Transcript Trigonometria

Trigonometria
Parte I
1. (Uerj 2013) Um esqueitista treina em três rampas planas
de mesmo comprimento a, mas com inclinações diferentes.
As figuras abaixo representam as trajetórias retilíneas
AB = CD = EF, contidas nas retas de maior declive de
cada rampa.
No ponto A, o navegador verifica que a reta AP, da
°
embarcação ao farol, forma um ângulo de 30 com a
direção AB. Após a embarcação percorrer 1.000 m, no
ponto B, o navegador verifica que a reta BP, da embarcação
°
ao farol, forma um ângulo de 60 com a mesma direção AB.
Seguindo sempre a direção AB, a menor distância entre a
embarcação e o farol será equivalente, em metros, a:
a) 500
Sabendo que as alturas, em metros, dos pontos de partida
A, C e E são, respectivamente, h1, h2 e h3 , conclui-se que
h1 + h2 é igual a:
b) 500 3
c) 1.000
d) 1.000 3
a) h3 3
b) h3 2
c) 2h3
d) h3
4. (Uerj 2000) Observe a bicicleta e a tabela
trigonométrica.
2. (Uerj 2004) Considere o ângulo segundo o qual um
observador vê uma torre. Esse ângulo duplica quando ele
se aproxima 160 m e quadruplica quando ele se aproxima
mais 100 m, como mostra o esquema a seguir.
A altura da torre, em metros, equivale a:
a) 96
b) 98
c) 100
d) 102
Os centros das rodas estão a uma distância PQ igual a 120
cm e os raios PA e QB medem, respectivamente, 25 cm e 52
cm.
De acordo com a tabela, o ângulo AÔP tem o seguinte
valor:
°
a) 10
°
b) 12
°
c) 13
°
d) 14
5. (Uerj 2000) Observe a figura abaixo:
3. (Uerj 2003) Um barco navega na direção AB, próximo a
um farol P, conforme a figura a seguir.
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Ela representa um papel quadrado ABCD, com 10 cm de
lado, que foi dobrado na linha AM, em que M é o ponto
d) 25° < θ < 120°
e) 30° < θ < 150°
médio do lado BC . Se, após a dobra, A, B, C, D e M são
coplanares, determine:
3. (Insper 2014) Considere o quadrilátero convexo ABCD
a) a distância entre o ponto B e o segmento CD ;
mostrado na figura, em que AB = 4cm, AD = 3cm e
Aˆ = 90°.
b) o valor de tgθ.
Parte II
1. (Fuvest 2013) Uma das primeiras estimativas do raio da
Terra é atribuída a Eratóstenes, estudioso grego que viveu,
aproximadamente, entre 275 a.C. e 195 a.C. Sabendo que
em Assuã, cidade localizada no sul do Egito, ao meio dia do
solstício de verão, um bastão vertical não apresentava
sombra, Eratóstenes decidiu investigar o que ocorreria, nas
mesmas condições, em Alexandria, cidade no norte do
Egito. O estudioso observou que, em Alexandria, ao meio
dia do solstício de verão, um bastão vertical apresentava
sombra e determinou o ângulo θ entre as direções do
bastão e de incidência dos raios de sol. O valor do raio da
Terra, obtido a partir de θ e da distância entre Alexandria e
Assuã foi de, aproximadamente, 7500 km.
ˆ
Se a diagonal BD está contida na bissetriz do ângulo ABC
e BD = BC, então a medida do lado CD, em centímetros,
vale
a) 2 2.
b) 10.
c) 11.
d) 2 3.
e)
15.
4. (Insper 2014) Na figura abaixo, em que o quadrado PQRS
está inscrito na circunferência trigonométrica, os arcos AP
e AQ têm medidas iguais a α e β, respectivamente, com
0 < α < β < π.
O mês em que foram realizadas as observações e o valor
aproximado de θ são
(Note e adote: distância estimada por Eratóstenes entre
Assuã e Alexandria ≈ 900 km; π = 3. )
a) junho; 7°.
b) dezembro; 7°.
c) junho; 23°.
d) dezembro; 23°.
e) junho; 0,3°.
2. (Fuvest 2014) O triângulo AOB é isósceles, com
OA = OB, e ABCD é um quadrado. Sendo θ a medida
ˆ pode-se garantir que a área do quadrado
do ângulo AOB,
é maior do que a área do triângulo se
Dados os valores aproximados:
tg 14° ≅ 0,2493 , tg 15° ≅ 0,2679
tg 20° ≅ 0,3640 , tg 28° ≅ 0,5317
a) 14° < θ < 28°
b) 15° < θ < 60°
c) 20° < θ < 90°
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Sabendo que cos α = 0,8, pode-se concluir que o valor de
cos β é
a) −0, 8.
b) 0, 8.
c) −0, 6.
d) 0, 6.
e) −0, 2.
5. (Insper 2014) A figura mostra o gráfico da função f, dada
pela lei
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f(x) = (sen x + cos x)4 − (sen x − cos x)4
O valor de a, indicado no eixo das abscissas, é igual a
5π
a)
.
12
4π
b)
.
9
3π
c)
.
8
5π
d)
.
6
2π
e)
.
3
8. (Unifesp 2013) A sequência (12,a,b), denominada S1, e a
sequência (c,d,e), denominada S2, são progressões
aritméticas formadas por números reais.
a) Somando 1 ao segundo termo e 5 ao terceiro termo de
S1, a nova sequência de três números reais passa a ser
uma progressão geométrica crescente. Calcule a razão
dessa PG.
b) Aplicando a função trigonométrica seno aos três termos
de S2, a nova sequência que se forma tem soma dos três
termos igual a zero, e termo do meio diferente de zero.
Determine a razão r de S2, para o caso em que
π
< r < π.
2
9. (Unifesp 2013) Na figura, ABCDEFGH é um
paralelepípedo reto-retângulo, e PQRE é um tetraedro
regular de lado 6cm, conforme indica a figura. Sabe-se
ainda que:
— P e R pertencem, respectivamente, às faces ABCD e
EFGH;
— Q pertence à aresta EH;
— T é baricentro do triângulo ERQ e pertence à diagonal
EG da face EFGH;
— RF é um arco de circunferência de centro E.
6. (Unicamp 2014) Seja x real tal que cos x = tg x. O
valor de sen x é
3 −1
.
2
1− 3
.
b)
2
5 −1
.
c)
2
1− 5
.
d)
2
a)
a) Calcule a medida do arco RF, em centímetros.
3
b) Calcule o volume do paralelepípedo ABCDEFGH, em cm .
Parte III
7. (Unesp 2014) O conjunto solução (S) para a inequação
2 ⋅ cos2 x + cos(2x) > 2, em que 0 < x < π, é dado por:
π

