Baum-, Netz und Plex

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Baum-, Netz und Plex Grammatiken

Seminar für Mustererkennung BTU Cottbus Wintersemester 2006/2007 Dipl.-Inform. (FH) Jan Anton Dérer, M. Sc.

Übersicht

• Baum-Grammatiken • Netz-Grammatiken • Plex-Grammatiken 29.04.2020

Was ist ein Baum?

• Ein Baum T ist eine endliche Menge von Knoten – Ein spezieller Knoten davon wird als Wurzel bezeichnet – Die weiteren Knoten werden in disjunkte Mengen T 1 , …, T M aufgeteilt, welche selbst wieder Bäume darstellen, die wiederum Teilbäume von T sind © Dipl.-Inform. (FH) Jan Dérer, M. Sc.

29.04.2020

Warum ein Baum?

• • Muster haben eine Baumstruktur – Ein Knoten kann mehr als einen Nachfolger haben 1.

Ein Knoten enthält zwei Informationen Wörter beschreiben den Knoten (Einzelbedeutung des Knoten) Verknüpfungen zu den Nachbarn (Beziehungsinformationen zu Anderen) © Dipl.-Inform. (FH) Jan Dérer, M. Sc.

29.04.2020

Definition: Ranked Alphabet

• Ein „Ranked Alphabet“ besteht aus einem Paar (X, r) – X  – r  Zeichen aus einem Alphabet



  0

, ...

 Definiert eine Relation zwischen dem Zeichen und einer natürlichen Zahl • Häufig wird es als die Anzahl an Argumenten für eine Funktion bezeichnet – Stelligkeit © Dipl.-Inform. (FH) Jan Dérer, M. Sc.

29.04.2020

Definition: Baum-Grammatik

• Die Baum-Grammatik ist als Quadrupel definiert

G t

 

V , r , P , S

 – V  Alphabet aus Nichtterminal- (N) und Terminalzeichen ( Σ) – r  Natürliche Zahlen für die Stelligkeit, d. h. bei einem Baum die Anzahl der Nachfolgerknoten (V, r)  bildet das „Ranked Alphabet“ © Dipl.-Inform. (FH) Jan Dérer, M. Sc.

29.04.2020

Definition: Baum-Grammatik

– P  Produktionen / Regeln in der Form:

T i



T j

– S  T i und T j sind dabei Bäume Ein Startbaum, aus einer endlichen Menge von Startbäumen • Die Knoten für den Baum müssen aus V entnommen sein © Dipl.-Inform. (FH) Jan Dérer, M. Sc.

29.04.2020

Ableitungen und Sprachen

• Ableiten

T I a



G t T II

T II wird abgeleitet aus T I am Knoten a anhand der Grammatik G t • Sprache

 



T | T in T



, S



G t T

T Σ ist ein Baum aus Terminalzeichen © Dipl.-Inform. (FH) Jan Dérer, M. Sc.

29.04.2020

Expansive Baum-Grammatiken

• Eine Baum-Grammatik liegt in expansiver Form vor, wenn – alle Regeln die folgende Form haben X  x 29.04.2020

X 1 X n • wobei X, X 1 , X 2 , …, X n • x ein Terminalzeichen Nichtterminalzeichen sind • und n die Stelligkeit r(x) wiedergibt © Dipl.-Inform. (FH) Jan Dérer, M. Sc.

Beispiel I – Arithmetischer Baum

Die Grammatik G A sei wie folgt definiert: V 

  N  {S, A} Σ  {+, -, *, /, a, b, c, d} r  {0, 1, 2} S  S © Dipl.-Inform. (FH) Jan Dérer, M. Sc.

29.04.2020

Beispiel I – Arithmetischer Baum

S  + A A  A A  + A r(+) = 2 A r(-) = 2 A r(+) = 1 A  * A A  / A A  A r(*) = 2 A r(/) = 2 A r(-) = 1 A  a r(a) = 0 A  b r(b) = 0 A  c r(c) = 0 A  d r(d) = 0 © Dipl.-Inform. (FH) Jan Dérer, M. Sc.

29.04.2020

Beispiel I – Arithmetischer Baum

S / * A A A A c d a d b 29.04.2020

Beispiel II - Buchstaben

Die Grammatik G B sei wie folgt definiert: V 

  N  {S, A 1 , A 2 , A 3 } Σ  {a, b, c} r  {0, 1, 2} S  S 29.04.2020

Beispiel II - Buchstaben

S  $ A 1  a A 2  b A 1  a S A 2  $ A 2 A 2  b A 2 29.04.2020

A 2 A 1  A 1 a A 2  A 2 b A 2  b A 1 A 2  A 2 b A 3  A 3 c A 3  c A 1 A 1 © Dipl.-Inform. (FH) Jan Dérer, M. Sc.

