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Departamento de Matemática Pura e Aplicada
MAT 01353 – Cálculo e Geometria Analı́tica IA
Lista 1 – Funções
1. Responda o que se pede :
a) Na grade abaixo, esboce f (x) = ln(x + 1).
y
7
6
5
4
3
2
1
0
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
-1
4
5
6
7
x
-2
-3
-4
-5
-6
-7
b) Usando os procedimentos vistos em aula, dê o domı́nio e a imagem da sua inversa, esboce-a
(na mesma grade).
c) Qual a fórmula de f −1 ? Calcule f −1 (0).
2. Em uma praça, deseja-se construir um canteiro de 240 m2 , circundado por um gramado, conforme mostra a figura. Sabendo que o m2 da grama custa R$30,00, expresse o custo total
do gramado, em termos da medida x de um dos lados do canteiro. Atenção: A figura é
meramente ilustrativa, não está em escala!
3m
5m
canteiro
5m
3m
3. Sabendo que a função f (x) = log3 (x − 2) possui uma função inversa, determine o número real
a para o qual f −1 (a) = 11.
4. Uma empresa fabrica caixas com base retangular, sem tampa e com altura igual ao triplo de
uma das dimensões da base, a qual denotaremos por x. Se a área total de superfı́cie de cada
caixa deve ser de 600cm2 , expresse o volume V da caixa como função de x. Não esqueça de
indicar o domı́nio da função V.
5. Simplifique a expressão e indique os valores de x para os quais sua simplificação é válida:
a) e− ln x
d) sen (arcsen
b) ln(x ex )
x2
)
50
c) ex−ln x
e) cos(arctg x)
6. Um campo retangular está limitado por uma cerca em três de seus lados e por um rio reto
no quarto lado. Sabendo que o terreno está cercado com 1000 m de cerca, expresse a àrea do
campo retangular em função de um dos seus lados x. Não esqueça do domı́mio.
7. Considere f (x) = (x + 1)3 , para todo x real, cujo gráfico está esboçado abaixo.
a) Justifique o fato de f ser invertı́vel.
b) Determine f −1 (x)
c) Faça um esboço do gráfico de f −1 , no mesmo sistema de coordenadas dado.
y
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
1
2
3
4
5
6
7
8
x
8. Considere uma caixa na forma de um paralelepı́pedo, cuja base (retangular) tem uma das
dimensões igual ao dobro da outra, e de forma que a soma de sua altura com o perı́metro da
base seja de 600 cm. Determine a função que expressa o volume V de uma tal caixa, em termos
da medida x da menor dimensão da base. Atenção: Não esqueça de especificar o domı́nio
da função.
9. Considere a função f (x) = 2 sen (x + 4).
(a) Determine o domı́nio e a imagem da função f .
(b) Encontre um intervalo I de comprimento máximo, contendo o ponto x = 1, para o qual f
é invertı́vel.
(c) Determine o valor de x que satisfaz f −1 (x) = 2π − 4
10. Um terreno retangular deve ser dividido em quatro partes triangulares, conforme mostra a figura, e cercado. Na parte exterior deste terreno será colocada uma cerca ao custo de R$ 25,00
o metro e, na parte interior do terreno, será colocada uma cerca que custa R$ 12,00 o metro.
Expresse o custo para colocar tais cercas num terreno
com área igual a 300 metros quadrados, em função da
dimensão do terreno indicada na figura por x.
Atenção: Não esqueça de determinar o domı́nio da
função.
x
A figura não está em escala!
11. Considere a função f , cujo gráfico está esboçado abaixo, definida por f (x) =
x ≤ 0,


 1 x2 ,
3
y
6
 x


 3 − 2,
x > 0.
5
4
3
a) Justifique o fato de f ser invertı́vel.
2
1
b) Determine f −1 (x), especificando seu
domı́nio.
0
-6
-5
-4
-3
-2
0
-1
-2
c) Faça, no mesmo sistema de coordenadas dado, um esboço do gráfico de f −1 .
bc
-1
-3
-4
-5
-6
b
1
2
3
4
5
6
x
12. Um terreno retangular dividido em 4 partes iguais conforme mostra a figura, deve ser cercado
interna e externamente com dois tipos de cerca. A cerca externa custa 30 reais o metro linear,
enquanto que a interna custa 20 reais o metro.
Dispondo de 600 reais para custear tais cercas, escreva a
função f que fornece a área de um tal terreno em termos
da variável x, que mede um dos lados do terreno.
Atenção: Não esqueça de determinar o domı́nio de f .
A figura é meramente ilustrativa, não está em escala!
x
13. Seja f (x) = − 21 (x − 2)3 , para todo x real, função invertı́vel, cujo gráfico está esboçado abaixo.
y
8
7
a) Determine f −1 (0)
6
5
4
b) Determine uma regra para f
−1
(x)
3
2
1
c) No mesmo sistema de coordenadas
dado, faça um esboço do gráfico de f −1 .
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
1
2
3
4
5
6
7
8
x