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4. ブール代数
五島 正裕
DATE
:
束の代数的定義
1. 交換律 (commutative law)
x ・ y = y ・ x
x + y = y + x
4. べき等律 (idempotent law)
(他の3つから導かれる)
x ・ x = x
x + x = x
2. 結合律 (associative law)
x ・ (y ・ z) = (x ・ y) ・ z
x + (y + z) = (x + y) + z
3. 吸収律 (absorptive law)
x ・ (x + y) = x
x + (x ・ y) = x
ブール束
ブール束 (B, +, ・)
束の定義
交換律
結合律
吸収律(ブール束の場合,他から導かれる)
追加:
分配律 (distributive law) → distributive lattice
単位元 1,零元 0 の存在
補元 x' の存在
ブール代数の定義
1.
交換律 (commutative law)
4. 単位元 1,零元 0 の存在
x・y = y・x
x・1 = x
x+y = y+x
x+0 = x
2. 結合律 (associative law)
5. 補元 x' の存在
x ・ (y ・ z) = (x ・ y) ・ z
x ・ x' = 0
x + (y + z) = (x + y) + z
x + x' = 1
3. 分配律 (distributive law) →
distributive lattice
x ・ (y + z) = (x ・ y) + (x ・ z)
x + (y ・ z) = (x + y) ・ (x + z)
ブール代数の例 (1/2)
二元ブール代数
B
: {0, 1}
零元
:0
単位元
:1
+
: 論理和 x + y
・
: 論理積 x ・ y
補元
:0⇔1
1
0
ブール代数の例 (2/2)
集合演算
{a, b, c}
B
: 集合
零元
: 空集合
単位元
: 全集合
+
: 集合和 x ∪ y
・
: 集合積 x ∩ y
補元
: 補集合
{a, b}
{a, c}
{b, c}
{a}
{b}
{c}
例)
集合 A = {a, b, c} の巾集合 2A
{}
ブール代数 ではない 例
因数
元
: 最大数の因数
零元
:1
単位元
: 最大数
+
: x, y の最小公倍数
・
: x, y の最大公約数
x≦y
:「x は y の因数」
補元
: 単位元 ÷ x?
例)
12 の因数?
6 の因数?
12
4
6
2
3
1
ブール代数の性質
性質:
1.
双対性
2.
1, 0 の性質
3.
1, 0 は一意
4.
補元は一意
5.
吸収律
6.
べき等律
7.
二重否定
8.
ド・モルガンの法則
1. 双対性 (duality)
双対
公理において,・ ⇔ +, 1 ⇔ 0 を交換すると,同じ公理
2. 1, 0 の性質
1, 0 の定義
x ・ 1 = x
x + 0 = x
1, 0 の性質
x ・ 0 = 0
x + 1 = 1
2. 1, 0 の性質
x・0
=
=
=
=
=
(x ・ 0) + 0
∵ 0 の定義 (x + 0 = x)
(x ・ 0) + (x ・ x') ∵ 補元の定義 (x ・ x' = 0)
x ・ (0 + x')
∵ 分配律 (x ・ (y + z) = (x ・ y) + (x ・ z))
x ・ x'
∵ 補元の定義
0
双対性から,x + 1 = 1 も同様に成り立つ.
3. 1, 0 は一意
∀x∈B,x
+ 0 = x を満たす 0 が複数あり,それらを (01, 02) とする,すなわ
ち,
x + 01 = x
x + 02 = x
上の式の x に 02, 下の式の x に 01を代入すると
02 + 01 = 02
01 + 02 = 01
交換律から両者の左辺は等しい
∴ 01 = 02
4. 補元は一意
x' がふたつ存在するとして,¬1x, ¬2x とすると
¬ 2 x = 1 ・ ¬ 2x
= (x + ¬1x) ・ ¬2x
= (x ・ ¬2x) + (¬1x ・ ¬2x)
= 0 + (¬1x ・ ¬2x)
同様に
¬1x = 0 + (¬1x ・ ¬2x)
∴ ¬ 1x = ¬ 2x
∵ 1 の定義
∵ ¬1 についての仮定 x + ¬1x = 1
∵ 分配律
∵ ¬2 についての仮定 x ・ ¬2x = 0
5. 吸収律 (absorptive law)
吸収律
x ・ (x + y) = x
x + (x ・ y) = x
x ∙ (x + y)
=
=
=
=
(x + 0) ∙ (x + y)
x + (0 ∙ y)
x+0
x
∵ 0 の定義 (x + 0 = x)
∵ 分配律
∵ 0 の性質 (0 ∙ y = 0)
∵ 0 の定義 (x + 0 = x)
6. べき等律 (idempotent law)
べき等律
x ・ x = x
x + x = x
x・x
=
=
=
=
=
(x ・ x) + 0
(x ・ x) + (x ・ x')
x ・ (x + x')
x・1
x
∵ 0 の定義
∵ 補元の定義
∵ 分配律
∵ 補元の定義
7. 二重否定
x'' = x
交換則により,
x' + x = 1
x' ・ x = 0
であり,x は x' の補元になっている.
x'' の一意性から x'' = x
8. ド・モルガンの法則 (De Morgan's law)
ド・モルガンの法則
(x + y)' = x' ・ y'
(x ・ y)' = x' + y'
補元の定義より
(x + y)' = x' ・ y' ⇔ (x + y)・(x' ・ y') = 0 かつ (x + y)・(x' ・ y') = 1
8. ド・モルガンの法則 (De Morgan's law)
(x + y)・(x' ・ y')
= (x' ・ y')・(x + y)
∵ 交換律
= ((x' ・ y') ・ x) + ((x' ・ y') ・ y)
∵ 分配律
= ((y' ・ x') ・ x) + ((x' ・ y') ・ y)
∵ 交換律
= (y' ・ (x' ・ x)) + (x' ・ (y' ・ y))
∵ 結合律
= (y' ・ 0) + (x' ・ 0)
∵ 交換律
= 0+0 = 0
以下同様.
ブール束
ブール束 (B, +, ・)
束
交換律
結合律
吸収律(ブール束の場合,他から導かれる)
追加:
分配律 (distributive law) → distributive lattice
単位元 1,零元 0 の存在
補元 x' の存在
含意 と 半順序
含意 →
「ならば」
x → y ≡ x' + y
∵ 定義
含意はブール束での半順序
x → y ⇒ x ・ y = x かつ x + y = y
含意と半順序
x → y ⇒ x ・ y = x かつ x + y = y
x・y
= (x ・ y) + 0
= (x ・ y) + (x ・ x′)
= (x + x) ・ (y + x) ・ (x + x′) ・ (y + x′)
= x
・ (y + x) ・ 1
・1
∵ x → y ⇒ x′ + y
= x ・ (y + x)
= x
∵ 吸収律
x+y
= (x ・ y) + y
= y
∵ 吸収律