Himpunan - WordPress.com
Download
Report
Transcript Himpunan - WordPress.com
Pengantar
Matematika Diskrit
dan Himpunan
Pertemuan I
oleh :
Tedy Setiadi
[email protected]
1
Tujuan :
• memahami pengertian matematika
diskrit
• mengenal ruang lingkup kajian
matematika diskrit dan penerapannya
• mengenal berbagai refensi pustaka
yang dapat diacu
2
Pokok Bahasan
Pengantar matematika diskrit
konsep dasar himpunan
3
Apakah Matematika Diskrit itu?
Cabang matematika yang mempelajari objek-objek
diskrit.
Apa yang dimaksud dengan kata diskrit (discrete)?
Benda disebut diskrit jika:
- terdiri dari sejumlah berhingga elemen yang
berbeda, atau
- elemen-elemennya tidak berkelanjutan
(uncontinue).
Contoh: himpunan bilangan bulat (integer) , graf, pohon
4
Lawan kata diskrit: kontinyu atau
(continuous).
Contoh: himpunan bilangan riil (real)
menerus
Kenapa penting belajar matematika diskrit ?
Komputer digital bekerja secara diskrit. Informasi
yang disimpan dan dimanipulasi oleh komputer
adalah dalam bentuk diskrit.
Matematika diskrit merupakan ilmu fondasinya dalam
pendidikan informatika.
5
Matematika diskrit memberikan fondasi
matematis untuk kuliah-kuliah lanjut di
informatika.
algoritma, struktur data, basis data, otomata dan
teori bahasa formal, jaringan komputer, keamanan
komputer, sistem operasi, teknik kompilasi, dsb.
Matematika diskrit adalah matematika yang
khas informatika
Matematika-nya orang Informatika...
6
Materi-materi dalam Struktur Diskrit:
Logika (logic)
Teori Himpunan (set)
Matriks (matrice)
Relasi dan Fungsi (relation and function)
Induksi Matematik (mathematical induction)
Algoritma (algorithms)
Teori Bilangan Bulat (integers)
Barisan dan Deret (sequences and series)
Teori Grup dan Ring (group and ring)
Aljabar Boolean (Boolean algebra)
Kombinatorial (combinatorics)
Teori Peluang Diskrit (discrete probability)
Fungsi Pembangkit dan Analisis Rekurens
Teori Graf (graph – included tree)
Kompleksitas Algoritma (algorithm complexity)
Otomata & Teori Bahasa Formal (automata and formal language
theory)
7
Beberapa contoh persoalan di dalam
Matematika Diskrit
Berapa banyak account mail yahoo
yang dapat dibuat?
Bagaimana
menentukan
jarak
terpendek dari dua kota?
Buktikan bahwa perangko senilai n (n
8) rupiah dapat menggunakan hanya
perangko 3 rupiah dan 5 rupiah saja
8
Dapatkah kita melalui semua jalan di sebuah
kompleks perumahan tepat hanya sekali dan kembali
lagi ke tempat semula?
“Makanan murah tidak enak”, “makanan enak tidak
murah”. Apakah kedua pernyataan tersebut
menyatakan hal yang sama?
9
Moral Cerita ini…
Mahasiswa informatika diharapkan mempunyai
pemahaman yang kuat dalam Matematika
Diskrit, agar tidak mendapat kesulitan dalam
memahami
kuliah-kuliah
lanjutannya
di
informatika.
10
Lets begin..
Teori Himpunan
11
Tujuan
dapat memahami konsep himpunan
dapat memahami berbagai variasi operasi
pada himpunan
dapat memahami sifat operasi-operasinya.
12
Pengantar..
Set atau Himpunan adalah bentuk dasar
matematika yang paling banyak digunakan
di teknik informatika
Salah satu topik yang diturunkan dari
Himpunan adalah Class atau collection
13
Definisi
Himpunan (set) adalah kumpulan objekobjek yang berbeda.
Objek di dalam himpunan disebut elemen,
unsur, atau anggota.