a) S =  x ∈ (0, π ) | 0 < x <
ou
6

π
2π 

b) S =  x ∈ (0, π ) | < x <

3
3 

π

c) S =  x ∈ (0, π ) | 0 < x <
ou
3

π
5π 

d) S =  x ∈ (0, π ) | < x <

6
6 

5π

< x < π
6

1. (Ufjf 2012) Dois estudantes I e II desejam medir a altura,
H, de um prédio, utilizando-se de conhecimentos
matemáticos. Distanciados um do outro de x metros, os
estudantes fazem visadas atingindo a ponta da antena de
altura h situada no topo do prédio, segundo os ângulos α e
β, representados no esboço abaixo.
2π

< x < π
3

e) S = {x ∈ (0, π)}
Obtenha a altura H da torre, em função de α, β, h e x.
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2. (Ufjf 2012) Considere dois triângulos ABC e DBC, de
mesma base BC , tais que D é um ponto interno ao
triângulo ABC. A medida de BC é igual a 10 cm. Com
relação aos ângulos internos desses triângulos, sabe-se que
ɵ = BCD , DCA = 30º , DBA
ɵ = 40º , BAC = 50º.
DBC
a) Encontre a medida do ângulo BDC.
b) Calcule a medida do segmento BD.
6
c) Admitindo-se tg (50º ) = , determine a medida do
5
segmento AC.
3. (Ufjf 2012) A figura abaixo representa um rio plano com
margens retilíneas e paralelas. Um topógrafo situado no
ponto A de uma das margens almeja descobrir a largura
desse rio. Ele avista dois pontos fixos B e C na margem
oposta. Os pontos B e C são visados a partir de A, segundo
ângulos de 60° e 30°, respectivamente, medidos no sentido
anti-horário a partir da margem em que se encontra o
ponto A. Sabendo que a distância de B até C mede 100 m,
qual é a largura do rio?
Os segmentos AB, BC e CA simbolizam ciclovias
construídas no interior da praça, sendo que AB = 80 m. De
acordo com a planta e as informações dadas, é CORRETO
afirmar que a medida de R é igual a:
a)
160 3
m
3
b)
80 3
m
3
c)
16 3
m
3
d)
8 3
m
3
e)
3
m
3
5. (Ufjf 2011) Considere um triângulo ABC retângulo em
1
ˆ
C e α o ângulo BAC.
Sendo AC = 1 e sen(α ) = ,
3
quanto vale a medida da hipotenusa desse triângulo?
a) 3
b)
2 2
3
c) 10
3 2
4
3
e)
2
d)
a) 50 3 m
b) 75 3 m
c) 100 3 m
d) 150 3 m
6. (Ufjf 2011) Na figura a seguir, considere o retângulo
ABDG. Sejam C e E pontos dos segmentos BD e DG,
respectivamente, e F um ponto do segmento EC .
e) 200 3 m
4. (Ufjf 2012) Uma praça circular de raio R foi construída a
partir da planta a seguir:
Sabendo que AB = 3cm, BC = 1cm, BÂF = 45° e
ˆ = 30°, determine a medida do comprimento do
DCE
segmento CF.
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°
a) 45 .
°
b) 90 .
°
c) 180 .
°
d) 270 .
°
e) 360 .
7. (Ufjf 2007) Considere as funções f, g e h definidas a
seguir e os 3 gráficos apresentados.
I. f : IR → IR, f (x) = sen (2x)
II. g : IR → IR, g (x) = sen | x |
11. (Ufjf 2006) Um ângulo do segundo quadrante tem seno
igual a 12/13. O cosseno desse ângulo é igual a:
a) 5/13.
b) 1/13.
c) - 5/13.
d) - 1/13.
e) - 12/13.
III. h : IR → IR, h (x) = sen (-x)
12. (Ufjf 2006) Considere uma circunferência de raio R e
três circunferências menores de raio r tangentes internas a
ela e tangentes externas entre si. A razão entre os raios R e
r é:
a) 2 .
A associação que melhor corresponde cada função ao seu
respectivo gráfico é:
a) I - A, II - B e III - C.
b) I - A, II - C e III - B.
c) I - B, II - A e III - C.
d) I - B, II - C e III - A.
