposta da questão 8:
[B]
a1 S1 3 13 2 1 5
a1 a2 S2 3 23 2 2 28
Portanto, 5 a2 28 a2 23
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Resposta da questão 9:
a) De acordo com a lei de formação da sequência, temos que:
a1 1
a2 a21 1 a1 1 1 1
a3 2
a 4 a22 2 a2 2 1 2
a5 2
a6 a23 3 a3 3 2 6
a7 2
a8 a24 4 a 4 4 2 8
a9 2
a10 a25 5 a5 5 2 10
a11 2
a12 a26 6 a6 6 6 36
a13 2
a14 a27 7 a7 7 2 14
a15 2
a16 a28 8 a8 8 8 64
Portanto, a sequência pedida é:
(1,1, 2, 2, 2, 6, 2, 8, 2,10, 2, 36, 2,14, 2, 64).
b) Observando que:
a
2n
2 1 2
com n
a
250
(n1)
,
, vem
2 1 2
49
2
(1 49)
49
2
21225.
Resposta da questão 10:
a)
a4 2a3 1
2(2a2 1) 1
2(2(2a1 1) 1) 1
2(4a1 2 1) 1
8a1 7.
Como a1 1, segue que a4 8 1 7 15.
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b)
c) Queremos calcular a6 .
an 1 2(an1 1) an 2an1 1.
Do item (a) sabemos que a4 15. Logo,
a6 2a5 1
2(2a 4 1) 1
2(2 15 1) 1
63.
Resposta da questão 11:
01 + 04 + 08 = 13.
01) Correto. Temos que
x 2 x1 51
x 3 x 2 52
xn1 xn2 5n2
xn xn1 5n1
xn x1 5
5n1 1
5n 5 4 1 n
xn
(5 1).
5 1
4
4
02) Incorreto. Para n 3, segue que x 3
1 3
124
(5 1)
31. Mas 31 é primo.
4
4
04) Correto. Reescrevendo a diferença obtida em (01), obtemos xn xn1
5n1 5
. Portanto,
5
xn xn1 é divisível por 5, qualquer que seja o inteiro positivo n, n 2.
08) Correto. Sabendo que xn
1 n
(5 1), vem que
4
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1 n
(5 1) 781 5n 3125 n 5.
4
16) Incorreto. De (01), temos que x3 x2 x2 x1. Portanto, a sequência
x1, x 2 , x3 , , xn , não é uma progressão aritmética.
Resposta da questão 12:
[B]
a4 = (-3)-4 =
1
1
( 3)4 81
Resposta da questão 13:
48
Dividindo a sequência dada em duas outras sequências, temos:
18, 30, 42, 54.... (P.A de razão 12)
e
15, 26, 37, ... (P.A de razão 11)
Logo O termo pedido será 37 + 11 = 48
Resposta da questão 14:
01 + 02 + 04 + 16 = 23
9
1 4
Sequência A , , ,...
10
2 5
5
3
sequencia B 1, , 2, ,...
2
2
01) Verdadeira (-1)n será positivo se n for par e negativo se n for ímpar.
02) Verdadeiro o módulo do numerador será sempre menor que o denominador.
04) Verdadeiro.
08) Falsa.
16) Verdade
32) Falsa.
Resposta da questão 15:
[E]
O termo geral da sequência é an = 2n – 1
Logo a13 = 213 -1
Resposta da questão 16:
a) -5, 8, -11, 14, -17, 20
b) S = - 3014
Resposta da questão 17:
(1, 4, 8, 8, 4, 1)
Resposta da questão 18:
a)
2 , 6 2 , 2 2 , 12 2 , 4 2 , 24 2 , 8 2 e 48 2 .
b) a37 = 218 . 2 e a38= 219 . 3 2
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Resposta da questão 19:
[D]
Resposta da questão 20:
[D]
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