HMTIF adalah contoh sebuah himpunan,
di dalamnya berisi anggota berupa
mahasiswa. Tiap mahasiswa berbeda satu
sama lain.
14
Notasi himpunan
Himpunan dinyatakan dg huruf capital
misal : A, B, G
Sedangkan elemennya dg huruf kecil a, b,
c..,1,2,..
15
Penulisan Himpunan
1.
Enumerasi
menyebutkan semua anggota dari himpunan tersebut.
contoh : Himpunan tiga bilangan ganjil pertama: A = {1,3,5}.
Keanggotaan Himpuan
x A : x merupakan anggota himpunan A;
x A : x bukan merupakan anggota himpunan A.
Contoh 2.
Misalkan: A = {1,3,5,8}, R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} }, K = {{}}
maka
1 A,
{a, b, c} R, sedangkan c R
,
{} K, sedangkan {} A
16
Beberapa simbol baku pada himpunan
N = himpunan bilangan alami (asli) = { 0,1, 2, 3,... }
Z = himpunan bilangan bulat = { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }
Q = himpunan bilangan rasional
R = himpunan bilangan riil
C = himpunan bilangan kompleks
sedangkan U menyatakan himpunan semesta.
Contoh: Misalkan U = {a, b, c, d, e} dan A adalah
himpunan bagian dari U, dengan A = {a, d, e}.
17
3. Notasi Persyaratan
A = {x | persyaratan x}
contoh :
A = {x | x bilangan bulat dengan x2 -1 =0}
B = {x | x merupakan huruf vokal}
18
Diagram Venn
untuk menyatakan relasi antar himpunan
Misal U = {1, 2, …, 7, 8}, A = {1, 2, 3, 5} dan B =
{2, 5, 6, 8}.
maka notasi dalam diagram Venn:
U
A
1
3
B
2
5
7
8
6
4
19
Himpunan Berhingga (Finite Set)
Himpunan yang mempunyai anggota
berhingga disebut himpunan berhingga
(finite set)
Sembarang himpunann yang anggotanya
tak berhingga disebut himpunan tak
berhingga(infinite set)
contoh A={a,b,c,d,e,f} adalah finite set,
sedangkan Z adalah infinite set.
20
Kardinalitas
menyatakan banyaknya anggota dari himpunan
Notasi: n(A) atau A
contoh :
(i) B = { x | x merupakan bilangan prima lebih kecil
dari 10}, atau B = {2, 3, 5, 7} maka B = 8
(iii) A = {t, {t}, {{t}},{{{t}}} }, maka A = 4
21
Himpunan kosong (null set)
Himpunan yang tidak mempunyai anggota
atau kardinalitasnya = 0
contoh A ={x|x bilangan bulat x2 + 1 = 0}
maka n(A)= 0
notasi himpunan kosong {} atau Ø
22
Himpunan Bagian (Subset)
Himpunan A disebut himpunan bagian (subset) dari
himpunan B jika dan hanya jika setiap anggota A
merupakan anggota dari B.
Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A.
Notasi: A B
Diagram Venn:
U
B
A
23
Catatan :
A dan A A, maka dan A disebut himpunan
bagian tak sebenarnya (improper subset) dari himpunan
A.
Contoh: A = {a,b,c}, maka {a,b,c} dan adalah
improper subset dari A.
24
Contoh.
(i) { a, b, c} {a, b, c, d, e}
(ii) { a, b, c} {a, b, c }
(iii) N Z R C
(iv) Jika A = { (x, y) | x + y < 4, x 0, y 0 } dan
B = { (x, y) | x + y < 2, x 0 dan y 0 }, maka B A.
TEOREMA 1. Untuk sembarang himpunan A berlaku hal-hal
sebagai berikut:
(a) A adalah himpunan bagian dirinya sendiri (yaitu, A A).
(b) Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari setiap
himpunan (dalam hal ini A ( A)).
(c) Jika A B dan B C, maka A C
25
Catatan :
A B tidak sama dengan A B
Pada :
A B : A adalah himpunan bagian dari B tetapi A B.
A adalah himpunan bagian sebenarnya (proper subset) dari B.
Contoh: {a} dan {b,c} adalah proper subset dari {a,b,c}
sedangkan :
A B : digunakan untuk menyatakan bahwa A adalah himpunan
bagian (subset) dari B yang memungkinkan A = B.
26
Himpunan yang Ekivalen
Himpunan A disebut ekivalen dengan himpunan B jika
dan hanya jika kardinal dari kedua himpunan tersebut
sama.
Notasi : A ~ B A = B
A = { 1,2,3,4} dan B = { ali, budi, joko,tuti }, maka
A ~ B sebab A = B = 4
27
Himpunan yang Sama
A = B jika dan hanya jika setiap anggota A merupakan
anggota B dan sebaliknya setiap anggota B merupakan
anggota A.. Jika tidak demikian, maka A B.
Notasi : A = B A B dan B A
28
Himpunan Kuasa
Himpunan kuasa (power set) dari himpunan A adalah suatu himpunan
yang anggotanya merupakan semua himpunan bagian dari A,
termasuk himpunan kosong dan himpunan A sendiri.
Notasi : P(A) atau 2A
Jika A = m, maka P(A) = 2m.
Contoh 12.
Jika A = { 1, 2 }, maka P(A) = { , { 1 }, { 2 }, { 1, 2 }}
Contoh 13.
Himpunan kuasa dari himpunan kosong adalah P() = {}, dan
himpunan kuasa dari himpunan {} adalah P({}) = {, {}}.
29
Himpunan Saling Lepas
Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint) jika keduanya
tidak memiliki anggota yang sama.
Notasi : A // B
Diagram Venn:
U
A
B
Contoh 11.
Jika A = { x | x P, x < 8 } dan B = { 10, 20, 30, ... }, maka A // B.
30
Operasi Terhadap Himpunan
1. Irisan (intersection)
Notasi : A B = { x x A dan x B }
Contoh
(i) Jika A = {a,b,c,d,e} dan B = {c,e,f,g}, maka A B = {c,e}
(ii) Jika A = { 1,2,3} dan B = { 4,5}, maka A B = . Artinya: A // B
31
2. Gabungan (union)
Notasi : A B = { x x A atau x B }
Contoh:
(i) Jika A = { a, b, c} dan B = { b,c,d,e }, maka A B = {
a,b,c,d,e }
(ii) A = A
32
5. Beda Setangkup (Symmetric Difference)
Notasi: A B = (A B) – (A B) = (A – B) (B – A)
Contoh 19.
Jika A = { 2, 4, 6 } dan B = { 2, 3, 5 }, maka A B = { 3, 4, 5, 6 }
33
3. Komplemen (complement)
Notasi :
A
= { x x U, x A }
Contoh
Misalkan U = { 1, 2, 3, ..., 7 },
(i) jika A = {1, 3, 4, 6}, maka A = {2, 5, 7}
(ii) jika A = { x | x/2 P, x < 7 }, maka A = { 1, 3, 5, 7, }
34
4. Selisih (difference)
Notasi : A – B = { x x A dan x B } = A
B
Contoh.
(i) Jika A = { a, b, c,d,e,f} dan B = { c,d,f}, maka A – B = { a,b,e}
dan B – A =
(ii) {1, 3, 5} – {1, 2, 3} = {5}, tetapi {1, 2, 3} – {1, 3, 5} = {2}
35
T E O R E M A 2. B eda setangkup m em enuhi sifat-sifat berikut:
(a) A B = B A
(hukum kom utatif)
(b) (A B ) C = A (B C )
(hukum asosiatif)
36
C on toh 20. M isalkan
U = him punan m ahasisw a
P = him punan m ahasisw a y ang nilai ujian U T S di atas 80
Q = him punan m ahasisw a y ang nilain ujian U A S di atas 80
S eorang m ahasisw a m endapat nilai A jika nilai U T S dan nilai
U A S keduany a di atas 80, m endapat nilai B jika salah satu ujian
di atas 80, dan m endapat nilai C jika kedua ujian di baw ah 80.