e) I - C, II - A e III - B.
8. (Ufjf 2007) Os lados AB e AC de um triângulo ABC
1
formam um ângulo α, tal que cos α = . Sabe-se que a
3
medida do lado BC é igual a 32 cm e que a medida do
lado AC é o triplo da medida do lado AB. Sendo β o ângulo
formado entre os lados AC e BC, podemos afirmar que:
0
a) â < 30 e a medida do lado AB é um inteiro par.
°
b) â < 30 e a medida do lado AB é um inteiro ímpar.
°
°
c) 30 ≤ â < 45 e a medida do lado AB é um inteiro par.
°
°
d) 30 ≤ â < 45 e a medida do lado AB é um inteiro ímpar.
°
°
e) 45 ≤ â < 60 e a medida do lado AB é um inteiro par.
b)
3 3
.
2
c)
2 3 +3
3
d)
3 2 −2
2
e)
2 3 +1
13. (Ufjf 2003)
9. (Ufjf 2007) Considere a função f : [0, 2π] → IR definida
por f(x) = 2 + cos x.
a) Determine todos os valores do domínio da função f para
os quais f(x) ≥ 3/2.
b) Seja g : [0, π] → IR a função definida por g(x) = 2x.
Determine a função composta h = fog, explicitando sua
lei de formação, seu domínio e contradomínio.
c) Verifique que a lei da função composta h pode ser escrita
2
na forma h(x) = 3 - 2sen x.
°
10. (Ufjf 2006) Dois ângulos distintos, menores que 360 ,
têm, para seno, o mesmo valor positivo. A soma desses
ângulos é igual a:
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Num terreno em forma de um trapézio ABCD, com ângulos
retos nos vértices A e B, deseja-se construir uma casa de
base retangular, com 8 metros de frente, sendo esta
paralela ao limite do terreno representado pelo segmento
AD, como mostra a figura. O código de obras da cidade, na
qual se localiza este terreno, exige que qualquer construção
tenha uma distância mínima de 2 metros de cada divisa
lateral. Sendo assim, para aprovação do projeto da casa a
ser construída, é necessário que sua frente mantenha uma
distância mínima do limite representado pelo segmento AD
de:
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°
a) 2 m.
b) 4 m.
c) 6 m.
d) 8 m.
e) 10 m.
°
d) 60 < è < 75 .
°
°
e) 75 < è < 90 .
2
°
2
°
2
°
14. (Ufjf 2003) O valor de y = sen 10 + sen 20 + sen 30 +
2
°
2
°
2
°
2
°
2
°
2
°
sen 40 + sen 50 + sen 60 + sen 70 + sen 80 + sen 90
é:
a) -1.
b) 1.
c) 2.
d) 4.
e) 5.
15. (Ufjf 2002) A uma tela de computador está associado
um sistema de coordenadas cartesianas, com origem no
canto inferior esquerdo. Um certo programa gráfico pode
ser usado para desenhar na tela somente retas de
inclinações iguais a 0°, 30°, 45°, 60° e 90° em relação ao
eixo horizontal. Então, considerando-se os pontos a seguir,
o único que NÃO pode estar sobre uma reta, a partir da
origem, desenhada por este programa é:
17. (Ufjf 2002) Um topógrafo foi chamado para obter a
altura de um edifício. Para fazer isto, ele colocou um
teodolito (instrumento ótico para medir ângulos) a 200
°
metros do edifício e mediu um ângulo de 30 , como
indicado na figura a seguir. Sabendo que a luneta do
teodolito está a 1,5 metros do solo, pode-se concluir que,
dentre os valores adiante, o que MELHOR aproxima a altura
do edifício, em metros, é:
Use os valores:
°
sen30 = 0,5
°
cos30 = 0,866
°
tg30 = 0,577
a) (0, 10 3 ).
b) (10 3 , 0).
c) (10 3 , 10 3 ).
d) (10 3 ,
3 ).
e) (10 3 , 10).
°
°
16. (Ufjf 2002) Se θ for um ângulo tal que 0 < θ < 90 e
cosθ<1/5, é CORRETO afirmar que:
°
°
a) 0 < è < 30 .
