Matriks (Lanjutan)
Download
Report
Transcript Matriks (Lanjutan)
http://rosihan.web.id
• Kegunaan : untuk mempermudah dalam
pengoperasian, khususnya untuk matrix berorde tinggi.
• Jika dua matrix seorde disekat secara sebangun, maka
dapat dilakukan penjumlahan dan pengurangan pada
sekatan-sekatannya.
jika : A mxn A1
A 2 dan B mxn B1
B2
(A 1 dan B 1 berorde m x n 1 serta A 2 dan B 2 berorde m x n 2 )
Maka : A B A1
http://rosihan.web.id
A 2 B1
B 2 A1 B1
A2 B 2
• Berlaku juga untuk penyelesaian perkalian
antar matrix.
• Matrix-matrix yang akan dikalikan harus
disekat sedemikian rupa sehingga
memenuhi syarat operasi perkalian.
• Jumlah kolom dari sekatan-sekatan yang
dikalikan harus sama dengan jumlah baris
dari sekatan-sekatan pengalinya.
http://rosihan.web.id
jika : A mxn A1
A 2 dimana
A 2 berorde m x n
2
dan B nxp
B1
dimana
B 2
A 1 berorde m x n 1 ,
B 1 berorde n1 x p ,
B 2 berorde n 2 x p
Maka : AB A1
http://rosihan.web.id
B1
A 2 A1 B1 A 2 B 2 mxp
B 2
contoh :
A A1
5
A2
4
5
A1 B1
4
6 2
3 4
7
A2 B 2
2
8 7
1 3
6
7
3
2
5
1
0
9
3 34
6 20
8 73
2 17
107
AB A1 B1 A 2 B 2
37
http://rosihan.web.id
2
8
4
B1
B
1
B2 7
3
103
32
31
23
72
9
51
30
72
18
123
48
5
1
0
9
3
6
8
2
• Determinan selalu berbentuk bujursangkar,
dilambangkan |A|
• Nilai numerik |A|
A
http://rosihan.web.id
a 11
a 12
a 21
a 22
a 11 a 22 a 21 a 12
a 11
a 12
a 13
A a 21
a 22
a 23
a 31
a 32
a 33
a 11 a 22 a 33 a 12 a 23 a 31 a 13 a 21 a 32
a 11 a 32 a 23 a 12 a 21 a 33 a 13 a 22 a 31 scalar
n
A
a
j 1
http://rosihan.web.id
1j
C2 j
scalar
• Laplace Expansion by cofactors;
if |A| = 0, then |A| is singular, i.e., under identified
a 11
a 12
a 13
A a 21
a 22
a 23
a 31
a 32
a 33
C ij 1
i j
M 11
M 12
M
a
M 13
j 1
http://rosihan.web.id
1j
a 23
a 32
a 33
a 21
a 23
a 31
a 33
a 21
a 22
a 31
a 32
ij
n
A
a 22
C1 j
• Pattern of the signs for cofactor minors
C ij 1
http://rosihan.web.id
i j
M
ij
• C' or adjoint A: Transpose matrix of the cofactors of A
C 11
C 12
C
nxn
C
1 n
http://rosihan.web.id
C 21
C 22
C 2n
C n1
Cn2
adj A
C nn
Andaikan
a 11
:A
a 21
dan balikannya
maka menurut
a 11
a 21
b11
b 21
dilambangk
difinis
a 12 b11
a 22 b 21
Berorde 2x2
an dengan
a 11 a 22 a 21 a 12
a 21
a a 22 a 21 a 12
A
-1
b11
B
b 21
b12
b 22
AB I
b12 1
b 22 0
a 22
http://rosihan.web.id 11
a 12
a 22
b12
b 22
0
1
a 12
a 11 a 22 a 21 a 12
a 11
a 11 a 22 a 21 a 12
Determinan
|A|
a 11
a 21
a n1
http://rosihan.web.id
a 12
a 22
an2
a1 n
a2n
a nn
C 11
C 12
C
1 n
C 21
C 22
C 2n
C n1
Cn2
C nn
n
a1 j C 1 j
j 1
n
a 2 j C1 j
j 1
AC
nxn
n
a C
nj 1 j
j 1
http://rosihan.web.id
n
a
n
1j
C2 j
j 1
1j
C nj
2 j
C nj
j 1
n
a
a
n
2 j
C2 j
j 1
a
j 1
n
a
j 1
n
nj
C2 j
a
j 1
nj
C nj
AC
http://rosihan.web.id
A
0
0
A
0
0
0
1
0
0
A
A
0
0
1
0
0
0
AI
n
1
Inverse of A
AC A In
AC
A
A A
C
C
A
I
C
1
A I
A
A
A
http://rosihan.web.id
I
1
A
1
• Sehimpunan persamaan linier dapat disajikan dalam bentuk
notasi matrix.
• Bentuk umumnya :
A m xn X nx1 = c mx1
• Jika m = n dan A mempunyai inverse matrix bujursangkar
yang non-singular, maka :
A n xn X nx1 = c nx1
http://rosihan.web.id
•
Penyelesaian untuk vektor kolom x dapat diperoleh dengan
membalik matrix A :
X n x 1 = A-1 n x n c n x 1
•
Selain itu juga bisa diselesaikan dengan kaidah cramer
http://rosihan.web.id
x
*
1
x
*
2
x
*
n
http://rosihan.web.id
1
A
1
A
1
A
n
d
i
C i1
i
Ci2
i
C in
i 1
n
d
i 1
n
d
i 1
1
x
*
1
A
n
d
a
i
A1
C i1
i 1
ij
C ij
d
i 1
x
n
A
n
*
1
A1
A
i 1
n
A
i 1
http://rosihan.web.id
a i1 C i1
x
*
n
An
A
1
C i1
x
*
1
1
A
x
*
1
http://rosihan.web.id
d
1
C 11 d 2 C 21 d n C n 1
d1
a 12
a1 n
1 d2
a 22
a2n
A
dn
an2
a nn
A1
A