Transcript ANALISIS DERET WAKTU Ganjil 2011 kuliah ke-9

ANALISIS DERET WAKTU
Abdul Kudus, SSi., MSi., PhD.
MODEL-MODEL STASIONER
Cocok utk deret residu yg tidak ada trend atau musiman. Taksiran
model stasioner dapat digabungkan dengan taksiran model regresi utk
meningkatkan kemampuan ramalan.
Deret Stasioner yang Ketat (Strictly Stationary Series)
Model deret waktu {xt} dikatakan strictly stationary, jika
distribusi bersama dari xt1 , , xtn= distribusi bersama dari xt1 m , , xtn m
untuk semua t1,..., tn dan m. Sehingga distribusi tidak berubah
setelah terjadi perubahan waktu sebesar m.
Implikasinya: - rata-rata dan varians konstan seiring waktu
- Cov(xt,xs) hanya tergantung dari besarnya lag k = |t – s|
yang sering ditulis  (k).
Jika suatu deret waktu tidak strictly stationary, tetapi rata-rata dan
varians-nya konstan dan otokovarians-nya hanya tgt dari lag, maka
disebut second-order stationary.
Model Rata-rata Bergerak (Moving Average, MA)
Proses MA(q): Definisi dan Sifat
Proses MA berorde q mrp kombinasi linier dari white noise saat ini
(waktu t) dan q buah white noise terakhir.
.....(1)
xt  wt  1wt 1   q wt q
2

dimana {wt} adalah white noise dgn rata-rata nol dan varians w
Model (1) dpt ditulis menggunakan backward shift operator B
xt  1  1B   2 B2    q Bq  wt  q  B  wt
dimana q mrp polinom berorde q.
Oleh karena proses MA terdiri atas jumlah terhingga dr white noise yg
stasioner, maka ia bersifat stasioner sehingga mempunyai rata-rata
dan autokovarians yg tidak tgt pada waktu.
Sifat-sifat dari MA(q):
-Rata-ratanya nol
2
2
2
-Varians-nya 1  1    q   w
-Fungsi autokorelasinya (ACF)
dengan 0 = 1
Proses MA bersifat invertible (dpt dibalik) jika dpt dinyatakan sbg
proses autoregresif stasioner berorde berhingga tanpa suku error.
Contoh: proses MA xt  1   B wt dapat ditulis
1
wt  1   B  xt  xt   xt 1   2 xt  2 
dengan syarat || < 1.
Secara umum, proses MA(q) bersifat invertible jika akar-akar dari
q(B) semuanya lebih besar dari 1 (dalam tanda mutlak).
Contoh korelogram MA(3)
(a) ACF MA(3) dgn 1 = 0.7, 2 = 0.5
dan 3 = 0.2
(b) ACF MA(3) dgn 1 = 0.7, 2 = 0.5
dan 3 =  0.2
Simulasi MA(3)
>
>
>
>
+
+
+
>
>
set.seed(1)
b <- c(0.8, 0.6, 0.4)
x <- w <- rnorm(1000)
for (t in 4:1000)
{
for (j in 1:3) x[t] <- x[t] + b[j] * w[t-j]
}
plot(x, type = "l")
acf(x)
4
2
0
-4
-2
Residu pada t
0
200
400
600
800
1000
Waktu t
0.4
0.2
0.0
ACF
0.6
0.8
1.0
Series x
0
5
10
15
Lag
20
25
30
Menaksir Model
Data Hasil Simulasi
Model MA(q) dapat ditaksir dengan perintah arima dimana
parameter order-nya diset c(0,0,q).
> x.ma <- arima(x, order = c(0, 0, 3))
> x.ma
Call:
arima(x = x, order = c(0, 0, 3))
Coefficients:
ma1
ma2
0.7898 0.5665
s.e. 0.0307 0.0351
ma3
0.3959
0.0320
intercept
-0.0322
0.0898
Model Campuran: Proses ARMA
Definisi
Ingat kembali bhw deret waktu {xt} mrp proses autoregresif berorde p,
AR(p), jika x   x   x    x  w
t
1 t 1
2 t 2
p t p
t
dimana {wt} adalah white noise dan i mrp parameter dgn p0.
