Transcript Euler’s Equation

Euler’s Equation
Fr Chris Thiel, OFMCap
St Francis High School
22 Nov 2004
Euler Said:
i
e 1 0
Which is a specific case of
i
e  cos   isin 
But why should we
believe
i
e  cos   isin  ?
Consider These power Series Expansions:
2
3
4

n
x
x
x
x
e  1 x 


  
2! 3! 4!
n!
n 0
x
2
4
6

3
5
7

2n
x
x
x
n x
cos x  1 
      (1)
2! 4! 6!
2n!
n 0
2n1
x
x
x
x
n
sin x  x 


     (1)
3! 5! 7!
(2n 1)!
n 0
Then…
2
3
4
5
6
x
3 x
4 x
5 x
6 x
e  1 ix  i
i
i
i
i

2!
3!
4!
5!
6!
2
3
4
5
6
x
x
x
x
x
e ix  1 ix  (1)  i  (1)  i  (1)  
2!
3!
4!
5!
6!
2
3
4
5
6
7
x
x
x
x
x
x
ix
e  1 ix   i 
 i   i 
2!
3! 4!
5! 6!
7!
ix
2
2
3
4
5
6
8
10
6
7
x
x
x
x
x
x
e  1 ix   i 
 i   i 
2!
3! 4!
5! 6!
7!
ix
2
4
x
x
x
x
x
e  1 
 


2! 4! 6! 8! 10!
3
5
7
9
11
x
x
x
x
x
 ix  i  i  i  i  i

3!
5!
7!
9!
11!
2
4
6
8
10


x
x
x
x
x
e ix  1




 
 2! 4! 6! 8! 10!

 x 3 x 5 x 7 x 9 x11

 ix 




 
3! 5! 7! 9! 11!


ix
2
4
6
8
10


x
x
x
x
x
ix
e  1




 
 2! 4! 6! 8! 10!

 x 3 x 5 x 7 x 9 x11

 ix 




 
3! 5! 7! 9! 11!


e  cos x  isin x
ix

i
e  cos   isin 
So if
i
 
e  cos   isin 
e  1  i0
i
i
e  1
i
e 1 0
QED