Transcript Powerpointslides

1. Tall og tallregning
1.1 Tall:
Naturlige tall:
  {1, 2, 3, ...}
Alle positive heltall.
Hele tall:
  {...,  3,  2,  1, 0, 1, 2, 3, ...}
Alle heltall (positive og negative), inkludert 0
12,5
siden 12,5 
125
10
Q
Rasjonale tall:
Brøker og hele tall
1, 5
1,5

3
2
Irrasjonale tall:
Alle tall som ikke kan skrives som en brøk
Reelle tall:
Element:
2 N
2 er element i N
1
1
2
2
Alle rasjonale og irrasjonale tall; Alle tallene på tallinjen
R
N
 , e,
er ikke element i N
2
1
1. Tall og tallregning
1.1 Tall:
Intervall:
Lukket intervall:
2 , 10 
Alle tallene fra og med 2 til og med 10 er med i intervallet.
4  2,10

3

2
Åpent intervall:
2,10
Alle tallene 2 til 10, utenom endepunktene 2 og 10, er med i
intervallet.
Halvåpent intervall:
2, 10 
Det ene endepunktet er med i intervallet.
Uendelig intervall:
 , 2
x2
,2
x2
x
  ,2]
 2,10
eller x   , 2 
Annen skrivemåte:
Lukket intervall:
x  2 ,10 
2  x  10
Åpent intervall:
x  2 ,10
 2  1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11


 2  1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
2  x  10
2
1. Tall og tallregning
1.1 Tall:
Absoluttverdi:
 x
x 
 x
x0
x0
Absoluttverdien til et tall er alltid positivt;
«fjerner» minusfortegn;
Avstanden (alltid positiv) tallet har til 0 på
tallinjen.
2 2
2 2
3
1. Tall og tallregning
1.2 Regnerekkefølge:
Fortegnsregler for multiplikasjon:
To minus gir +
2 3  6
2  (4)  8
 2  (2)  4
Sett parenteser der det er nødvendig!
Både for hånd og med kalkulator.
 2  (2)  (2)  8
Regnerekkefølge: ikke absolutt, men rådgivende
Regn ut
1) Parentesene
2) Potensene
3) Multiplikasjonene og divisjonene
4) Addisjonene og subtraksjonene
 1  ( 4  1)  (10  2 ) : 3  2  3
()
2

  1  3  12 : 3  2  3
3
og :
 og -
  1  3  12 : 3  2  9
2
2
Parenteser
Potenser
…
  3  4  18
  7  18  11
4
1. Tall og tallregning
1.3 Brøkregning:
Utvide en brøk:
Multiplisere teller og nevner med samme
tall.
3

4
Forkorte en brøk:
Dividere teller og nevner med samme tall.
12
35
4 5

15

Brøken endrer ikke verdi
15
20
12 : 3

15 : 3
Brøken endrer ikke verdi
4
5
NB! Brøker i svar skal forkortes mest mulig.
Addisjon
(og tilsvarende for subtraksjon):
Finn fellesnevner
2
1

6


26
1 6
1
fn = 6;
Det minste
tallet både 6 og
3 går opp i.
3

1

6
12  1  2
6
1 2
32

15
6

5
2
Forkort svaret.
5
1. Tall og tallregning
1.3 Brøkregning:
Multiplikasjon:
Multipliserer teller med teller og nevner
med nevner.
To brøker:
2
14

6

15 49
14  6
2
15 5 49 7

22
57

4

35
NB Smart å forkorte underveis
14

15 49
Helt tall og brøk:
3
17
18
Divisjon:
6


2 7 2 3
2 7 2 3
4



35 7 7
35 7 7
35
3  17
18

3  17
18 6

17
6
(= multiplikasjon med den omvendte brøk.)
7
3
3 49
3  49
21
:
 


7 49
7 5
7 5
5
3
også når du regner med bokstaver:
x
5
2
4y
:
3x
2y
2
x 2y
2

2
4 y 3x
x 2y
2

7
7  3  49  3  49  21
5
7 5
7 5
5
49
2
4 2 y 3x

xy
6
6
1. Tall og tallregning
1.4 Brudden brøk:
6
Brudden brøk:
En brøk med brøker i telleren eller nevneren eller begge.
5
4
15
Metode 1 (anbefalt): utvider med fellesnevner til små-brøkene
6
6
5  5
4
4
15
Metode 2: utnytter at brøkstrek er det samme som divisjon
6
 15
3

 15
3
6 3
4 2

9
2
15
3
3
5  6 : 4  6  15  9
4
5 15
542 2
15
7
1. Tall og tallregning
1.5 Potenser:
«Gjentatt multiplikasjon».
Eksponenten 4 forteller oss hvor mange ganger vi skal
multiplisere grunntallet 2 med seg selv.
2  2222
4
Potensregler:
a a  a
p
a
p
a
q
a
0
a
q
pq
(s. 15 i formelsamlingen)
pq
a
def
p
 1

1
a
p
Gjelder både positive og negative
heltall som eksponenter og 0.
2  2  2  2  2  2  2  2 (  32 )
3
2
1
3
5
3
3
8
8
a
4
5
33333


