Transcript Множини, операції над ними

Теорія множин
Множини, їх властивості,
операції над множинами
1
Поняття множини
Первісні поняття:
•Множина
•Елемент множини
•Бути елементом множини
a A
b B
Перелік { a ; b ; c ; g }
Опис
{ k  Z |  i  Z k  2  i}
2
Множини
 - порожня множина множина, яка не містить жодного елементу
 - універсальна множина - множина,
яка містить всі можливі(допустимі) елементи
N - множина натуральних чисел
Z - множина цілих чисел
R - множина раціональних чисел
D, - множина дійсних чисел
3
Співвідношення між множинами
A  B (A  B)
A  B  x A  x B
A є підмножиною B,
якщо кожен елемент множини A
є також елементом множини B
Множина A є власною підмножиною множини B,
якщо
A  B та A  B
4
Рівність множин
A  B  A  B, B  A
Множина A дорівнює множині B,
якщо кожен елемент множини A
є елементом множини B,
і кожен елемент множини B є елементом множини A
5
Що може бути елементом множини
База даних
{Іваненко; Петренко;Сидоренко}
Множина множин (для побудови алгоритмів)
{{1;2};{3;5};{4;6}}
Збочення
{;{};{{}; }}
6
Відмінність понять
“включення” і “бути елементом”
AB, BC AC
так
1{1}, {1}{{1};{2}}, але 1
{{1};{2}}
ні
{a}{{a;b};{c;d}}
AC
{a}{a;b}, {a;b}{{a;b};{c;d}}
AB, BC
AC
{a}{{a;b};{c;d}}
 {}
  {}
7
Булеан множини
Булеаном множини A будемо називати
систему всіх підмножин множини A,
включаючи порожню і саму множину A.
Булеан множини А будемо позначати B(A)
B()={}
B({})={;{}}
B({1;2})={;{1};{2};{1;2}}
8
Операції над множинами
AB={x|xAxB}
- об’єднання
AB={x|xAxB}
- перетин
A\B={x|xAxB}
- різниця
AB={x|xAxB
xBxA}
A={x|xA}
- симетрична різниця
- доповнення
AB={(x,y)|xA,yB} - декартовий добуток
9
Кола Ейлера
Перетин
Різниця
Об’єднання
Симетрична різниця
Доповнення
10
Основні співвідношення
для операцій над множинами
A B  B A
A B  B A
комутативність
( A  B)  C  A  (B  C )
( A  B)  C  A  (B  C )
асоціативність
A  (B  C )  ( A  B)  ( A  C )
A  (B  C )  ( A  B)  ( A  C )
дистрибутивність
11
Основні співвідношення
продовження
A  A  A,
A A  A
A B  A B
A B  A B
A A  
A A  
ідемпотентність
де Моргана
виключеного третього
12
Основні співвідношення
продовження
A  A,    ,   
A    , A    A
A    A, A    
A  (B  C )  ( A  B)  ( A  C )
A  (B  C )  ( A  B)  ( A  C )
A \ B  A  B,
A  B  (A  B)  (A  B)
13
Доведення співвідношень
A  (B  C )  ( A  B)  ( A  C )
<ліва частина> ⊂ <права частина>
(x, y)  A  (B  C )  x  A, y  B  C
x  A, y  B  (x, y)  A  B  (x, y)  ( A  B)  ( A  C )
x  A, y  C  (x, y)  A  C  (x, y)  ( A  B)  ( A  C )
14
Доведення співвідношень
A  (B  C )  ( A  B)  ( A  C )
<права частина> ⊂ <ліва частина>
(x, y)  ( A  B)  ( A  C )
( x , y )  A  B  (1)
(x, y)  A  C  (2 )
(1)  x  A , y  B  x  A , y  B  C  ( x , y )  A  ( B  C )
(2 )  x  A, y  C  x  A, y  B  C  (x, y)  A  (B  C )
15
Приклади декартових добутків
DD
0 ;1  0 ;1
 (x, y)
1
0
1
16
Проекція множини
Нехай H - підмножина декартового добутку
множин A та B: HAB
Першою проекцією множини HAB називається
множина тих елементів xA для яких існує yB,
такий що (x,y)H
Pr1H={xA |  yB (x,y)H}
Другою проекцією множини HAB називається
множина тих елементів yB для яких існує xA,
такий що (x,y)H
Pr2H={yB |  xA (x,y)H}
17
Приклад проекції множини
B
1
π/4
A
√2
18
Проекція множини
Нехай H - підмножина декартового добутку
множин A1, A2,…An : H  A1  A2 …  An
k-тою проекцією множини H  A1A2… An
називається множина тих елементів xkAk для яких
існують x1A1, x2A2, xk-1Ak-1, xk+1Ak+1, ….xnAn такі
що (x1, x2, ….. xn)H
PrkH={xkAk |  x1A1, x2A2, xk-1Ak-1,
xk+1Ak+1,……
xnAn (x1, x2, ….. xn)H}
19