°
°
b) 30 < è < 45 .
°
°
c) 45 < è < 60 .
Parte IV
1. (Uerj 2010) Observe abaixo a ilustração de um pistão e
seu esquema no plano.
a) 112.
b) 115.
c) 117.
d) 120.
e) 124.
O pistão é ligado, por meio da haste BC, a um disco que gira
em torno do centro A.
Considere que:
• o raio AB e a haste BC medem, respectivamente, 1
polegada e 4 polegadas;
• à medida que o disco gira, o pistão move-se verticalmente
para cima ou para baixo, variando a distância AC e o ângulo
BÂC.
Se a medida do ângulo BÂC é dada por x radianos, a
distância entre A e C, em polegadas, pode ser obtida pela
seguinte equação:
a) y = 4 + sen(x)
b) y = 4 + cos(x)
c) y = sen(x) +
16 − cos2 (x)
d) y = cos(x) +
16 − sen2 (x)
2. (Uerj 2009) Observe a curva AEFB desenhada a seguir.
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Analise os passos seguidos em sua construção:
1º) traçar um semicírculo de diâmetro AB com centro C
e raio 2 cm ;
2º) traçar o segmento CD, perpendicular a AB, partindo
do ponto C e encontrando o ponto D, pertencente ao
arco AB ;
3º) construir o arco circular AE, de raio AB e centro B,
sendo E a interseção com o prolongamento do segmento
BD , no sentido B para D ;
4º) construir o arco circular BF, de raio AB e centro A,
sendo F a interseção com o prolongamento do segmento
AD , no sentido A para D ;
5º) desenhar o arco circular EF com centro D e raio DE.
Determine o comprimento, em centímetros, da curva
AEFB.
3. (Uerj 2009) Considere o teorema e os dados a seguir.
Se α, β e α + β são três ângulos diferentes de
π
+ kπ, k ∈ ℤ, então
2
tgα + tgβ
tg(α + β) =
.
1 − (tgα )(tgβ)
a, b e c são três ângulos, sendo tgb = 2 e
4
tg(a + b + c) = .
5
No esquema acima estão representadas as trajetórias de
dois atletas que, partindo do ponto X, passam
simultaneamente pelo ponto A e rumam para o ponto B
por caminhos diferentes, com velocidades iguais e
constantes. Um deles segue a trajetória de uma
semicircunferência de centro O e raio 2R. O outro percorre
duas semicircunferências cujos centros são P e Q.
Considerando 2 = 1,4, quando um dos atletas tiver
percorrido 3/4 do seu trajeto de A para B, a distância entre
eles será igual a:
a) 0,4 R
b) 0,6 R
c) 0,8 R
d) 1,0 R
5. (Uerj 2006) O preço dos produtos agrícolas oscila de
acordo com a safra de cada um: mais baixo no período da
colheita, mais alto na entressafra. Suponha que o preço
aproximado P, em reais, do quilograma de tomates seja
dado pela função P(t) = 0,8 × sen [(2ð/360) (t-101)] + 2,7, na
0
qual t é o número de dias contados de 1 . de janeiro até 31
de dezembro de um determinado ano.
Para esse período de tempo, calcule:
a) o maior e o menor preço do quilograma de tomates;
b) os valores t para os quais o preço P seja igual a R$ 3,10.
Calcule tg(a - b + c).
Parte V
4. (Uerj 2006)
1. (Unicamp 2014) Seja x real tal que cos x = tg x. O
valor de sen x é
3 −1
.
2
1− 3
b)
.
2
a)
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e) 4,0.
5 −1
.
2
1− 5
d)
.
2
c)
4. (Fgv 2013) No círculo trigonométrico de raio unitário
indicado na figura, o arco AB mede α. Assim, PM é igual a
2. (Fuvest 2013) Sejam α e β números reais com
− π 2 < α < π 2 e 0 < β < π. Se o sistema de equações,
dado em notação matricial,
3 6   tg α   0
6 8  cos β = 