Model ARMA dibentuk dengan menggabungkan AR dan MA ke dalam
satu model. Deret waktu {xt} mrp proses autoregresif moving average
(ARMA) berorde (p,q), dinotasikan dgn ARMA(p,q)
Deret waktu {xt} mrp proses autoregresif moving average (ARMA)
berorde (p,q), dinotasikan dgn ARMA(p,q)
xt  1xt 1  2 xt 2 
  p xt  p  wt  1wt 1 
yg bisa ditulis dgn operator backward shift
 p  B xt  q  B wt
 q wt q
Beberapa catatan ttg proses ARMA(p,q)
a. Proses tsb bersifat stasioner jika akar-akar dari polinom  semuanya
lebih besar dr 1 (dalam tanda mutlak)
b.Proses tsb bersifat invertible jika akar-akar dari polinom  semuanya
lebih besar dr 1 (dalam tanda mutlak)
c. Model AR(p) = ARMA(p,0)
d.Model MA(q) = ARMA(0,q)
e. Kesederhanaan parameter. Jika dilakukan penaksiran model thd
data, model ARMA seringkali mengandung parameter lebih sedikit
daripada model tunggal MA atau AR.
f. Parameter redundancy. Jika polinom  dan polinom  berisi faktor
yang sama, maka model stasionernya bisa disederhanakan. Misal
 1  1 
 1 
1  B 1  B  xt  1  B  wt
 2  3 
 2 
 1 
1  B  xt  wt
 3 
Penurunan Sifat Orde-Kedua bagi Model ARMA(p,q) (hal. 128)
Simulasi
Proses ARMA (dan lebih lanjut lagi proses ARIMA yg akan dibahas
kemudian) dpt disimulasikan menggunakan perintah arima.sim.
Sebagai contoh proses ARMA(1,1) dengan parameter  = 0.6 dan
 = 0.5, yakni xt  0.6xt 1  wt  0.5wt 1
0
-2
x
2
> set.seed(1)
> x <- arima.sim(n = 10000, list(ar = -0.6, ma = 0.5))
> plot(x)
0
2000
4000
6000
Time
8000
10000
Penaksiran
Model ARMA (p,q) dapat ditaksir dengan perintah arima dengan
parameter order diset c(p,0,q). Data yg dibangkitkan
mengikuti proses ARMA(1,1) xt  0.6xt 1  wt  0.5wt 1 ditaksir sbb:
> taksir.arma11 <- arima(x, order = c(1, 0, 1))
> print(taksir.arma11)
Call:
arima(x = x, order = c(1, 0, 1))
Coefficients:
ar1
-0.5970
s.e.
0.0494
ma1
0.5027
0.0530
intercept
-0.0066
0.0095
sigma^2 estimated as 1.024:
14309.65, aic = 28627.29
log likelihood = -
Penaksiran Model utk Data Kurs Mata Uang
Kita coba taksir dengan model MA(1), AR(1) dan ARMA (1,1) dan
bandingkan AIC-nya.
> www <- "c:/pounds_nz.dat"
> x <- read.table(www, header = T)
> x.ts <- ts(x, st = 1991, fr = 4)
> x.ma <- arima(x.ts, order = c(0, 0, 1))
> x.ar <- arima(x.ts, order = c(1, 0, 0))
> x.arma <- arima(x.ts, order = c(1, 0, 1))
> AIC(x.ma)
[1] -3.526895
AIC terbesar
> AIC(x.ar)
[1] -37.40417
AIC kedua terkecil
> AIC(x.arma)
[1] -42.27357
AIC terkecil
> print(x.arma)
Coefficients:
ar1
ma1 intercept
0.8925 0.5319
2.9597
s.e. 0.0759 0.2021
0.2435
sigma^2 estimated as 0.01505: log likelihood = 25.14, aic
= -42.27
xt  0.8925xt 1  wt  0.5319wt 1  2.9597
> acf(resid(x.arma))
0.4
0.2
0.0
-0.2
ACF
0.6
0.8
1.0
Series resid(x.arma)
0
1
2
Lag
3