A 3 14

$ b b b a a a b b c c a a 29.04.2020

Beispiel II - Buchstaben

b b $ b c a a c a a b a b © Dipl.-Inform. (FH) Jan Dérer, M. Sc.

c b 15 a

b b b b a b a $ b b b b b

Beispiel II - Buchstaben

$ b b b b a b b a b b c b b b a 29.04.2020

Varianten

• Reguläre Baum-Grammatiken – Anlehnung an die regulären Sprachen • Lokale Baum-Grammatiken – Keine zwei Regeln mit unterschiedlichen Nichtterminalzeichen auf der linken Seite und der gleichen rechten Seite • „Single-Type“ Baum-Grammatiken – Restriktiver als lokale Baum-Grammatiken – Startsymbole und deren rechte Seite dürfen ebenfalls nicht in einer anderen Regel definiert sein • „Restrained-Competition“ Baum-Grammatiken © Dipl.-Inform. (FH) Jan Dérer, M. Sc.

29.04.2020

Varianten

• „Bag Context“ Baum-Grammatiken • Probabilistische reguläre Baum-Grammatiken • ET0L Baum-Grammatiken • Verzweigte Baum-Grammatiken • Tree-Adjoining Grammars • „Single“ Baum-Grammatiken • D-Baum-Grammatiken • Collagen Grammatiken © Dipl.-Inform. (FH) Jan Dérer, M. Sc.

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Anwendungen

• Compilerbau – Baum-Grammatiken stellen den Befehlssatz von Prozessoren dar • Parsen von XML-Dateien • Bäume generieren 29.04.2020

Anwendungen

• Level-Of-Detail mittels Baum Grammatiken 29.04.2020

Anwendungen

• Modellierung von RNA – RNA  Informationsträger und Übersetzer von genetischen Informationen • Klassifikation von Fingerabdrücken 29.04.2020

Was ist ein Netz?

• Ein Netz ist ein ungerichteter, knotenbeschrifteter Graph • Ein ungerichteter Graph ist wie folgt definiert:

 

Q , W

 – Q  Endliche, nichtleere Menge von Knoten – W  Menge von ungeordneten Paaren von verschiedenen Knoten aus Q, welche Kanten beschreiben 29.04.2020

Was ist ein Netz?

• Ein knotenbeschrifteter Graph – definiert eine Menge V von Symbolen V 

  – Alle Knoten erhalten ein Element aus V a + 29.04.2020

R $ © Dipl.-Inform. (FH) Jan Dérer, M. Sc.

Produktionen für ein Netz

• Sei V die Menge der Bezeichner, N α und N β α und β die Menge der Knoten der Netze • Eine Produktion definiert sich aus einem Tripel ( α, β, f) – α – β   Graph, der ersetzt werden soll Graph, der eingefügt werden soll – f  Definiert, wie β in α eingesetzt wird und unter welchen Bedingungen 29.04.2020

Produktionen für ein Netz

• f in einer Produktion ist wie folgt definiert: – f ist ein geordnetes Paar aus N β X N α – f hat die Form f(n, m), wobei n in N β in N α enthalten ist und m – Der Wert von f definiert die Verbindungen von n zu den Nachbarn von m – „normal“ wird als Wert angegeben, wenn die Nachbarn von m keine Rolle spielen © Dipl.-Inform. (FH) Jan Dérer, M. Sc.

29.04.2020

Definition: Netz-Grammatik

• Eine Netz-Grammatik ist ein Quadrupel, welches wie folgt definiert ist:

G W

 

N ,



, P , S

 – N  – Σ  Menge der Nichtterminalzeichen Menge der Terminalzeichen – P  Menge der Produktionen – S  Startsymbol, welches üblicherweise auch in N enthalten ist © Dipl.-Inform. (FH) Jan Dérer, M. Sc.