  −2

,
3
for satisfeito, então α + β é igual a
π
3
π
b) −
6
c) 0
π
d)
6
π
e)
3
a) −
3. (Unesp 2013) A caçamba de um caminhão basculante
tem 3 m de comprimento das direções de seu ponto mais
a) −1 − tg α
b) 1 − cos α
c) 1 + cos α
d) 1 + sen α
e) −1 + cotg α
5. (Unicamp 2013) Ao decolar, um avião deixa o solo com
um ângulo constante de 15°. A 3,8 km da cabeceira da pista
existe um morro íngreme. A figura abaixo ilustra a
decolagem, fora de escala.
frontal P até a de seu eixo de rotação e 1m de altura
entre os pontos P e Q. Quando na posição horizontal isto
é, quando os segmentos de retas r e s se coincidirem, a
base do fundo da caçamba distará 1,2 m do solo. Ela pode
girar, no máximo, α graus em torno de seu eixo de
rotação, localizado em sua parte traseira inferior, conforme
indicado na figura.
Podemos concluir que o avião ultrapassa o morro a uma
altura, a partir da sua base, de
a) 3,8 tan (15°) km.
b) 3,8 sen (15°) km.
c) 3,8 cos (15°) km.
d) 3,8 sec (15°) km.
Dado cos α = 0,8, a altura, em metros, atingida pelo
ponto P, em relação ao solo, quando o ângulo de giro α for
máximo, é
a) 4,8.
b) 5,0.
c) 3,8.
d) 4,4.
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