Transcript Презентація до уроку

Геометрія
9 клас
Розділ 3. Декартові
координати на площині
Тема уроку:
Рівняння прямої
З курсу алгебри ви знаєте, що графіком функції у = 2х є пряма.
Координати кожної точки цієї прямої, наприклад О (0; 0) і А (1; 2),
задовольняють її рівняння. І навпаки, яку б точку М з координатами (х;
2х) ми не взяли, вона лежатиме на даній прямій. Це означає, що дана
пряма задається рівнянням у = 2х.
Рівняння вертикальних прямих
Рівняння виду x = a на координатної площині задає безліч точок, які
мають одну і ту ж абсциссу.
Наприклад:
(1; 0), (1;2), (1; -2).
Ці точки лежать на вертикальній
прямій, що проходить через точку з
абсцисою 1 на осі ОХ.
4
Рівняння горизонтальних прямих
Рівняння виду y = b на координатній площині задає безліч точок, які
мають одну і ту ж ординату.
Наприклад: y=1
Точки (0; 1), (2;1), (-2; 1) належать цій
прямій.
5
Пряма, що проходить через початок координат, задається рівнянням
у = kх. Коефіцієнт k у цьому рівнянні називається кутовим коефіцієнтом
прямої. Він дорівнює тангенсу кута між даною прямою і додатною піввіссю
ОХ. На малюнку ви бачите, що пряма а нахилена до додатної півосі ОХ під
ММ
кутом α. З прямокутного трикутника О М1 М (М1 = 90°) дістаємо: tgα = 1
=
𝑘𝑥
𝑥
ОМ1
= 𝑘.
ЯК ЗАДАТИ ПРЯМУ, ЩО НЕ ПРОХОДИТЬ ЧЕРЕЗ
ПОЧАТОК КООРДИНАТ І МАЄ КУТОВИЙ
КОЕФІЦІЄНТ K?
Нехай пряма b (мал. 1) перетинає вісь ОY у точці В
(0; b) і має кутовий коефіцієнт k. Візьмемо на прямій b
довільну точку N з абсцисою х та визначимо її
ординату у. Для цього через початок координат
проведемо пряму а || b. Вона має той самий кутовий
коефіцієнт k, тому задається рівнянням у = kх. Нехай
пряма, що проходить через точку N паралельно осі ОY,
перетинає пряму а в точці М, а вісь ОХ – у точці М1 .
Тоді одержимо: ММ1 = kх (бо М ∈ а), NМ= ОВ = b (бо
чотирикутник NМОВ – паралелограм за означенням),
NМ1 = kх+ b. Отже, ордината точки N виражається
через її абсцису так: у = kх + b. Оскільки точка N –
довільна точка прямої b, то можна стверджувати, що
координати будь-якої точки цієї прямої задовольняють
рівняння у = kх + b.
Рівняння у = kх + b
називають рівнянням прямої з
кутовим коефіцієнтом.
A x + B x + C = 0, в якому хоча б один з
коефіцієнтів А або В різниться від нуля,
називається загальним рівнянням прямої
1. Яким рівнянням задається пряма, що проходить через
початок координат?
2. Що таке кутовий коефіцієнт прямої?
3. Запишіть рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом.
4. Який геометричний зміст вільного члена b у рівнянні
прямої у = kх + b?
5. Яким є рівняння прямої, що проходить через дві точки?
6. Який вигляд має загальне рівняння прямої?
496'. Назвіть кутовий коефіцієнт у рівнянні прямої:
1) у = 3х; 2) у = – 3х; 3) у = х; 4) у = – 2х; 5) у = –3 х; 6) у = 2 х.
497'. На якому з малюнків зображено пряму:
1) у = х – 2; 2) у = 3х – 1; 3) у = – 2х + 1?
Який відрізок на осі ординат відтинає задана пряма?
Який у неї кутовий коефіцієнт?
Чому дорівнює кутовий коефіцієнт прямої:
1. 𝑦 = 2𝑥 − 7
2. 𝑦 = −3𝑥
3. 𝑦 = 𝑥 + 10
4. 𝑦 = 5 − 𝑥
5. 𝑦 = 4
6. 3𝑥 − 2𝑦 = 4
А(х1; у1)
В(х2; у2)
y
AC = x2 – x1
BC = y2 – y1
В
А
α
С
α
О
x
k  tg  
BC
AC

y 2  y1
x 2  x1
A(x1; y1)
B(x2; x2)
y
180°– α
A
AC = y1 – y2
BC = x2 – x1
B
C
α
O
tg 180     
x
tg  
AC
BC
AC
BC


y1  y 2
x 2  x1
y 2  y1
x 2  x1
Пример
Знайти кутовий коефіцієнт прямої, що проходить через точки з
координатами A(-1; 4) і B(5; 8)
k 
84
5 1