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Beispiel I

Die Grammatik G W sei wie folgt definiert: N  {S} Σ  {a, b, c} S  S 29.04.2020

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Beispiel I - Produktionen

α S S b β f a S f(a, S) = {b, c} b c a c © Dipl.-Inform. (FH) Jan Dérer, M. Sc.

f(a, S) = {b, c} 28

S 29.04.2020

Beispiel I - Ablauf

β f S S f(a, S) = {b, c} b a © Dipl.-Inform. (FH) Jan Dérer, M. Sc.

c 29

Beispiel II

Die Grammatik G W sei wie folgt definiert: N  {A, B, C, S} Σ  {a} S  S 29.04.2020

α S B C a C a 29.04.2020

A | B A β A B C a a C a a f f(A, S) = {a} f(A, B) = {A, a} f(a, C) = {A, a} f(a, a) = {A, a} a S f(a, C) = {A, a} f(a, a) = {A, a} a normal 31

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α A | B

Beispiel II - Ablauf

β A A a C S C B a a f f(a, C) = {A, a} a A C a a C a S A a a a © Dipl.-Inform. (FH) Jan Dérer, M. Sc.

a 32 B

Historisches

• Eingeführt wurden die Netz Grammatiken von J. Pflatz und A. Rosenfeld – J.

Pfaltz

, A.

Rosenfeld

Web Grammars

. Tagungsband zur ersten internationalen K. I. Konferenz in Washington, 1969.

– Grundidee: Anpassung einer linearen Turing-Maschine auf komplexe Strukturen © Dipl.-Inform. (FH) Jan Dérer, M. Sc.

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Varianten

• Graph-Grammatiken – Netz-Grammatiken ohne Knotenbeschriftungen (nach Gonzalez 1979) – Definition der Graph-Grammatiken hat sich erweitert und deckt die Netz-Grammatiken ab • Reguläre Netz-Grammatiken • Kontextsensitive Netz-Grammatiken © Dipl.-Inform. (FH) Jan Dérer, M. Sc.

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Anwendungen

• OCR-Software – Erkennung von arabischen Schriftzeichen – Erkennung von Zahlen • Darstellung von geometrischen Figuren 29.04.2020

Einführung in Plex-Grammatiken

• Gesucht werden Strukturen mit n Anknüpfungspunkten • Jeder Anknüpfungspunkt sollte einzeln ansprechbar sein • Solch eine Struktur heißt NAPE (n attaching-point entity) • Erzeugte Strukturen durch Verbinden von NAPEs heißen Plex-Strukturen 29.04.2020

Definition: Plex-Grammatik

• Die Plex-Grammatik ist als sechser Tupel wie folgt definiert:

G P

 

N ,



, P , S , I , i

0  – N  Endliche, nichtleere Menge von NAPEs, welche Nichtterminale darstellen – Σ  Endliche, nichtleere Menge von NAPEs, welche Terminale darstellen – P  Endliche Menge von Produktionen © Dipl.-Inform. (FH) Jan Dérer, M. Sc.

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Definition: Plex-Grammatik

– S  Ein NAPE aus N, welches als Initial-NAPE bezeichnet wird – I  Endliche Menge von Bezeichnern • Jeder Anknüpfungspunkt eines NAPEs muss einen Bezeichner aus I besitzen • Ein Bezeichner darf nicht zweimal in einem NAPE vorkommen – i 0  Definiert einen Platzhalter • Der Platzhalter wird verwendet, wenn bei der Verbindung von NAPEs bestimmte Anknüpfungspunkte nicht mit einander verbunden werden © Dipl.-Inform. (FH) Jan Dérer, M. Sc.

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Voraussetzungen

 

  2.

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   

   © Dipl.-Inform. (FH) Jan Dérer, M. Sc.

Produktionen

• Nichtrestriktive Plex-Grammatiken            – ψ  Liste der Komponenten (ein oder mehrere NAPEs) für die linke Seite – Γ ψ  Liste der Verknüpfungen unter den Komponenten der linken Seite – Δ ψ  Liste der Verknüpfungen zu den Komponenten der rechten Seite 29.04.2020

Produktionen

– ω  Liste der Komponenten (ein oder mehrere NAPEs) für die rechte Seite – Γ ω  Liste der Verknüpfungen unter den Komponenten der rechten Seite – Δ ω  Liste der Verknüpfungen zu den Komponenten der linken Seite 29.04.2020

Produktionen

• Restriktive Plex-Grammatiken 1. Ein NAPE kann sich nicht mit sich selbst verbinden 2.

Keine Verknüpfungen untereinander von NAPEs außer die, welche in Γ ψ und Γ ω definiert sind Jeder Anknüpfungspunkt der linken Seite muss entweder in Γ entsteht oder nicht) ψ oder in Δ ψ enthalten sein (unabhängig, ob eine Verknüpfung (Dasselbe gilt auch für die rechte Seite) © Dipl.-Inform. (FH) Jan Dérer, M. Sc.