(i)
“S em ua m ahasisw a y ang m endapat nilai A ” : P Q
(ii) “S em ua m ahasisw a y ang m endapat nilai B ” : P Q
(iii) “S sem ua m ahasisw a y ang m endapat nilai C ” : U – (P Q )
37
6. Perkalian Kartesian (cartesian product)
Notasi: A B = {(a, b) a A dan b B }
Contoh.
(i) Misalkan C = { 1, 2, 3 }, dan D = { a, b }, maka
C D = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) }
(ii) Misalkan A = B = himpunan semua bilangan riil, maka
A B = himpunan semua titik di bidang datar
38
Catatan:
1. Jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka:
A B = A . B.
2. (a, b) (b, a).
3. A B B A dengan syarat A atau B tidak kosong.
Pada Contoh 20(i) di atas, C = { 1, 2, 3 }, dan D = { a, b },
D C = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3) }
C D = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) }
D C C D.
4. Jika A = atau B = , maka A B = B A =
39
Contoh. Misalkan
A = himpunan makanan = { s = soto, b = bakso, n = nasi
goreng, m = mie ayam}
B = himpunan minuman = { c = coca-cola, t = teh, d = es
jeruk}
Berapa banyak kombinasi makanan dan minuman yang dapat
disusun dari kedua himpunan di atas?
Jawab:
A B = AB = 4 3 = 12 kombinasi dan minuman,
yaitu {(s, c), (s, t), (s, d), (b, c), (b, t), (b, d), (n, c), (n, t), (n, d),
(m, c), (m, t), (m, d)}.
40
Contoh. Daftarkan semua anggota himpunan berikut:
(a) P() (b) P() (c) {} P() (d) P(P({3}))
Penyelesaian:
(a) P() = {}
(b) P() = (ket: jika A = atau B = maka A B = )
(c) {} P() = {} {} = {(,))
(d) P(P({3})) = P({ , {3} }) = {, {}, {{3}}, {, {3}} }
41
L atihan
M isalkan A adalah him punan. P eriksalah apakah setiap
perny ataan di baw ah ini benar atau salah dan jika salah,
bagaim ana seharusny a:
(a) A P ( A ) P ( A )
(b) { A } P ( A ) P ( A )
(c) A P ( A ) A
(d) { A } P ( A )
(e) A P ( A )
42
(a) salah, seharusnya
(b) benar
(c) benar
(d) salah, seharusnya
(e) salah, seharusnya
A P ( A)
{ A} P ( A )
A P ( A)
43
Perampatan Operasi Himpunan
n
A1 A 2 ... A n A i
i 1
n
A1 A 2 ... A n A i
i 1
n
A1 A 2 ... A n A i
i 1
n
A1 A 2 ... A n A i
i 1
44
Contoh 22.
(i) A (B1B2 ... Bn) = (A B1) (A B2) ... (A Bn)
n
n
i 1
i 1
A ( B i ) ( A B i )
(ii) Misalkan A = {1, 2}, B = {a, b}, dan C = {, }, maka
A B C = {(1, a, ), (1, a, ), (1, b, ), (1, b, ), (2, a, ),
(2, a, ), (2, b, ), (2, b, ) }
45
daftar pustaka
Doer Allan, Kenneth Levasseur, Applied
Discrete Structures for Computer Science,
Science Research Associates, Inc. Toronti,1985
Kolman, Bernard, Robert C.Busby,Sharon Ross,
Discrete Mathematical Structures,Prentice
Hall,1987
Munir, Rinaldi, Matematika Diskrit, Edisi
kedua,Penerbit Informatika Bandung,2001
Rosen,Kenneth H.,Discreete Mathematics and
Its Application, The Random House Birkhauser
Mathematics Series NewYork,1987
46
web site
http://syssci.atu.edu/math/faculty/finan/mai
n2.pdf
http://www1.cs.columbia.edu/~zeph/3203s
04/lectures.html
http://www.informatika.org/~rinaldi/Matdis/
matdis.htm
47