Transcript 53255_Комбинации_многогранников_с_фигурами_вращения

11 класс геометрия
Конус можно описать
около пирамиды, если
ее основание –
многоугольник,
вписанный в
окружность, а вершина
пирамиды
проецируется в центр
этой окружности.
Радиус конуса
R равен
радиусу этой
окружности, а
высота H
конуса и
пирамиды
совпадают.
• Конус можно вписать
в пирамиду, если ее
основание –
многоугольник,
описанный около
окружности, а
вершина пирамиды
проецируется в центр
этой окружности.
• Радиус конуса r равен
радиусу этой
окружности, а высота
H конуса и пирамиды
совпадают.
• Цилиндр можно
описать около прямой
призмы, если ее
основание –
многоугольник,
вписанный в
окружность. Радиус
цилиндра R равен
радиусу этой
окружности.
• Ось цилиндра лежит
на одной прямой с
высотой H призмы,
соединяющей центры
окружностей,
описанных около
оснований призмы.
• Цилиндр можно
вписать в прямую
призму, если ее
основание –
многоугольник,
описанный около
окружности.
• Радиус цилиндра r
равен радиусу этой
окружности.
• Ось цилиндра лежит
на одной прямой с
высотой H призмы,
соединяющей центры
окружностей,
вписанных в
основания призмы.
Вписанная и описанная сферы.
Сфера (шар)
называется
описанной около
многогранника,
если все вершины
многогранника
лежат на сфере.
?
Какой
четырехугольник
может лежать в
основании
пирамиды,
вписанной в сферу?
Сфера называется
вписанной в
многогранник, в
частности, в
пирамиду, если
она касается всех
граней этого
многогранника
(пирамиды).
• Шар можно описать
около любого
(прямого кругового)
цилиндра.
Окружности
оснований цилиндра
лежат на поверхности
шара. Центр шара
лежит на середине
высоты, проходящей
через ось цилиндра.
• Радиус шара R, радиус
цилиндра r и высота
цилиндра H связаны
соотношением:
• Шар можно вписать
только в такой
цилиндр, высота
которого равна
диаметру основания
(такой цилиндр
называется
равносторонним).
• Шар касается
оснований цилиндра в
их центрах и боковой
поверхности цилиндра
по окружности
большого круга шара,
параллельной
основаниям
цилиндра.
• Радиус шара R равен
радиусу цилиндра r, а
диаметр шара равен
высоте цилиндра:
• Шар можно описать
около любого конуса.
• Окружность основания
конуса и вершина
конуса лежат на
поверхности шара.
• Центр шара лежит на
оси конуса и
совпадает с центром
окружности,
описанной около
треугольника,
являющегося осевым
сечением конуса.
• Радиус шара R, радиус
конуса r и высота
конуса H связаны
соотношением:
• Это соотношение
справедливо и в том
случае, когда H < R.
• Шар можно вписать в любой
конус.
• Шар касается основания
конуса в его центре и боковой
поверхности конуса по
окружности, лежащей в
плоскости, параллельной
основанию конуса.
• Центр шара лежит на оси
конуса и совпадает с центром
окружности, вписанной в
треугольник, являющийся
осевым сечением конуса.
• Радиус шара R, радиус
конуса r и высота
конуса H связаны
соотношением:
• Шар можно описать около
призмы, если она прямая
и ее основания являются
многоугольниками,
вписанными в
окружность.
• Центр шара лежит на
середине высоты призмы,
соединяющей центры
окружностей, описанных
около оснований призмы.
• Радиус шара R, высота
призмы H и радиус
окружности r,
описанных около
основания призмы,
связаны
соотношением:
• Шар можно вписать в
прямую призму, если ее
основания являются
многоугольниками,
описанными около
окружности, а высота
призмы равна диаметру
этой окружности.
• Радиус вписанного шара
равен радиусу этой
окружности.
• Центр шара лежит на
середине высоты
призмы, соединяющей
центры окружностей,
вписанных в основания
призмы.
• Радиус шара R, высота
призмы H и радиус
окружности r, вписанной
в основание призмы,
связаны соотношением:
• Шар можно описать около
любой правильной
пирамиды.
• Центр шара лежит на
прямой, соединяющей
высоту пирамиды и
совпадает с центром
окружности, описанной
около равнобедренного
треугольника, боковой
стороной которого является
боковое ребро пирамиды, а
высотой – высота пирамиды.
• Радиус шара равен
радиусу этой окружности.
• Радиус шара R, высота
пирамиды H и радиус
окружности r, описанной
около основания
пирамиды, связаны
соотношением:
• Это соотношение
справедливо и в том
случае, когда H < R.
• Шар можно вписать в любую
правильную пирамиду.
• Центр шара лежит на высоте
пирамиды и совпадает с
центром окружности,
вписанной в
равнобедренный
треугольник, боковой
стороной которого является
апофема (высота боковой
грани) пирамиды, а высотой
– высота пирамиды.
• Радиус шара равен
радиусу этой
окружности.
• Радиус шара R, высота
пирамиды H и радиус
окружности r,
вписанной в
основание пирамиды,
связаны
соотношением: