Transcript Matemática IME

Matemática IME
Parte I
1. (Ime 2013) Entre os números 3 e 192 insere-se igual número de termos de uma progressão aritmética e de uma progressão
geométrica com razão r e q, respectivamente, onde r e q são números inteiros. O número 3 e o número 192 participam destas
8
1
1
r

duas progressões. Sabe-se que o terceiro termo de  1 +  , em potências crescentes de , é
. O segundo termo da
q
q
9q

progressão aritmética é
a) 12
b) 48
c) 66
d) 99
e) 129
2. (Ime 2013) Um menino, na cidade do Rio de Janeiro, lança uma moeda. Ele andará 1 m para leste se o resultado for cara ou 1
m para oeste se o resultado for coroa. A probabilidade deste menino estar a 5 m de distância de sua posição inicial, após 9
lançamentos da moeda, é
9
a)
26
35
b)
26
2
c)
9!
35
d)
29
9!
e)
29
3. (Ime 2013) Considere uma haste AB de comprimento 10 m. Seja um ponto P localizado nesta haste a 7 m da extremidade A. A
posição inicial desta haste é horizontal sobre o semieixo x positivo, com a extremidade A localizada na origem do plano
cartesiano. A haste se desloca de forma que a extremidade A percorra o eixo y, no sentido positivo, e a extremidade B percorra
o eixo x, no sentido negativo, até que a extremidade B esteja sobre a origem do plano cartesiano. A equação do lugar
geométrico, no primeiro quadrante, traçado pelo ponto P ao ocorrer o deslocamento descrito é
a) 49x 2 + 9y 2 – 280x + 120y – 441 = 0
b) 49x 2 – 406x – 49y2 + 441 = 0
c) 9x2 + 49y 2 – 441 = 0
d) 9x2 + 9y 2 + 120y – 441 = 0
e) 9x 2 – 49y 2 – 441 = 0
4. (Ime 2013) Considere a equação log3x
3
2
+ (log3 x ) = 1. A soma dos quadrados das soluções reais dessa equação está
x
contida no intervalo
a) [0, 5)
b) [5, 10)
c) [10, 15)
d) [15, 20)
e) [20, ∞)
5. (Ime 2013) Considere as inequações abaixo:
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Página 1
I) a2 + b2 + c 2 ≥ ab + bc + ca
II) a3 + b3 ≥ a2b + ab2
III) ( a2 – b2 ) ≥ ( a – b )
4
Está(ão) correta(s), para quaisquer valores reais positivos de a, b e c, a(s) inequação(ões)
a) II apenas.
b) I e II apenas.
c) I e III apenas.
d) II e III apenas.
e) I, II e III.
6. (Ime 2013) Seja um triângulo ABC. AH é a altura relativa de BC, com H localizado entre B e C. Seja BM a mediana relativa de
AC. Sabendo que BH = AM = 4, a soma dos possíveis valores inteiros de BM é
a) 11
b) 13
c) 18
d) 21
e) 26
1 2

7. (Ime 2013) Seja ∆ o determinante da matriz  x x 2
x x

a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
3

x3  . O número de possíveis valores de x reais que anulam ∆ é
1 
8. (Ime 2013) Os polinômios P ( x ) = x3 + ax 2 + 18 e Q ( x ) = x3 + bx + 12 possuem duas raízes comuns. Sabendo que a e b
são números reais, pode-se afirmar que satisfazem a equação
a) a = b
b) 2a = b
c) a = 2b
d) 2a = 3b
e) 3a = 2b
9. (Ime 2013) Assinale a alternativa que apresenta o mesmo valor da expressão  4cos2 ( 9° ) – 3   4cos2 ( 27° ) – 3  :



a) sen (9°)
b) tg (9°)
c) cos (9°)
d) sec (9°)
e) cossec (9°)
10. (Ime 2012) Seja a, b e c números reais e distintos. Ao simplificar a função real, de variável real,
( x − b )( x − c ) 2 ( x − c )( x − a ) 2 ( x − a )( x − b )
f ( x ) = a2
+b
+c
, obtém-se f(x) igual a:
( a − b )( a − c )
(b − c )( b − a )
( c − a )( c − b )
a) x2 − ( a + b + c ) x + abc
b) x 2 + x − abc
c) x2
d) –x 2
e) x 2 − x + abc
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11. (Ime 2012) O segundo, o sétimo e o vigésimo sétimo termos de uma Progressão Aritmética (PA) de números inteiros, de
razão r, formam, nesta ordem, uma Progressão Geométrica (PG), de razão q, com q e r ∈ ℕ∗ (natural diferente de zero).
Determine:
a) o menor valor possível para a razão r;
b) o valor do décimo oitavo termo da PA, para a condição do item a.
12. (Ime 2012) São dados os pontos P0 e P1 distantes 1cm entre si. A partir destes dois pontos são obtidos os demais pontos
Pn , para todo n inteiro maior do que um, de forma que:
- o segmento PnP(n−1) é 1cm maior do que o segmento P(n−1)P(n−2) ; e
- o segmento PnP(n−1) é perpendicular a P0P(n−1) .
Determine o comprimento do segmento P0P24 .
a) 48
b) 60
c) 70
d) 80
e) 90
13. (Ime 2012) São dadas as matrizes quadradas inversíveis A, B e C, de ordem 3. Sabe-se que o determinante de C vale ( 4 − x ) ,
t
1
onde x é um número real, o determinante da matriz inversa de B vale − e que ( CA t ) = P−1BP, onde P é uma matriz
3
 0 0 1


inversível. Sabendo que A =  3 x 0  , determine os possíveis valores de x.
1 0 0


t
Obs.: (M) é a matriz transposta de M.
a) –1 e 3
b) 1 e –3
c) 2 e 3
d) 1 e 3
e) –2 e –3
14. (Ime 2012) Os nove elementos de uma matriz M quadrada de ordem 3 são preenchidos aleatoriamente com os números 1
ou –1, com a mesma probabilidade de ocorrência. Determine:
a) o maior valor possível para o determinante de M;
b) a probabilidade de que o determinante de M tenha este valor máximo.
15. (Ime 2012) Em um aeroporto existem 12 vagas numeradas de 1 a 12, conforme a figura. Um piloto estacionou sua aeronave
em uma vaga que não se encontrava nas extremidades, isto é, distintas da vaga 1 e da vaga 12. Após estacionar, o piloto
observou que exatamente 8 das 12 vagas estavam ocupadas, incluindo a vaga na qual sua aeronave estacionou. Determine a
probabilidade de que ambas as vagas vizinhas a sua aeronave estejam vazias.
1
a)
b)
c)
d)
e)
2
3
....
10
11
12
1
55
2
55
3
55
4
55
6
55
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16. (Ime 2012) Uma pirâmide regular possui como base um dodecágono de aresta a. As faces laterais fazem um ângulo de 15°
com o plano da base. Determine o volume desta pirâmide em função de a.
a)
a3
2
3
b)
a
2
c) a3
d) a3
e) a3
3 +2
2- 3
3 −2
2+ 3
3 +2
2− 3
3 −2
2+ 3
2− 3
3 +2
17. (Ime 2012) Uma pirâmide regular triangular apresenta um volume V. Determine o raio da circunferência circunscrita a uma
das faces laterais da pirâmide em função de V, sabendo que o ângulo do vértice vale 30°.
18. (Ime 2012) Considere uma reta r que passa pelo ponto P(2,3). A reta r intercepta a curva x2 – 2xy – y 2 = 0 nos pontos A e
B. Determine:
a) o lugar geométrico definido pela curva;
b) a(s) possível(is) equação(ões) da reta r, sabendo que PA ⋅ PB = 17.
19. (Ime 2012) Os triângulos ABC e DEF são equiláteros com lados iguais a m. A área da figura FHCG é igual à metade da área da
figura ABHFG. Determine a equação da elipse de centro na origem e eixos formados pelos segmentos FC e GH.
a) 48x 2 + 36y 2 – 2m2 = 0
b) 8x2 + 16y 2 – 3m2 = 0
c) 16x 2 + 48y2 – 3m2 = 0
d) 8x 2 + 24y 2 – m2 = 0
e) 16x 2 – 24y 2 – m2 = 0
20. (Ime 2012) É dada uma parábola de parâmetro p. Traça-se a corda focal MN, que possui uma inclinação de 60° em relação
ao eixo de simetria da parábola. A projeção do ponto M sobre a diretriz é o ponto Q, e o prolongamento da corda MN intercepta
a diretriz no ponto R. Determine o perímetro do triângulo MQR em função de p, sabendo que N encontra-se no interior do
segmento MR.
b
21. (Ime 2012) Os números reais positivos x1, x2 e x3 são raízes da equação x3 − ax2 = ab − x, sendo b ∈ ℕ (natural), a ∈ ℝ
2
b

x 2 +x 2 +x 2 
(real) e a ≠ 1. Determine, em função de a e b, o valor de loga  x1 x 2 x3 ( x1 + x 2 + x3 ) 1 2 3  .
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22. (Ime 2012) Se log10 2 = x e log10 3 = y, então log5 18 vale:
a)
b)
c)
d)
e)
x + 2y
1− x
x+y
1− x
2x + y
1+ x
x + 2y
1+ x
3x + 2y
1− x
23. (Ime 2012) Um curso oferece as disciplinas A, B, C e D. Foram feitas as matriculas dos alunos da seguinte forma:
— 6 alunos se matricularam na disciplina A;
— 5 alunos se matricularam na disciplina B;
— 5 alunos se matricularam na disciplina C; e
— 4 alunos se matricularam na disciplina D.
Sabe-se que cada aluno se matriculou em, no mínimo, 3 disciplinas. Determine a quantidade mínima de alunos que se
matricularam nas 4 disciplinas.
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
24. (Ime 2012) Considere o polinômio 5x3 – 3x 2 – 60x + 36 = 0. Sabendo que ele admite uma solução da forma
um número natural, pode se afirmar que:
a) 1 ≤ n < 5
b) 6 ≤ n < 10
c) 10 ≤ n < 15
d) 15 ≤ n < 20
e) 20 ≤ n < 30
n, onde n é
25. (Ime 2012) As dimensões dos lados de um paralelepípedo reto retângulo, em metros, valem a, b e c. Sabe-se que a, b e c são
raízes da equação 6x3 − 5x 2 + 2x − 3 = O. Determine, em metros, o comprimento da diagonal deste paralelepípedo.
1
a)
6
1
b)
3
1
c)
2
2
d)
3
e) 1
26. (Ime 2012) Seja arcsen x + arcsen y + arcsen z =
Determine o valor de x100 + y100 + z100 −
3π
, onde x, y e z são números reais pertencentes ao intervalo [–1,1].
2
9
101
x
101
+y
+ z101
.
a) –2
b) –1
c) 0
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d) 1
e) 2
27. (Ime 2012) O valor de y = sen70° cos 50° + sen 260° cos 280° é:
a)
3
3
2
3
c)
3
b)
3
4
3
e)
5
d)
28. (Ime 2012) Os ângulos de um triângulo obtusângulo são 105°, α e β. Sabendo que m ∈ ℝ (real), determine:
a) as raízes da equação 3 sec x + m ( 3 cos x – 3 sen x ) = 3 cos x + 3 sen x, em função de m;
b) o valor de m para que α e β sejam raízes dessa equação.
29. (Ime 2011) A base de uma pirâmide é um retângulo de área S. Sabe-se que duas de suas faces laterais são perpendiculares
ao plano da base. As outras duas faces formam ângulos de 30° e 60° com a base. O volume da pirâmide é:
a)
S S
3
b)
S S
6
c)
2S S
3
d)
2S S
5
e)
2S2
3
30. (Ime 2011) Determine o valor da excentricidade da cônica dada pela equação x2 − 10 3xy + 11y 2 + 16 = 0.
31. (Ime 2011) Seja o triângulo retângulo ABC com os catetos medindo 3 cm e 4 cm. Os diâmetros dos três semicírculos,
2
traçados na figura abaixo, coincidem com os lados do triângulo ABC. A soma das áreas hachuradas, em cm , é:
a) 6
b) 8
c) 10
d) 12
e) 14
32. (Ime 2011) O valor de x que satisfaz a equação sen(arccotg(1 + x)) = cos(arctg(x)):
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3
2
1
b)
2
1
c)
4
a)
1
2
3
e) −
2
d) −
33. (Ime 2010) Seja S = 12 + 32 + 52 + 72 + ... + 792. O valor de S satisfaz:
a) S < 7 × 10 4
b) 7 × 10 4 ≤ S < 8 × 10 4
c) 8 × 10 4 ≤ S < 9 × 10 4
d) 9 × 10 4 ≤ S < 105
e) S ≥ 105
34. (Ime 2010) Sejam as funções f : ℝ → ℝ, g : ℝ → ℝ, h : ℝ → ℝ. A alternativa que apresenta a condição necessária para
que se f ( g ( x ) ) = f ( h ( x ) ) , então g ( x ) = h ( x ) é
a) f ( x ) = x
b) f ( f ( x ) ) = f ( x )
c) f é bijetora
d) f é sobrejetora
e) f é injetora
35. (Ime 2010) Seja f(x) = | 3 − log(x) |, x ∈ ℝ. Sendo n um número inteiro positivo, a desigualdade
f(x) 2f(x) 4f(x)
2n−3 f(x)
9
+
+
+…+
+ … ≤ somente é possível se:
n −1
4
12
36
4
3
Obs.: log representa a função logarítmica na base 10.
a) 0 ≤ x ≤ 106
b) 10 −6 ≤ x ≤ 108
c) 103 ≤ x ≤ 106
d) 100 ≤ x ≤ 106
e) 10 −6 ≤ x ≤ 106
 tg(x) tg(y − z) = 9

36. (Ime 2010) Seja o sistema  tg(y) tg(z − x) = b , onde a, b, c, x, y, z ∈ ℜ . Determine as condições que a, b e c devem
 tg(z) tg(x − y) = c

satisfazer para que o sistema admita pelo menos uma solução.
37. (Ime 2010)
Cada um dos quatro quadrados menores da figura acima é pintado aleatoriamente de verde, azul, amarelo ou vermelho. Qual é
a probabilidade de que ao menos dois quadrados, que possuam um lado em comum, sejam pintados da mesma cor?
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1
2
5
b)
8
7
c)
16
23
d)
32
43
e)
64
a)
38. (Ime 2010) A área da superfície lateral de uma pirâmide quadrangular regular SABCD é duas vezes maior do que a área de
sua base ABCD. Nas faces SAD e SDC traçam-se as medianas AQ e DP. Calcule o ângulo entre estas medianas.
39. (Ime 2010) Sejam ABC um triângulo equilátero de lado 2 cm e r uma reta situada no seu plano, distante 3 cm do seu
baricentro. Calcule a área da superfície gerada pela rotação deste triângulo em torno da reta r.
a) 8 π cm2
b) 9 π cm2
c) 12 π cm2
d) 16 π cm2
e) 36 π cm2
40. (Ime 2010) Uma hipérbole de excentricidade
2 tem centro na origem e passa pelo ponto
(
)
5,1 .
A equação de uma reta tangente a esta hipérbole e paralela a y = 2x é:
3 y =2 3 x+6
a)
b) y = −2x + 3 3
c) 3y = 6x + 2 3
3 y =2 3 x+4
d)
e) y = 2x + 3
41. (Ime 2010) Seja M um ponto de uma elipse com centro O e focos F e F' . A reta r é tangente à elipse no ponto M e s é
uma reta, que passa por O, paralela a r. As retas suportes dos raios vetores MF e MF' interceptam a reta s em H e H' ,
respectivamente. Sabendo que o segmento FH mede 2 cm, o comprimento F'H' é:
a) 0,5 cm
b) 1,0 cm
c) 1,5 cm
d) 2,0 cm
e) 3,0 cm
42. (Ime 2010) Sejam r, s, t e v números inteiros positivos tais que
r
t
< . Considere as seguintes relações:
s v
(r + s ) ( t + v )
<
s
v
r
t
II.
<
r
+
s
t
+
( ) ( v)
I.
III.
IV.
(r + t )
r
<
s (s + v)
(r + t ) (r + t )
s
<
v
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O número total de relações que estão corretas é:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
43. (Ime 2010) Seja ABC um triângulo de lados AB , BC e AC iguais a 26, 28 e 18, respectivamente. Considere o círculo de
centro O inscrito nesse triângulo. A distância AO vale:
a)
104
6
b)
104
3
c)
2 104
3
d) 104
e) 3 104
44. (Ime 2010) Seja o polinômio p(x) = x3 (ℓn a) x + eb , , onde a e b são números reais positivos diferentes de zero. A soma dos
cubos das raízes de p(x) depende
Obs.: e representa a base do logaritmo neperiano e ℓn a a função logaritmo neperiano.
a) apenas de a e é positiva.
b) de a e b e é negativa.
c) apenas de b e é positiva.
d) apenas de b e é negativa.
e) de a e b e é positiva.
45. (Ime 2010) Seja x o valor do maior lado de um paralelogramo ABCD . A diagonal AC divide  em dois ângulos, iguais a
30º e 15º . A projeção de cada um dos quatro vértices sobre a reta suporte da diagonal que não o contém forma o quadrilátero
A 'B'C'D' . Calcule o perímetro de A 'B'C'D' .
1 11
1 1 1 11
+
, a2 =
+
+
, a3 =
2 22
2 2 2 22
Determine o produto dos 20 primeiros termos dessa sequência.
46. (Ime 2010) Considere a sequência a1 =
1 1 1 1 1 11
,.......
+
+
+
2 2 2 2 2 22
47. (Ime 1996) Seja f uma função real tal que ∀x, a ∈ IR
f é periódica? Justifique.
48. (Ime 1996) Considerando log2 = a e log3 = b, encontre em função de a e b, o logaritmo do número 5 (11, 25 ) no sistema
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de base 15.
Parte II
1. (Ime 2013) Seja o número complexo z =
a
ib (1 + ib )
2
, onde a e b são números reais positivos e i = −1. Sabendo que o
módulo e o argumento de z valem, respectivamente, 1 e ( – π ) rd, o valor de a é
1
4
1
b)
2
c) 1
d) 2
e) 4
a)
1 2

2. (Ime 2013) Seja ∆ o determinante da matriz  x x 2
x x

a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
3

x3  . O número de possíveis valores de x reais que anulam ∆ é
1 
2
3. (Ime 2012) As raízes cúbicas da unidade, no conjunto dos números complexos, são representadas por 1, w e w , onde w é um
6
número complexo. O intervalo que contém o valor de (1– w ) é:
a) ( −∞, −30]
b) ( −30, −10 
c) ( −10, 10 
d) (10,30
e) (30, ∞ )
4. (Ime 2012) Seja o número complexo Z = a + bi, com a e b ∈ ℝ (real) e i = −1. Determine o módulo de Z sabendo que
a3 = 3 (1 + ab2 )
.

b3 = 3 ( a2b − 1)
x a b c
5. (Ime 2012) Calcule as raízes de f(x) em função de a,b e c, sendo a,b,c e x ∈ ℝ (real) e f ( x ) =
a x c b
b c
x a
.
c b a x
6. (Ime 2012) A equação da reta tangente à curva de equação x2 + 4y 2 – 100 = 0 no ponto P(8,3) é:
a) 2x + 3y – 25 = 0
b) x + y – 11 = 0
c) 3x – 2y – 18 = 0
d) x + 2y – 14 = 0
e) 3x + 2y – 30 = 0
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7. (Ime 2012) Seja F o conjunto cujos elementos são os valores de n!, onde n é um número natural. Se G é subconjunto de F que
não contém elementos que são múltiplos de 27.209, determine o número de elementos do conjunto G.
a) 6
b) 12
c) 15
d) 22
e) 25
8. (Ime 2012) Sejam r e s ∈ ℤ (inteiro). Prove que (2r + 3s) é múltiplo de 17 se e somente se (9r + 5s) é múltiplo de 17.
9. (Ime 2010) Sejam os conjuntos P1,P2 ,S1 e S2 tais que (P2 ∩ S1 ) ⊂ P1, (P1 ∩ S2 ) ⊂ P2 e ( S1 ∩ S2 ) ⊂ (P1 ∪ P2 ) .
Demonstre que ( S1 ∩ S2 ) ⊂ (P1 ∩ P2 ) .
10. (Ime 2010) Três dados iguais, honestos e com seis faces numeradas de um a seis são lançados simultaneamente. Determine
a probabilidade de que a soma dos resultados de dois quaisquer deles ser igual ao resultado do terceiro dado.
11. (Ime 2010) Considere o sistema abaixo, em que x1, x 2 , x 3 e Z pertencem ao conjunto dos números complexos.
(1 + i)x1 − ix 2 + ix3 = 0

2ix1 − x 2 − x3 = Z
(2i − 2)x + ix − ix = 0
1
2
3

O argumento de Z, em graus, para que x 3 seja um número real positivo é:
Obs.: i = −1
a) 0º
b) 45º
c) 90º
d) 135º
e) 180º
12. (Ime 2010) Considere o conjunto de números complexos E = {a + bω} , onde a e b são inteiros e ω = cis ( 2π 3 ) . Seja o
subconjunto U = {α ∈ E / ∃β ∈ E no qual αβ = 1} . Determine:
a) Os elementos do conjunto U.
b) Dois elementos pertencentes ao conjunto Y = E − U tais que o produto seja um número primo.
13. (Ime 2010) Considere o determinante de uma matriz de ordem n, definido por:
1 1 1 1 ... 1 1
-1 3 0 0 ... 0 0
0 -1 3 0 ... 0 0
∆n = 0 0 -1 3 ... 0 0
...........................
0 0 0 0 ... 3 0
0 0 0 0 ... -1 0
Sabendo que ∆1 = 1, o valor de ∆10 é
a) 59049
b) 48725
c) 29524
d) 9841
e) 364
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 y 2 + z2
xy
xz 


14. (Ime 2010) Demonstre que a matriz  xy
x 2 + z2
yz  , onde x, y, z ∈ ℕ , pode ser escrita como o quadrado de


 xz
yz
x2 + y2 


uma matriz simétrica, com traço igual a zero, cujos elementos pertencem ao conjunto dos números naturais.
Obs.: Traço de uma matriz é a soma dos elementos de sua diagonal principal.
15. (Ime 2010) Seja a equação pn + 144 = q2 , onde n e q são números inteiros positivos e p é um número primo.
Determine os possíveis valores de n, p e q.
16. (Ime 2010) A quantidade k de números naturais positivos, menores do que 1000, que não são divisíveis por 6 ou 8, satisfaz a
condição:
a) k < 720
b) 720 ≤ k < 750
c) 750 ≤ k < 780
d) 780 ≤ k < 810
e) k ≥ 810
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