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Produktionen

• Kontextfreie Plex-Grammatiken          29.04.2020

29.04.2020

Beispiel für Produktionen

1 A ist ein einzelnes Nichtterminal-NAPE ψ Δψ A (1, 2, 3)  ω Γω Δω bc (41) (10, 20, 30) 2 b 4 3 1 Verknüpfung untereinander 2 1 b 3 c i 0  0 Platzhalter Keine Verknüpfung zwischen A und c gewünscht c © Dipl.-Inform. (FH) Jan Dérer, M. Sc.

Beispiel II Moleküle

Die Grammatik G M sei wie folgt definiert: N  {, , ,

, } Σ  S  {, } i I  0  {0, 1, 2, 3, 4} 0 29.04.2020

Beispiel II - Produktionen

(1, 3) 

(3, 1)(10, 03) |

()(1, 3)

(1, 3)  (31000, 02100, 03020, 04010, 00031, 10000, (1)  (31)(10) (1, 3)  (21)(10, 30) (1, 2, 3)  (41)(10, 20, 30) 29.04.2020

Beispiel II - CH

(1, 2, 3)  (41)(10, 20, 30) 1 2 C 3 1 4 2 C 3 H 29.04.2020

H 1 50

Beispiel II – CH

2 (1, 3)  (21)(10, 30) 1 2 C 3 H 29.04.2020

1 H C 3 H © Dipl.-Inform. (FH) Jan Dérer, M. Sc.

H 1 51

Beispiel II - CH

3 (1)  (31)(10) 1 H C 3 H 29.04.2020

1 H C H H © Dipl.-Inform. (FH) Jan Dérer, M. Sc.

H 1 52

Beispiel II - SECTION

(1, 3)  (31000, 02100, 03020, 04010, 00031, 10000, 00003) 1 29.04.2020

H C 3 1 H 2 C 3 4 © Dipl.-Inform. (FH) Jan Dérer, M. Sc.

Beispiel II - SECTION

(1, 3)  (31000, 02100, 03020, 04010, 00031, 10000, 00003) 1 H 2 C C 3 1 H C H 29.04.2020

H 4 H © Dipl.-Inform. (FH) Jan Dérer, M. Sc.

Beispiel II - SECTION

(1, 3)  (31000, 02100, 03020, 04010, 00031, 10000, 00003) 1 H H H C H C C 3 1 2 C 3 29.04.2020

H 4 H © Dipl.-Inform. (FH) Jan Dérer, M. Sc.

Beispiel II - SECTION

(1, 3)  (31000, 02100, 03020, 04010, 00031, 10000, 00003) H 1 29.04.2020

H H C C H H C C 3 1 H C 3 H H © Dipl.-Inform. (FH) Jan Dérer, M. Sc.

Beispiel II - SECTION

(1, 3)  (31000, 02100, 03020, 04010, 00031, 10000, 00003) H H H C H H 1 C C C C 3 29.04.2020

H H H © Dipl.-Inform. (FH) Jan Dérer, M. Sc.

Beispiel II - CHAIN

(1, 3) 

(3, 1)(10, 03) |

()(1, 3)

H H H H C H H H H C H H 1 C C C C H 29.04.2020

C C C C 3 H H H © Dipl.-Inform. (FH) Jan Dérer, M. Sc.

H H 58

Historisches

• Eingeführt von T. Feder im Jahr 1971 – T.

Feder

Plex Languages

. Info. Sciences, Vol. 3, Seiten 225 - 241.

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Varianten

• Kontextsensitive Plex-Grammatiken – Regeln haben die Form: A ψ l Γ ψ l Γ A ψ l Δ A  χψ l Γ χ Γ ψ l Γ χψ l Δ χ 29.04.2020

Anwendungen

• Verwendung zur Beschreibung von digitalen Bauteilen • Visuelle Programmiersprachen – Symbole der

Picture Description Language

haben genau zwei Anknüpfungspunkte – Darstellung von Unsicherheit (Soft Computing) in geographischen Daten • Anwendung in der Computer Vision zur Beschreibung von 3D-Objekten 29.04.2020

Zusammenhang der Grammatiken

Kontextfrei Grammatiken

29.04.2020

Vielen Dank fürs Zuhören



Fragen?

Literatur

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29.04.2020

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29.04.2020

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