4
6

2
3
1. Скласти рівняння прямої, що проходить через точки : 𝐴 −3; 5 та
𝐵 −3; −6
Розв’язання
Оскільки точки 𝐴 −3; 5 і 𝐵 −3; −6 мають рівні абсциси, то пряма 𝐴𝐵
являється паралельною осі ОУ і її рівняння має вигляд 𝑥 = −3 .
Відповідь: 𝑥 = −3 .
2)
Скласти рівняння прямої, що проходить через точки 𝐶 6; 1 та
𝐷 −18; −7
Розв’язання.
Підставимо координати точок 𝐶 6; 1 та 𝐷 −18; −7 в рівняння 𝑦 =
𝑘𝑥 + 𝑝, отримаємо систему рівнянь
6𝑘 + 𝑝 = 1,
−18𝑘 + 𝑝 = −7;
−24𝑘 = −8,
𝑘=
8
24
1
3
⇒𝑘= ,
1
3
1
3
𝑝 = 1 − 6 ⋅ , 𝑝 = −1 ⇒ 𝑦 = 𝑥 − 1.
1
3
Відповідь: 𝑦 = 𝑥 − 1.
499°. Яке рівняння:
1) осі абсцис;
2) осі ординат;
3) бісектриси першого і третього координатних кутів;
4) бісектриси другого і четвертого координатних кутів?
500°. Запишіть координати точок А, В і С, що лежать на:
1) осі абсцис;
2) осі ординат;
3) бісектрисі першого і третього координатних кутів;
4) бісектрисі другого і четвертого координатних кутів.
Якщо дві прямі задані
рівняннями
у
𝒚 = 𝒌𝟏 𝒙 + 𝒃𝟏 та
𝒚 = 𝒌𝟐 𝒙 + 𝒃𝟐 ,
причому 𝒌𝟏 = 𝒌𝟐 та 𝒃𝟏 ≠ 𝒃𝟐 ,
то вони паралельні.
0
х
Складіть рівняння прямої, яка проходе через точку
𝑨 −𝟒; 𝟑 та паралельна прямій 𝒚 = 𝟎, 𝟓𝒙 − 𝟒.
Розв’язання
Складемо рівняння у вигляді 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑏.
Оскільки ця пряма паралельна прямій 𝑦 = 0,5𝑥 − 4, то
їх кутові коефіцієнти рівні 𝑘 = 0,5 ⇒ 𝑦 = 0,5𝑥 + 𝑏.
Враховуючи, що пряма проходить через точку 𝐴 −4; 3 ,
отримаємо: 0,5 ⋅ −4 + 𝑏 = 3 ⇒ 𝑏 = 5 .
Тоді рівняння прямої 𝑦 = 0,5𝑥 + 5.
Відповідь: 𝑦 = 0,5𝑥 + 5.
Якщо пряма проходе через дві точки
𝐴 𝑥𝐴 ; 𝑦𝐴 та 𝐵 𝑥𝐵 ; 𝑦𝐵 , такі, що
𝑥𝐴 ≠ 𝑥𝐵 та 𝑦𝐴 ≠ 𝑦𝐵 ,
у
𝑩
𝑦𝐵
то її рівняння можна записати у вигляді
𝒙 − 𝒙𝑨
𝒚 − 𝒚𝑨
=
𝒙𝑩 − 𝒙𝑨 𝒚𝑩 − 𝒚𝑨
𝑦𝐴
𝑥𝐵
0
𝑨
𝑥𝐴
х
Скласти рівняння прямої яка проходить через точки 𝑨 −𝟑; 𝟓 та
𝑩 𝟕; −𝟐 .
Розв'язання
Підставимо координати точок 𝐴 −3; 5 та 𝐵 7; −2 до рівняння
𝑥−𝑥𝐴
𝑦−𝑦𝐴
=
.
𝑥𝐵 −𝑥𝐴
𝑥− −3
7− −3
𝑦𝐵 −𝑦𝐴
=
𝑦−5
−2−5
⇒
𝑥+3
10
=
𝑦−5
−7
⇒ −7 𝑥 + 3 = 10 𝑦 − 5
−7𝑥 − 21 = 10𝑦 − 50;
−7𝑥 − 10𝑦 = −29;
7𝑥 + 10𝑦 − 29 = 0.
Відповідь: 7𝑥 + 10𝑦 − 29 = 0.
•
Якщо дві прямі задані своїми загальними рівняннями 𝑨𝟏 𝒙 + 𝑩𝟏 𝒚 + 𝑪𝟏 = 𝟎 та
𝑨𝟐 𝒙 + 𝑩𝟐 𝒚 + 𝑪𝟐 = 𝟎, то їх взаємне розташування можна визначити:
Взаємне розташування
прямих
Перетинаються
Умова
𝐴1 𝐵1
≠
𝐴2 𝐵2
Паралельні
𝐴1 𝐵1 𝐶1
=
≠
𝐴2 𝐵2 𝐶2
Співпадають
𝐴1 𝐵1 𝐶1
=
=
𝐴2 𝐵2 𝐶2
y4
y x
x4
y  x2
y  x  4
y  2x
• Опрацювати п. 15
• Виконати вправи