333
2
3
2
3
a
04
2

33
a
0
a
4
Ikke ført et matematisk
bevis for a0 og a-n .
 3 ( 9)
2
 2  logisk å definere a  1
0

1
a
4
0
Evt: del opp regnestykket:
2
3
2
3
2
3
2
3

8
1
8
2
33
2
0
8
1. Tall og tallregning
1.5 Potenser:
Eksempel på oppgave: skriv enklest mulig
5 5
2
5
3
4

5
2 4
5
3

5
6
5
3
5
63
 5  125
3
1.6 Regneregler for potenser:
Potensregler:
p
p
a
a
   p
b
b
a  b  p
a 
p q
 2 x 3
3
3
 a b
a
 2x  2x  2x  2 x  8x
p
p q
p
3
3
Øv på å droppe
mellomregningen.
3
2 2 2
2
8
2
      3 
3 3 3
3
27
3
2 
3
3
 2 2 2  2
3
3
3
9
Grunntallet er en potens
9
1. Tall og tallregning
1.6 Regneregler for potenser:
Eksempler: HUSK!!
3 x  2
 3x
Kvadrerer
både x
og
3-tallet
2
Kvadrerer kun x, og ikke
3-tallet
(a )  a a
2
4
Husk: Parenteser der det er nødvendig.
2
4
Et større eksempel:
2  (2a )
3
2a
4
2
1
 (a )
2 a
3
1

4
2  a  (2a )
1
2 a
3
2

4
2a 2 a
1
2
2

a
4
a
3
a
Kan regnes ut på flere forskjellige måter.
Tips: Regn sammen deler av uttrykket, litt etter litt. Flere
angrepsmåter kan fungere, men pass på at du bruker
regnereglene.
10
1. Tall og tallregning
1.7 Tall på standardform:
a   k  10
n
Store tall med mange siffer er uoversiktlige. Gjøres ofte
regnefeil, lett å glemme et siffer.
1  k  10
der n er et heltall
Nb Du kan velge ulikt format på tallene som vises
på kalkulatoren. SCI gir tall på standardform.
Eksempler: regn ut og skriv svaret som et desimaltall eller et helt tall.
a)
( 5  10 )  ( 3  10
3
6
)  15  10
3 6
 15  10
3
 1,5  10  10
1
3
 1,5  10
1 3
 1,5  10
2
 0 , 015
b)
0 , 00045  0 , 0012
27 000 000

4 , 5  10
4
 1, 2  10
2 , 7  10
7
3

4 , 5  1, 2
 10
 4 3 7
 2  10
 14
2 ,7
Eksponenten: positiv: hvor mange plasser vi skal flytte
komma mot venstre
neg: hvor mange plasser mot høyre
11
1. Tall og tallregning
1.8 Kvadratrøtter og røtter av høyere orden:
Kvadratrot
9 3
fordi
3 9
og
30
16  4
fordi
4  16 og
40
9

25
x a
2
2
3
5
når
a  x
2
og
a0
12
1. Tall og tallregning
1.8 Kvadratrøtter og røtter av høyere orden:
Kvadratrot
x  a dersom a  0  a  x
2
Kvadratrota av x er det positive tallet som opphøyd i andre
potens er lik x
Kvadratrota av et tall er alltid positivt
9 3
30 3 9
4
2

9
9  3
2
2
2
selv om
(  3)  9
2
2
2
4
2
0     2 
3
3
9
3
3
Tredje rot
3
x  a dersom
a  x
3
n-te rot
n
x  a dersom
a  x
n
n-te rot defineres tilsvarende. Når n er partall, velges a positiv.
Kalkulatortips s. 40 i Sinus.
13
1. Tall og tallregning
1.8 Kvadratrøtter og røtter av høyere orden:
Regler:
a b 
a

b
a b
a
b
1.9 Potenser med en brøk som eksponent:
1
83  ?
 1
83


Hva gir regelen
a  ?
m n
3
1
3

  8 3  81  8


 8
3
3
samtidig vet vi at
8
1
 83 
3
8 2
1
1
an 
n
a
dersom
a  0 og n  N (naturlig tall)
Merk: a 2 
a
14
1. Tall og tallregning
1.9 Potenser med en brøk som eksponent:
m
a
n

n
a

m
 a
m
n
Med oppgaver der n-te røtter inngår er det gjerne enklest å gjøre om til potenser, før
vi regner ut svaret.
Eksempler: Skriv enklest mulig.
4
a)
3
b)
32
3
2

5
1
c)
 
8 8  2
4
 
 2
4
2
3
2
5
2
2

1
4
 2  16
4
3

1
2
2

1
4
1
1
1
2 1 3
6
6
 56  5
 53 56 52  5
2
2
3
a 
3
d)
3
1
53 56
5
5 
3
6
3
a
a
2

a2 a3
1
9  4 1
a
6
12
a
6
a
2
a6
15
1. Tall og tallregning – oppsummering/ test deg selv
Hva menes med:
1) Naturlige tall?
2) Rasjonale tall?
3) Irrasjonale tall?
4) Reelle tall?
5) Lukket intervall?
6) Åpent intervall?
7) Halvåpent intervall?
8) Absoluttverdi til et tall?
16